高中數學中球的應用

周進壯

摘 要：高中數學教師在立體幾何教學中，主要注重培養學生研究幾何體的應用意識。學生對球的知識應用缺乏一個整體的分析，也就很難對所面臨的問題有很好的把握。根據這一原因，教師在日常教學過程中應該經常幫助學生掌握研究幾何體的基本方法。下面從幾個方面研究球的應用。

關鍵詞：幾何體；組合體；四面體

一、球與棱柱的組合體問題

常見的有關正方體的內切球與外接球問題：

設正方體的棱長為a，求：（1）內切球半徑；（2）與棱相切的球半徑；（3）外接球半徑。

（1）截面圖為正方形的內切圓，得R=■；

（2）對于與正方體ABCD-A的所有棱都能相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，作截面圖，易得R=■a。

注意，學生在解答這一類問題時，關于外接球問題，先要確定柱體上下底面的外接圓的圓心，連接兩個外接圓的圓心確定連心線的中點即為外接球的球心，然后連接球心與柱體的任意一個頂點，再把柱體的頂點與外接圓的圓心連接，構成一個直角三角形，然后利用勾股定理解答球的半徑。

例1.已知三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點都在球O的球面

上，若AA1⊥平面A1B1C1，A1B1⊥B1C1，AA1=8，A1C1=2■，則球O的體積為（ ）

A.200π B.■ C.■ D.■

答案：C

二、球與棱錐的組合體問題

在解答有關立體幾何中球與棱錐的組合體問題時，學生往往簡單地根據題意可以畫出一個簡單的圖形，但由于我們的學生自從接觸了空間向量之后，似乎已經不會利用實際的圖形進行解

答，因為有關球的實際應用很難利用空間直角坐標系求解，又由于我們大多數的學生缺乏對幾何體尤其是有關球的組合體的整體分析，更是無從下手，也就很難理解問題的實質。所以，我們要讓學生學會利用好有關錐體軸截面的不同特征來解決，讓學生學會從圍成的空間幾何體的面分清所利用的圖形，注意位置關系的變化。有些特殊的幾何體，例如與正四面體有關的內切球、外接球的半徑及性質應該熟練推導，最好能記住特殊的結論。

正四面體（棱長為a）的外接球半徑R與內切球半徑r之比為R：r=3：1。

外接球半徑：R=■a

內切球半徑：r■a

特殊結論：正四面體與球的接切問題，可以引導學生通過線面的位置關系解答，而且還需要學生注意同一個正四面體的內切球和外接球的兩個球心是重合的，注意記住球心為正四面體高的四等分點，也就是正四面體內切球的半徑r=■h（h為正四面體的高），且正四面體外接球的半徑R=3r。

例2.已知三棱錐O-ABC中，A、B、C三點均在球心為O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若求O的體積為■，則三棱錐O-ABC的體積是 。

答案：■。

解析：三棱錐O-ABC中，A、B、C三點均在球心為O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，則AC=■，所以SΔABC=■×1×1×sin120°

=■，

設球的半徑為R，由球的體積V=■πR3=■，解得R=4.

設ΔABC外接圓的圓心為G，所以OG垂直于平面圓G，外

接圓的半徑GA=■=1

所以OG=■=■=■

所以三棱錐O-ABC的體積為V=■SΔABC·OG=■·■·■=■

對于四面體內切球問題，關鍵是根據“球心到四面體每個面的距離等于球的半徑”找等量關系。

注意：我們引導學生在解決有關球與正四面體四個面相切的問題時，要注意球是正四面體的內切球，球心到正四面體四個面的距離相等，都為球半徑。可以利用等體積轉換的方法進行解答，這樣求球的半徑可轉化為求球心到三棱錐面的距離，而點面距離常可以用等體積法解決，這樣一來問題就可以解答了。

例3.三棱錐P-ABC中，底面ΔABC滿足BA=BC，∠ABC=

■，P在面ABC的射影為AC的中點，且該三棱錐的體積為■，

當其外接球的表面積最小時，P到面ABC的距離為（ ）

A.2 B.3 C.2■ D.3■

解：設AB=BC=x，

OD=■ VP-ABC=■PDSΔABC=■

所以PD=■=R+■

所以

54R=■+■x4=■+■+■x4≥33■=■

所以R≥■，當且僅當■=■x4時取到等號，x=3，則PD=3

所以P到面ABC的距離為3。

注意：對于“內切”和“外接”等有關問題，首先要弄清幾何體之間的相互關系，主要包括特殊的點、線、面之間的關系，分析空間幾何體重要的是能利用空間幾何體本身的特點，抓住棱與面的關系，建立有關的等量關系，進行比較細致的研究并且作出準確的分析與判斷，這是解決有關球的內切和外接問題的重要前提。

三、多面體通過補形的方法研究外接球與內切球

將多面體補成長方體或正方體的方法是，對于正方體或長方體來說，它們的外接球可以通過研究幾何體的體對角線完成，若

能將一個多面體變成一個長方體或正方體，使其頂點與長方體或正方體的八個頂點重合，則這個多面體的外接球就是對應的長方體或正方體的外接球。