二次函數(shù)雙根式頂點(diǎn)化的探索與研究

李道生+謝七生+魏均林+平功傳+黃偉新+王振華

摘 要：通過(guò)研究二次函數(shù)雙根式與頂點(diǎn)式的相互轉(zhuǎn)化，推出了一種用雙根表示拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的新的解析式——根頂式，從而實(shí)現(xiàn)了雙根式與頂點(diǎn)式的統(tǒng)一，為解決二次函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題提供了一種全新的思考方法。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；雙根式；頂點(diǎn)化；探索研究

“二次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，二次函數(shù)的解析式除了一般式外，另有雙根式和頂點(diǎn)式。

雙根式：y=a（x-x1）（x-x2）

頂點(diǎn)式：y=a（x+■）■+■

這兩種表達(dá)式在解題過(guò)程中各自發(fā)揮著重要的作用，那么它們之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？亦即雙根與頂點(diǎn)坐標(biāo)之間有什么聯(lián)系？翻閱大量的課外書(shū)籍，我們發(fā)現(xiàn)還沒(méi)有任何人思考過(guò)這一問(wèn)題。

我們?cè)囍芯慷魏瘮?shù)雙根式與頂點(diǎn)式的相互轉(zhuǎn)化，推出了一種用雙根表示拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的新的解析式——根頂式，從而實(shí)現(xiàn)了雙根式與頂點(diǎn)式的統(tǒng)一，為解決二次函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題提供了一種全新的思考方法。

下面，將給出我們發(fā)現(xiàn)的“二次函數(shù)的根頂式”及其推導(dǎo)過(guò)程。

二次函數(shù)的根頂式：設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A

（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，則y=a（x-■）■-■x1-x2■

證明：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)

∴由二次函數(shù)的雙根式，有

y=a（x-x1）（x-x2）=ax2-（x1+x2）x+x1x2

=ax2-（x1+x2）x+（■）■-（■）■+x1x2

=a（x-■）■-■（x1-x2）■

=a（x-■）■-■x1-x2■

顯然，解析式y(tǒng)=a（x-■）■-■x1-x2■是用雙根x1，x2表示的，所以可以看作是二次函數(shù)的雙根式，又因?yàn)槠渫庠谛问绞琼旤c(diǎn)式，所以又可以看作是二次函數(shù)的頂點(diǎn)式：

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（■，-■x1-x2■），

對(duì)稱(chēng)軸方程為x=■

（注意：（x1-x2）■=x1-x2■，這樣變形是為了突出解析式的幾何意義，使解析式的內(nèi)涵更豐富）

鑒于此，我們稱(chēng)此解析式為二次函數(shù)的“根頂式”。

既然根頂式的雙重身份實(shí)現(xiàn)了雙根式與頂點(diǎn)式的和諧統(tǒng)一，我們猜想它一定可以同時(shí)發(fā)揮雙根式與頂點(diǎn)式的雙重功能，甚至?xí)?+1>2”。

帶著這一猜想，我們有意識(shí)地運(yùn)用根頂式于二次函數(shù)的有關(guān)習(xí)題中，真切感受到它的強(qiáng)大威力，一大批問(wèn)題由此獲得直接快速、簡(jiǎn)捷巧妙的解法。

下面略舉數(shù)例，讓我們一起欣賞根頂式的無(wú)窮魅力吧！

例1：已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A（-2，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且函數(shù)有最大值2，求此二次函數(shù)的解析式。

解：這里x1=-2，x2=3，將其代入二次函數(shù)的根頂式

y=a（x-■）■-■x1-x2■

得：y=a（x-■）■-■a

∵ymax=2

∴-■a=2■ 解得a=-■

故二次函數(shù)的解析式為y=-■（x-■）■+2

例2：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3），與x軸相交于（x1，0），（x2，0）兩點(diǎn)，且x1-x2=6，求此二次函數(shù)的解析式。

解：設(shè)所求解析式為：y=a（x-■）■-■x1-x2■

依題意知：■=-2 -■x1-x2■=3

∵x1-x2=6

∴-■×62=3 解得a=-■

故所求解析式為：y=-■（x+2）■+3

例3：拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1），對(duì)稱(chēng)軸x=-2，在x軸上截得線段長(zhǎng)為2■，求此拋物線的解析式。

解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-■）■-■x1-x2■

∵x1-x2=2■

∴-■x1-x2■=-2a

又∵■=-2 ∴y=a（x+2）■-2a

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1）

∴-1=a（-1+2）■-2a 解得a=1

故所求拋物線的解析式為：y=（x+2）■-2

例4：拋物線y=-x2+4x-5向上或向下平移若干個(gè)單位后，得到的新拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，求平移后所得拋物線的解析式。

解：y=-x2+4x-5的對(duì)稱(chēng)軸x=-■=2，因?yàn)閽佄锞€上下平移對(duì)稱(chēng)軸不變

故平移后的拋物線對(duì)稱(chēng)軸方程仍為x=2

設(shè)平移后的拋物線與x軸的兩交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0），

則■=2

∵a=-1 x1-x2=4

∴-■x1-x2■=4

故平移后的拋物線解析式為：y=-（x-2）2+4

例5：已知拋物線y=-x2+bx+c的最大值為5，求此拋物線在

x軸上截得的線段長(zhǎng)。

解：這里，a=-1

∵ymax=5

∴■x1-x22=5，解得x1-x2=2■

例6：已知y=2x2+bx+c的圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為4，求此函數(shù)的最小值。

解：這里，a=2>0 x1-x2=4

故ymin=-■x1-x22=-■×42=-8

我們知道，若拋物線y=ax2+bx+c與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為

A（x1，0），B（x2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），則

y=a（x-x1）（x-x2）

=a（x-■）■-■x1-x2■

=a（x+■）■+■

從而知 h=-■=■ （1）

k=■=-■x1-x2■ （2）

其中，關(guān)系式（2）將拋物線y=ax2+bx+c頂點(diǎn)縱坐標(biāo)k與系數(shù)a、b、c及拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離x1-x2聯(lián)系在一起，從而為解決拋物線的某些問(wèn)題提供了一個(gè)簡(jiǎn)明統(tǒng)一的處理方法。

例7：已知拋物線y=x2-mx+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)間的距離為2，求此二次函數(shù)的解析式。

解：依題意，x1-x2=2 根據(jù)k=■=-■x1-x2■

∴■=-■×22

解得m=±2■

故所求二次函數(shù)的解析式為y=x2±2■x+4

不經(jīng)意間獲得如此“重要”的發(fā)現(xiàn)，對(duì)于教師也許不算什么，但教師親自體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，將有利于設(shè)計(jì)符合數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)思維規(guī)律的教學(xué)程序。科學(xué)上許多重要的發(fā)現(xiàn)常常是靈感的產(chǎn)物，可謂“靈光一閃，計(jì)上心來(lái)”，但靈感的產(chǎn)生只垂青于孜孜不倦、潛心研究的有心人，只要我們帶著探索發(fā)現(xiàn)的心有意識(shí)、有準(zhǔn)備地思考問(wèn)題、研究問(wèn)題，不放過(guò)頭腦中閃現(xiàn)的蛛絲馬跡，牢牢抓住稍縱即逝的閃念，就一定會(huì)有所收獲、有所創(chuàng)造。

結(jié)果也許并不重要，重要的是發(fā)現(xiàn)過(guò)程中所反映出的思維方法有利于啟發(fā)思路、活躍思維、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，并從中感受到智力的愉悅、發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，從而更加自覺(jué)地探索發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的結(jié)果，最終成為對(duì)社會(huì)有益的創(chuàng)新型人才。

作者簡(jiǎn)介：李道生，湖北省赤壁市車(chē)站學(xué)校數(shù)學(xué)教師，主要從事快速記憶、創(chuàng)新教育、教材教法等方面研究。謝七生、魏均林、平功傳、黃偉新、王振華，赤壁市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教師。