透視形形色色的“兩點間距離公式”及其應用例析

摘 要：透視在不同知識背景下高中數學形形色色的兩點間距離公式，并通過一個實例說明公式的具體應用。

關鍵詞：透視；形形色色；距離公式；例析

中圖分類號：G632 文獻標識符：A

高中數學“兩點間的距離公式P1P2=■”是在人教版必修2的第三章《直線與方程》中的《3.3.2兩點間的距離》里學習的。在高三的綜合復習中，解析幾何大題和選考的“極坐標與參數方程”大題中常常出現“求線段長或弦長”的問題，大部分學生只想到求線段或弦長的兩個端點的坐標，再代入距離公式得到

結果，這是最直接的方法，無可厚非。但結果往往事與愿違，大部分學生并沒有快速正確地得出答案。究其原因，不是計算過程中出錯，就是求出的交點坐標比較復雜。學生只好前功盡棄，半途而廢。在講究“時間就是效率，時間就是分數”的高考考場，如果在復習中不深入研究形形色色的距離公式，不熟知在不同的知識背景下可以引申出不同的距離公式，那么學生就不會有高超的競技水平，就不能在高要求的高考考場中取得最后的勝利。在此，我旨在為高三學生總結一些來自課本的有形的“求線段長或弦長”的距離公式，幫助高三學生能在不同的知識背景下選用最好的距離公式求線段長或弦長，讓學生在數學解題中自覺遵循“熟悉化原則、模式化原則”，最終達到“簡單化原則”，從而少走彎路，快速有效地解題。

公式一：已知兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），則P1P2=

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這是求線段長或弦長的通法，但在特殊的幾何圖形里，結合所給幾何圖形的幾何特征及其數量關系，距離公式又可以進一步變

形，只要充分利用所給幾何體本身具有的性質，就可以有效避免計算上的繁瑣，從而實現高效快速地解題。

公式二：直線與二次曲線相交所得的弦長公式

設直線y=kx+m（k不存在時單獨討論）與二次曲線交于A、B

兩點，則它的弦長

AB=■·■

（其中x1、x2為直線方程與曲線方程聯立消掉y后，整理所得的方程ax2+bx+c=0的兩個根）

或AB=■·■

（其中y1、y2為直線方程與曲線方程聯立消掉x后，整理所得的方程ay2+by+c=0的兩個根）

這是直線與二次曲線（包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線）相交求弦長的普適方法。這實質是由兩點間距離公式推導出來的，只是用了交點坐標“設而不求，整體代入”的技巧，就可以有效避免求交點坐標的繁瑣。

公式三：直線和圓相交所得的弦長公式：AB=2■

如圖1，當直線與圓相交時，得到一個弦長AB，根據圓中圖形幾何性質：

半弦長、半徑r、弦心距d構成直角三角形，即有

AB=2■。

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這個公式源自人教版必修2的第四章《圓與方程》中的《4.2.1直線與圓的位置關系》，教參還突出強調了“適當地利用圖形的幾何性質，有助于簡化計算，達到事半功倍的作用”。

公式四：過拋物線y2=2px的焦點F的弦長公式AB=x1+x2+p

如圖2，過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，由拋物線的定義可知，AF等于點A到準線的距離AM，

∴AF=x1+■，同理BF=x2+■

于是得到AB=AF+BF=x1+■+x2+■，

即AB=x1+x2+p

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由此可見，只要求出點A、B的橫坐標之和，就可以求出|AB|。這是人教版選修2-1介紹的方法——數形結合。

公式五：如圖3，在極坐標系中P1（？籽1，θ1）和P2（？籽2，θ2）兩點間的距離公式：P1P2=■

特別地，當直線P1P2過原點時，P1P2=？籽1-？籽2

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公式六：在參數方程中直線與二次曲線相交所得的弦長公式：

AB=t1-t2

經過定點M0（x0，y0）、傾斜角為α的直線l的參數方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數）（此式稱為直線方程的標準形式），其中t表示直線l上以定點M0為起點，任意一點M（x，y）為終點的有向線段■的數量，所以t的幾何意義是直線上點M到M0的距離。根據直線參數方程標準形式中t的幾何意義，過定點M0的直線與二次曲線相交，交點A、B所對應的參數分別為t1、t2，則弦長AB=t1-t2。

北京航空航天大學數學與系統科學學院李尚志教授在《我看核心素養》中說：“明察秋毫、辨認區別就是一種重要的數學核心素養，而抽象就是最高的核心素養。”李教授還說：“無招勝有招，通過有招學無招。”解題中具體例子就是有招，得出公式就是學到了無招，當然無招勝過有招。下面通過一道高考模擬題舉例說明。

在直角坐標系xoy中，圓C的方程為（x-■）2+（y+1）2=9，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系。

（1）求圓C的極坐標方程。

（2）直線OP：θ=■（？籽∈R）與圓C分別交于點M、N，求線段MN的長。

解析：（1）由極直互化公式x=？籽cosθy=？籽sinθ易得結果。

（2）如圖4，此問是求線段的長，涉及的知識有圓和過原點的直線等，因此有很多解法，學生可以選擇自己的方法或較為簡單的方法來做。

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解：（1）由極直互化公式易得圓C的極坐標方程為：

（？籽cosα-■）2+（？籽sinα+1）2=9

（2）解法一思路：求出M、N兩點坐標，代入兩點間的距離公式求解。

解：由已知得直線OP方程為y=■x

由（x-■）2+（y+1）2=9y=■x整理得4x2-4■x-15=0

解得x1=■y1=■或x2=■y2=■

所以MN=■=■=2■

解法二思路：巧用“設而不求，結合韋達定理”的方法求解。

解：由已知得直線OP的方程為y=■x

設M、N的坐標分別為M（x1，y1），N（x2，y2）

由（x-■）2+（y+1）2=9y=■x整理得4x2-4■x-15=0

由韋達定理得x1+x2=■，x1.x2=-■

所以MN=■·■

=■·■

=■×3■=2■

解法三思路：此題背景是圓，所以可以用弦長的一半、半徑、弦心距的關系求解。

解：如圖5，作CA⊥MN，連接CM

由已知得直線OP的方程為y=■x？圯■x-3y=0

由點線距得CA=■=■

則有AM=■=■

所以MN=2AM=2■

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解法四思路：此題直線給的是極坐標方程，所以可以想到用極坐標兩點間距離公式求解。

解：由（1）得圓C的極坐標方程為？籽2+2？籽（sinθ-■cosθ）-5=0

設M（？籽1，■），N（？籽2，■），把θ=■代入圓C的極坐標方程，得 ？籽2-2？籽-5=0解得？籽1=■+1，？籽2=-■+1

所以MN=？籽1-？籽2=■+1-（-■+1）=2■

解法五思路：應用直線參數方程中t的幾何意義求解。

解：由已知得直線OP的參數方程為x=■ty=■t（t為參數）

把直線參數方程代入圓的普通方程得

（■t-■）2+（■t+1）2=9，化簡得t2-2t-5=0

設直線OP與圓相交所得的交點M、N所對應的參數分別為t1、t2，則有t1+t2=2，t1·t2=-5，所以

MN=t1-t2=■=■=■=2■

兩點間距離公式現身于必修2，隱身于選修2-1，變身于極坐標和直線的參數方程中，不同的知識載體，兩點間的距離公式有所不同，這就需要同學們在解題過程中注意審題，認清知識背景，仔細分析運算條件，積極探究運算方向，選擇有效的運算公式，從而快速有效地解題，并在“發現問題、總結歸納、辨別使用”的思維活動中不斷提升自身的數學素養。

作者簡介：王雅貞（1974—），女，廣西宜州市高級中學高級教師，理學學士，主要從事高中數學教育教學工作。