具有曲率和慣性非線性以及材料內阻的旋轉復合材料軸的主共振1)

任勇生姚東輝

(山東科技大學機械電子工程學院，山東青島266590)

動力學與控制

具有曲率和慣性非線性以及材料內阻的旋轉復合材料軸的主共振1)

任勇生2)姚東輝

(山東科技大學機械電子工程學院，山東青島266590)

旋轉復合材料軸作為一類典型的轉子動力學系統，在先進直升機和汽車動力驅動系統中有著廣闊的應用前景.研究旋轉復合材料軸的非線性振動特性具有重要的理論與實用價值.然而，目前有關旋轉軸的非線性振動研究僅限于各向同性金屬材料軸，很少考慮材料內阻的影響.本文研究具有材料內阻的旋轉非線性復合材料軸的主共振.非線性來源于不可伸長復合材料軸的大變形引起的非線性曲率和非線性慣性，材料內阻來源于復合材料的黏彈性.動力學建模計入轉動慣量和陀螺效應.基于擴展的Hamilton原理，導出具有偏心激勵的旋轉復合材料軸的彎--彎耦合非線性振動偏微分方程組.采用Galerkin法將偏微分方程離散化為常微分方程，采用多尺度法對常微分方程進行攝動分析，導出主共振響應的解析表達式.對內阻、外阻、鋪層角、長徑比、鋪層方式和偏心距進行數值分析，研究上述參數對旋轉非線性復合材料軸的穩態受迫振動響應行為的影響.研究發現，角鋪設復合材料軸的內阻系數隨著鋪層角的增大而增大；內阻對主共振響應特性的影響主要體現在對抑制振幅和改變頻率響應的穩定性方面；發生在正進動固有頻率附近的主共振響應具有典型的硬彈簧非線性特性.本文提出的模型能夠用于描述旋轉復合材料軸的主共振特性，是對不可伸長旋轉金屬軸非線性動力學模型的重要推廣.

主共振，旋轉復合材料軸，材料內阻，不可伸長梁，多尺度法

引言

復合材料由于密度小，抗振降噪性能好，在直升機尾傳動軸[1]以及汽車傳動軸的結構[2]中已經發揮出越來越重要的作用.對復合材料轉子系統的動力學特性做出精確分析和預測，將有助于進一步推進先進復合材料在航空和汽車等尖端技術領域中的應用.

Zinberg等[3]基于等效模量梁理論建立了復合材料軸臨界轉速分析模型，并且將分析結果與實驗結果進行了對比.Singh等[4]分別基于等效模量梁理論和分層梁理論建立了復合材料軸的動力學模型，并對兩種模型得到的臨界轉速進行對比.Kim等[5]采用殼的一階近似理論推出了薄壁復合材料傳動軸的運動微分方程，并且計算了不同類型的復合材料傳動軸的臨界轉速.Bert[6]采用Bernoulli-Euler梁理論建立了復合材料傳動軸的動力學方程，該模型考慮了陀螺效應和彎扭耦合的影響.Chang等[7]基于一階剪切梁理論提出了一個復合材料軸系統的有限元動力學模型，該模型除了軸還包含了剛盤以及軸承.Song等[8]基于Rehfie[9]的復合材料薄壁梁理論，建立了復合材料軸的振動微分方程，研究了矩形截面軸和圓形截面軸的固有頻率和穩定性.任勇生等[1011]基于變分漸進法[12]，提出了旋轉復合材料薄壁軸的動力學分析模型，其中引入了橫向剪切變形，并且考慮了剛盤以及軸承的影響.

然而，由于復合材料相比金屬材料具有更大的阻尼，在超臨界旋轉狀態下，旋轉復合材料軸受到內阻的影響，更容易產生大振幅失穩問題.因此，在復合材料轉子系統的動力學分析中考慮非線性因素的影響，對于深入揭示高速復合材料轉子系統的動力學行為，最終實現對其動力學性能的優化設計是十分必要的[13].

Shaw等[14]研究具有內阻的黏彈性材料旋轉軸的非線性受迫振動，采用中心流理論分析軸的后臨界動力學特性.Cveticanin[15]研究了考慮材料非線性彈性特性的轉子系統的主共振，并將轉子簡化為二自由度系統，采用平均法進行求解.Ishida等[16]研究了質量連續分布轉子非線性受迫振動，非線性是由于轉子中心線可伸長產生的.研究表明，主共振響應曲線具有硬彈簧特性，并且存在某些組合共振.Hosseini等[17]采用多尺度法研究了具有軸向可伸長的旋轉軸的非線性受迫振動，其中考慮了外阻的影響.Khadem等[18]研究軸向不可伸長的大變形旋轉軸兩模態組合共振，采用諧波平衡法進行求解，得到組合共振近似解析解.Shahgholi等[19]采用多尺度法研究了主軸質量慣性矩和剛度系數不相等的非對稱軸主共振和參數共振，非線性來源于軸向不可伸長的大變形.Shad等[20]采用多尺度法研究了考慮高階彎曲變形的非線性轉子系統的主共振，轉子系統是由帶有剛盤和剛性支承的簡支彈性軸構成.Hosseini等[21]采用多尺度法研究了具有曲率和慣性非線性的旋轉軸的非線性自由振動與受迫振動.

然而，上述研究或者針對簡單的二自由度系統，或者針對各向同性材料旋轉軸.Ren等[22]采用多尺度法研究了旋轉復合材料軸的質量不平衡主共振，非線性采用Von Karman大變形進行描述并且沒有考慮復合材料內阻的影響.但上述模型僅適合于薄壁復合材料軸.

復合材料軸的內阻來源于材料內部的能量耗散.Saravanos等[23]提出了一個預測各向異性復合材料空心梁模態阻尼的有限元模型，但它僅適用于非旋轉的復合材料梁或者葉片.Sino等[24]基于簡化的均勻梁有限元模型(SHBT)，研究帶有剛盤和彈性支承的旋轉復合材料軸的動力學特性，其中采用黏彈性復合材料本構關系描述內阻特性.Ren等[25]基于變分漸進法建立了復合材料薄壁軸轉子系統的動力學模型，采用單層--截面--軸的多尺度阻尼分析方法對復合材料內阻進行建模.然而，上述研究由于均未考慮非線性因素的影響，僅適合于對旋轉復合材料軸進行線性振動分析.

本文研究兩端簡支不可伸長旋轉復合材料軸的非線性受迫振動，其中考慮復合材料內阻和非線性曲率和慣性的影響，內阻來源于復合材料的黏彈性，剪切變形的影響不予考慮.從復合材料應力--應變本構關系和應變--位移關系出發，在導出復合材料軸的應變能、動能和阻尼耗散能的基礎上，采用擴展的Hamilton原理建立了運動微分方程.采用Galerkin法對彎曲振動非線性偏微分方程組進行離散化，采用多尺度法導出具有偏心質量激勵的旋轉軸的彎曲主共振穩態響應表達式,研究纖維鋪層角、鋪層方式、長徑比、偏心距和外阻等參數以及材料內阻對旋轉復合材料軸主共振特性的影響.

1 運動方程

圖1所示為長度為L的復合材料軸，軸的兩端簡支，直角坐標系(X,Y,Z)為慣性坐標系；(X0,Y0,Z0)為旋轉坐標系，(x,y,z)為局部坐標系，慣性坐標軸與復合材料軸的橫截面主軸一致，坐標原點位于變形軸的中心線上的x點處.變形軸上x點沿X,Y和Z方向的位移分別為u(x,t),v(x,t)和w(x,t)，扭轉角為φ(x,t).

假定復合材料軸繞X軸以定常角速度Ω旋轉；復合材料軸為細長桿，剪切變形可以忽略不計；由于支承點O是固定的，而支承點O′在X方向不受約束，因此復合材料軸的中心線是不可伸長的；除了考慮復合材料的內阻，也同時考慮外阻尼的影響.

圖1 旋轉復合材料軸結構示意圖Fig.1 Schematic of the rotating composite shaft

旋轉復合材料軸的動能為[26]

其中，“˙”表示對時間t求偏導,m和I分別表示單位長度的質量和截面慣性矩，分別為

其中，N表示復合材料的層數，ρ(k)是第k層的密度，rk和rk+1分別是第k層的內徑和外徑.ω1,ω2和ω3分別表示坐標系(x,y,z)相對于(X,Y,Z)的轉動角速度，表達式為

其中，ψ=φ+Ωt,ψy和ψz分別表示復合材料軸的橫截面繞z和y軸的轉角，φ表示橫截面繞x軸的扭轉角，ψz和ψy可以表示為[26]

其中，“′”表示對x求偏導.

旋轉復合材料軸的彈性勢能

其中，在柱坐標下的微體積元d V=r d r dαd x，r和α分別表示極徑和極角.

不計剪切變形,復合材料軸的柱坐標形式的應力--應變方程為[7]

其中，σx和τxα分別表示柱坐標點(x,r,α)的正應力和剪應力，ij(i,j=1,6)表示復合材料單層的偏軸剛度系數.

柱坐標下的應變--位移方程

其中，ρi(i=1,2,3)表示軸的曲率[27]，計算如下

彈性勢能的變分

將式(6)～式(9)代入式(11)，可得

其中

由于旋轉復合材料軸的支承O′在x軸方向是可運動的，因此，沿軸向不可伸長假設成立[28]，即應變ε=0，由此可得

于是方程(12)可簡化為

旋轉復合材料軸阻尼耗散力的虛功

簡諧穩態運動下黏彈性復合材料的耗散應力為

經過與式(15)類似的推導，可得

其中

其中，ˉηij(i,j=1,2,6)表示復合材料單層的偏軸阻尼系數.

如果假設橫向位移v和w是一階無窮小量，則軸向位移u為二階無窮小量.將式(4)代入方程(3)和方程(10)，展成泰勒級數，并只保留前三階無窮小量，并將結果代入式(15)和式(19)，采用擴展的Hamilton原理[2930]，并且利用式(14)，可建立復合材料軸的彎--彎--扭耦合非線性振動方程.

圓形截面軸的扭轉基礎頻率比彎曲頻率大得多，扭轉慣性項可以略去不計[27]，此外，由于復合材料軸是細長桿，轉動慣量很小，因此與轉動慣量相乘的非線性項也可忽略不計[26]，據此，對彎--彎--扭耦合非線性振動方程可以進行適當的簡化.

定義下列無量綱量

采用變換式(21)，并利用上述假定,可以導出彎--彎耦合非線性振動方程

需要說明的是，在上述方程中引入了黏滯阻尼系數為c的外阻尼項，以及由于質量偏心產生的激振力項.而且，方程(22)和(23)是在旋轉坐標系下得到的.為了著重研究非線性慣性和非線性剛度的影響，上述方程中只保留了內阻的線性項.

為簡單起見，方程(22)和(23)中變量v，w和x上的橫杠均已去掉.

2 方程求解

為了采用多尺度法研究旋轉復合材料軸的主共振，首先將彎--彎耦合非線性偏微分方程組(22)和(23)化為常微分方程組.為此，取單模態做近似處理，采用Galerkin法進行離散.

簡支復合材料軸的彎曲位移v(x,t)和w(x,t)為

其中，V(tˉ)和W(tˉ)表示模態坐標，n=1,2,···為模態階數.

令

其中，T0=ˉt,T2=ε2ˉt.考慮到

將式(29)和式(30)代入方程(27)和式(28)，分別令方程兩端ε同次冪的系數相等，得O(ε)

方程(31)的解形式為

ωf和ωb分別為正進動和反進動線性固有頻率

令

其中，σ是調諧參數，表示激振頻率ˉΩ與固有頻率ωf的接近程度.利用

其中，cc表示復共軛.

將式(33)代入方程(32)，并且設q=ˉeˉΩ2，得

其中

為了建立方程(37)的可解條件，設

將式(39)代入方程(37)，分別令eiωfT0和eiωbT0的系數相等，得

方程(40)的定解條件為

方程(41)的定解條件為

由方程(42)和(43)，可分別化簡得

其中

設

其中，ai(T2)，θi(T2)(i=1,2)是振幅和相位角.

將解(47)代入方程(44)和(45)，分離實部和虛部，得

3 數值算例

旋轉復合材料軸的基本參數包括：軸的平均半徑為0.176m，厚度0.01016m，角鋪設[±θ]8的層合方式，長度L根據長徑比確定.n=1,復合材料力學參數如表1所示.

表1 材料力學特性[23]Table 1 Mechanicalpropertiesofmaterial[23]

圖2[±θ]8鋪層復合材料軸的內阻系數ˉγ隨鋪層角變化曲線(L/d=100)Fig.2 Internaldamping coe ffi cientvs.[±θ]8angle-ply laminated shaft(L/d=100)

圖2 所示為具有角鋪層的復合材料軸的無量綱內阻系數ˉγ(見計算公式(21))隨鋪層角θ的變化曲線.從圖2可以看出，隨著鋪層角的增大,內阻系數具有增大的趨勢，在θ=0°時，=0.0258為最??；在θ=73.4694°時，達到最大值0.0545；此后，隨著鋪層角增大，比其最大值略有下降，當θ=90°時，為0.0540.隨鋪層角的變化之所以呈現上述規律，是由于纖維縱向的阻尼低于其橫向的阻尼(見表1)，因此，纖維越靠近軸的縱向鋪設，此方向上的內阻也越小.

圖3給出長徑比為120的角鋪層復合材料軸的主共振頻率響應曲線，包括3種情形：①有內、外阻(=0.0258(θ=0°),c=0.07)；②只有外阻而沒有內阻(=0,c=0.07)；③無內、外阻(=0,c=0).圖中，縱坐標為復合材料軸的彎曲位移v(x,t)和w(x,t)中的正進動分量振幅a1.圖3表明，在主共振條件下，內阻與外阻的作用是相同的，都是起著消耗振動能量、降低共振響應峰值的作用.可見，不考慮內阻的影響將導致對共振響應水平的過高估計.

圖3內外阻對角鋪設層復合材料軸的主共振響應曲線的影響(L/d=120)Fig.3 E ff ectsof internaldamping and externaldamping of angle-ply lam inated shafton primary resonance curves(L/d=120)

圖4 表示鋪層角分別為0°，30°和60°時的主共振曲線.結果表明，鋪層角越小，共振響應曲線向高轉速方向的彎曲越明顯，同時共振響應的峰值也越大，這是由于復合材料內阻系數ˉγ隨著鋪層角的減小具有減小的趨勢，在θ分別為0°，30°和60°時，對應的ˉγ分別為0.0258，0.0356和0.0527.因此，鋪層角為60°時的共振響應的峰值最小.

圖5表示復合材料軸的長徑比對主共振響應的影響，結果表明，長徑比越大，即越細長的軸，共振響應曲線的彎曲程度也更明顯.

圖4 主共振頻率響應曲線(L/d=100，e=0.5，ˉc=0.01，[±θ]8，θ=0°，30°，60°)Fig.4 Primary resonance curves(L/d=100，e=0.5，ˉc=0.01，[±θ]8，θ=0°，30°，60°)

圖5主共振頻率響應曲線([±30°]8，e=0.5，ˉc=0.01，L/d=50，100，150)Fig.5 Primary resonance curves([±30°]8,e=0.5，ˉc=0.01，L/d=50，100,150)

圖7和圖8分別表示偏心距和外阻尼對主共振響應的影響，結果表明，外阻尼的增大導致主共振振幅減小，而偏心距的增大導致主共振振幅的增大.

從圖3～圖8還可以看出，旋轉復合材料軸在ωf附近的主共振響應曲線具有典型的硬彈簧非線性特性，在調諧量的某些變化范圍內，共振響應具有3個振幅，共振響應存在不穩定性、跳躍性以及分叉現象.

圖6 主共振頻率響應曲線(L/d=100，e=0.5，cˉ=0.01，鋪層方式：[0°]16，[±60°]8，[90/0/45°/-45°])Fig.6 Primary resonance curves(L/d=100，e=0.5，=0.01，stacking sequence：[0°]16，[±60°]8，[90/0/45°/-45°])

圖7 主共振頻率響應曲線(L/d=100，[±30°]8，=0.01，e=0.1,0.3,0.5)Fig.7 Primary resonance curves(L/d=100，[±30°]8，=0.01，e=0.1,0.3,0.5)

圖8主共振頻率響應曲線(L/d=100，[±30°]8，e=0.5，=0.1，0.01，0.001)Fig.8 Primary resonance curves(L/d=100，[±30°]8，e=0.5，=0.1，0.01，0.001)

圖9 ～圖13分別表示長徑比、調諧量、鋪層角、外阻尼和鋪層方式等參數對振幅隨偏心距變化曲線的影響.結果表明，振幅隨著偏心距的增加而增加，適當改變上述參數會對共振響應特性出現多值區、跳躍和分叉的偏心距的范圍產生明顯的影響.

圖14～圖18分別表示長徑比、調諧量、鋪層角、偏心距和鋪層方式等參數對振幅隨外阻變化曲線的影響.結果表明，振幅隨著外阻的增大而減小.外阻對主共振響應除了具有抑制作用，也會改變主共振響應的穩定性.當外阻較大時，振幅--外阻尼曲線的多值區域消失，主共振響應穩定.

圖9 振幅隨偏心距變化曲線([±30°]8,σ=0.2,=0.01,L/d=50，100，150)Fig.9 Amplitude vs.eccentricity([±30°]8,σ=0.2,=0.01,L/d=50，100，150)

圖10振幅隨偏心距變化曲線([±30°]8,L/d=100,=0.01,σ=-0.1,0,0.1,0.2)Fig.10 Amplitude vs.eccentricity([±30°]8,L/d=100,=0.01,σ=-0.1,0,0.1,0.2)

圖11 振幅隨偏心距變化曲線(L/d=100,=0.01,σ=0.2,[±θ]8,θ=0°,30°,60°)Fig.11 Amplitude vs.eccentricity(L/d=100,=0.01,σ=0.2,[±θ]8,θ=0°,30°,60°)

圖12 振幅隨偏心距變化曲線(L/d=100,σ=0.2,[±30°]8,=0.1,0.01,0.001)Fig.12 Amplitude vs.eccentricity(L/d=100,σ=0.2,[±30°]8,=0.1,0.01,0.001)

圖13振幅隨偏心距變化曲線(L/d=100,σ=0.2,cˉ=0.01,鋪層方式：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])Fig.13 Amplitude vs.eccentricity(L/d=100,σ=0.2,=0.01,stacking sequences：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])

圖14 振幅隨外阻尼變化曲線([±30°]8，σ=0.15，e=0.5，σ=0.1,L/d=80，100，120)Fig.14 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient([±30°]8,σ=0.15,e=0.5,σ=0.1,L/d=80,100,120)

圖15 振幅隨外阻尼變化曲線([±30°]8，L/d=150，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)Fig.15 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient([±30°]8，L/d=150，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)

圖16 振幅隨外阻尼變化曲線(L/d=100，e=0.5，σ=0.12,[±θ]8，θ=0°，30°，60°)Fig.16 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient(L/d=100，e=0.5，σ=0.12,[±θ]8，θ=0°，30°，60°)

圖17 振幅隨外阻尼變化曲線(L/d=100，[±30°]8，σ=0.15,e=0.5，0.6，0.7)Fig.17 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient(L/d=100，[±30°]8，σ=0.15,e=0.5，0.6，0.7)

圖18振幅隨外阻尼變化曲線(L/d=150，σ=0.1,e=0.5,鋪層方式：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])Fig.18 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient(L/d=150,σ=0.1,e=0.5,stacking sequences：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])

圖19 ～圖22分別表示長徑比、調諧量、外阻尼和偏心距等參數對振幅隨鋪層角變化曲線的影響.結果表明，對于上述參變量某些給定值，隨著鋪層角的增大，振幅隨鋪層角變化曲線從多值曲線變為單值曲線，主共振響應由不穩定跳躍變為穩定，即鋪層角越大，穩定性越好，這與外阻尼的效果是類似的(見圖14～圖18).

為了進一步考查模態截斷誤差對數值結果的影響，保留二階模態，即令

圖19 振幅隨鋪層角變化曲線=0.01，e=0.5，σ=0.2,L/d=50，100，150)Fig.19 Amplitude vs.ply angle(=0.01，e=0.5，σ=0.2,L/d=50，100，150)

圖20 振幅隨鋪層角變化曲線(=0.01，L/d=100，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)Fig.20 Amplitude vs.ply angle(=0.01，L/d=100，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)

圖21 振幅隨鋪層角變化曲線(L/d=100，σ=0.2,e=0.5，=0.1,0.01,0.001)Fig.21 Amplitude vs.ply angle(L/d=100,σ=0.2,e=0.5,=0.1,0.01,0.001)

圖22 振幅隨鋪層角變化曲線(L/d=100，=0.01，σ=0.15,e=0.3,0.4,0.5)Fig.22 Amplitude vs.ply angle(L/d=100，=0.01，σ=0.15,e=0.3,0.4,0.5)

采用Galerkin法對非線性偏微分方程(22)和(23)進行離散，得到包含4個模態坐標的4個非線性常微分方程(由于受版面的限制，這些非線性常微分方程組不再列出)，取m=1，n=2，對上述非線性常微分方程進行數值積分，并將計算結果與單模態數值積分解及其多尺度攝動解進行比較，結果如圖23所示.圖23表明，二階模態截斷數值解與一階模態近似解彼此非常接近，說明采用一階模態近似解基本能夠反映旋轉復合材料軸在主共振點附近的非線性穩態響應的特性.

圖23 一階和二階模態近似解的比較(L/d=100，=0.02，[±30°]8,e=0.5)Fig.23 Comparison of one-mode solution and two-mode solution(L/d=100，=0.02，[±30°]8,e=0.5)

4 結論

基于軸向不可伸長假定，引入幾何非線性的影響，考慮材料內阻，采用擴展Ham ilton原理建立運動方程，采用多尺度法導出旋轉復合材料軸非線性受迫振動響應的分析解，通過對鋪層角、長徑比、鋪層方式、內外阻以及偏心距進行參變分析，研究旋轉復合材料軸的主共振響應特性.主要結論如下.

(1)角鋪設復合材料軸的內阻系數隨著鋪層角的增大而增大，當鋪層角為73.4694°時，達到最大內阻系數0.0545；當鋪層角為0°時，為最小內阻系數0.0258；當鋪層角為90°時，內阻系數為0.0540.

(2)在一定的條件下，發生在正進動固有頻率附近的主共振響應具有典型的硬彈簧非線性特性，表現出多值與跳躍性.

(3)材料內阻對旋轉復合材料軸主共振響應特性的影響主要體現在對抑制振幅和改變頻率響應的穩定性方面.

(4)角鋪設方式下，主共振響應隨著鋪層角或者外阻的增大而減小,隨著長徑比或者偏心距的增大而增大.

(5)在其他參數不變的情況下，鋪層角或者外阻越小,長徑比或者偏心距越大，共振響應曲線的幾何非線性效應也越明顯.

1王震鳴，杜善義，張衡等.復合材料及其結構的力學、設計、應用和評價(第二冊).哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社,1998(Wang Zhenm ing,Du Shanyi,Zhang Heng,etal.Mechanics,Design,Application and Evaluation of Compositesand Structures(part II).Harbin：Harbin Instituteof Technology Press,1998(in Chinese))

2 Hetherington EL,Kraus RE,Darlow MS.Demonstration of a super critical composite helicopter power transm ission shaft.Journal of American Helicopter Society,1990,35(1)：23-28

3 Zinberg H,SymondsMF.Thedevelopmentof an advanced composite tail rotor driveshaft//26th Annual National Forum of the American Helicopter Society,Washington,DC,June.1970：16-18

4 Singh SP,Gupta K.Composite shaft rotordynam ic analysis using a layer w ise theory.Journal ofSound and Vibration,1996,191(5)：739-756

5 Kim CD,BertCW.Critical speed analysisof laminated composite,hollow drive shafts.Composites Engineering,1993,3(7-8)：633-643

6 Bert CW.The e ff ect of bending-tw isting coupling on the critical speed of a driveshaft//Japan-U.S.Conference on Composite Materials,6th,Orlando,FL.1992：29-36

7 Chang MY,Chen J,Chang C.A simplespinning lam inated composite shaftmodel.International JournalofSolids&Structures,2004,41(41)：637-662

8 Song O,Jeong NH,Librescu L.Implication of conservativeand gyroscopic forces on vibration and stability of an elastically tailoredrotating shaftmodeled asa composite thin-walled beam.The Journalofthe Acoustical Society ofAmerica,2001,109(3)：972-981

9 Rehfiel L W.Design analysismethodology for composite rotor blades//Proceedings of the seventh DoD/NASA conference on fi brouscomposites in structuraldesign.1985：17-20

10 Ren YS,DaiQY,Zhang XQ.Modeling and dynamic analysisof rotating composite shaft.Journal ofVibroengineering,2013,15(4)：1790-1806

11任勇生,代其義,張興琦.旋轉復合材料薄壁軸的自由振動與穩定性.振動工程學報,2015,28(1)：59-66(Ren Yongsheng,DaiQiyi,Zhang Xingqi.Free vibration and stability of a rotating thin-walled compositeshaft.JournalofVibration Engineering,2015,28(1)：59-66(in Chinese))

12 Berdichevsky V,Armanios E,Badir A.Theory of anisotropic thinwalled closed-cross-section beams.Composites Engineering,1992,2(5-7)：411-432

13 Ishida Y.Nonlinear vibrations and chaos in rotordynam ics.JSME International Journal,1994,37(2)：237-245

14 Shaw J,Shaw SW.Non-linear resonance of an unbalanced rotating shaftw ith internal damping.Journal ofSound&Vibration,1991,147(3)：435-451

15 Cveticanin L.Resonant vibrations of nonlinear rotors.Mechanism&Machine Theory,1995,30(4)：581-588

16 Ishida Y,Nagasaka I,Inoue T,etal.Forced oscillationsofa vertical continuous rotorw ith geometric nonlinearity.NonlinearDynamics,1996,11(2)：107-120

17 Hosseini SAA,Khadem SE.Analytical solution for primary resonancesof a rotating shaftw ith stretching non-linearity//Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part C.Journal ofMechanicalEngineering Science,2008,222(9)：1655-1664

18 Khadem SE.Two-mode combination resonances of an inextensional rotating shaftw ith large amplitude.Nonlinear Dynamics,2011,65(65)：217-233

19 Shahgholi M,Khadem SE.Primary and parametric resonances of asymmetrical rotating shafts w ith stretching nonlinearity.Mechanism&Machine Theory,2012,51(5)：131-144

20 ShadMR,M ichon G,Berlioz A.Modeling and analysisofnonlinear rotordynamicsdue to higherorderdeformationsinbending.Applied MathematicalModelling,2011,35(5)：2145-2159

21 HosseiniSAA,Zamanian M,Shams S,etal.Vibration analysis of geometrically nonlinear spinning beams.Mechanism&Machine Theory,2014,78(78)：15-35

22 Ren YS,Zhang YH,DaiQY,etal.Primary resonance of a rotating composite shaftw ith geometricalnonlineary.JournalofVibroengineering,2015,17(4)：1694-1706

23 SaravanosDA,VarelisD.A shearbeam finit element for thedamping analysis of tubular lam inated composite beams.Journal of Sound&Vibration,2006,291(3-5)：802-823

24 Sino R,Baranger TN,Chatelet E,etal.Dynam ic analysis of a rotating composite shaft.Composites Science&Technology,2008,68(2)：337-345

25 Ren YS,Zhang XQ,Liu YH,etal.An analyticalmodel fordynam ic simulation of the composite rotorw ith internaldamping.Journalof Vibroengineering,2014,16(8)：4002-4016

26 Crespo da Silva MRM,Glynn CC.Nonlinear fl xural-fl xuraltorsional dynamics of inextensional beams.II.Forced motions.JournalofStructuralMechanics,1978,6(4)：449-461

27 Nayfeh AH,Pai PF.Linear and Nonlinear Structural Mechanics.New York：Wiley Interscience,2004

28 Crespo da Silva MRM,Glynn CC.Nonlinear fl xural-fl xuraltorsionaldynam icsof inextensionalbeams.I.Equationsofmotions.JournalofStructuralMechanics,1978,6(4)：437-448

29 Meirovitch L.Principlesand Techniquesof Vibrations.New Jersey：Prentice Hall,1997

30 Meirovitch,Leonard.Analytical Methods in Vibrations.London：TheMacmillan Co,1967

PRIMARY RESONANCESOFAN INTERNALLY DAMPED ROTATING COMPOSITE SHAFTW ITH NONLINEARITIES IN CURVATURE AND INERTIA1)

Ren Yongsheng2)Yao Donghui
(College ofMechanicaland Electronic Engineering，Shandong University ofScience and Technology，Qingdao 266590，Shandong，China)

The rotating shaftmade of anisotropic composites is a class of typical rotor dynam ic system which has a w ide application in the structural design of advanced helicopter power transm ission and automotive drive system.The nonlinear rotordynamic behavior study of these system has significanc in theory and practice.However,at present,the research aboutnonlinear dynam ic of rotordynam ic system has restrainedly been the rotating isotropic shaft,and the e ff ectof internalmaterial damping is seldom considered.In this paper,the primary resonances of an internally damped rotating composite shaftare investigated.Nonlinearity comes from curvature and inertia induced by large deformation of in-extensionality composite shaft.Internalmaterial damping comes from the dissipative properties of viscoelasticcomposite.The dynam icalmodel incorporates rotary inertia and gyroscopic e ff ect.The extended Ham ilton principle is employed to derive the nonlinear equations of bending-bending vibration of rotating composite shaft.The Galerkin method is used to discretize these nonlinear equations,and themultiscalemethod is adopted to perturbtion analysis the ordinary di ff erential equation,then the analytical expression of primary resonances are derived.The internal damping,external damping,ply angle,length-diameter ratio,stacking sequence,and eccentic distance are numerically analyzed,the e ff ects of above parameters on stable forced vibration-response behaviors of rotating nonlinear composite shaft are discussed.The resultsshow that the internaldamping coe ffi cientofangle-ply laminated shaft increasesas the increaseof ply angle.The primary resonance curves appeared at forward linear natural frequency are found to be of the hardening type.The developedmodel is capable of describing primary resonance behaviors of rotating composite shaft.This is an importantgeneration of nonlinear dynam icmodelof in-extensional rotating isotropic shaft.

primary resonances，rotating composite shaft，internal damping，in-extensional beam，multiple scales method

TB33,TH113

A

10.6052/0459-1879-17-002

2017-01-02收稿，2017-03-27錄用,2017-03-28網絡版發表.

1)國家自然科學基金資助項目(11272190,11672166).

2)任勇生，教授，主要研究方向：機械振動、復合材料結構力學.E-mail：renys@sdust.edu.cn

任勇生,姚東輝.具有曲率和慣性非線性以及材料內阻的旋轉復合材料軸的主共振.力學學報,2017,49(4)：907-919

Ren Yongsheng,Yao Donghui.Primary resonances of an internally damped rotating composite shaftw ith nonlinearities in curvature and inertia.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：907-919