鋼筋混凝土梁表面裂縫與其力學行為的分形研究

宋 琨 于廣明 周福強 謝焦焦

(青島理工大學土木工程學院 山東 青島 266033)

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鋼筋混凝土梁表面裂縫與其力學行為的分形研究

宋 琨 于廣明 周福強 謝焦焦

(青島理工大學土木工程學院 山東 青島 266033)

通過鋼筋混凝土梁四點受彎試驗，驗證了混凝土梁表面裂縫具有統計意義上的自相似分形特性，進而研究了不同外荷載作用下，鋼筋混凝土梁表面裂縫發展分布及其分形維數變化的規律。通過鋼筋表面粘貼應變片的方法計算出不同外荷載下鋼筋的最大應力，繪制分級荷載下鋼筋混凝土梁裂縫的分形維數與鋼筋最大應力的擬合曲線，得出鋼筋最大應力與混凝土梁表面裂縫分形維數的關系，為實際工程中評估構件破壞程度提供了參考價值。

混凝土；裂縫；分形；應力

一、引言

Mandelbrot創立的分形理論[1]，打破了人們以歐式幾何方法去認識世界的局限性，從而改變了人們的思維，為研究自然界中復雜且不規則的系統提供了一種定量描述手段。分形理論使事物在極端有序和極其混沌的關系之間提供了一種可能，從而可以在復雜的自然現象中找到其發生發展的規律[2-5]。

鋼筋混凝土梁在受力過程中會在其表面產生裂縫并隨著荷載的變化而不斷擴展，通過對鋼筋混凝土梁裂縫的研究可知，梁表面的裂縫具有很明顯的分形特性[6]，因此可以采用改變觀察尺度的方法來計算出各級荷載下梁表面裂縫的分形維數，并根據各級荷載下鋼筋表面應變片的讀數計算出相應的鋼筋最大應力，從而建立裂縫的分形維數與鋼筋最大應力的關系，為混凝土結構的損傷評估提供理論依據。

二、鋼筋混凝土梁受彎試驗

該試驗梁構件采用單筋矩形截面，在受拉區布置兩根邊長為16mm的方形鋼筋，在上部布置兩根直徑為6mm的一級光圓鋼筋作為架立筋，試驗梁的截面尺寸選為b×h=248mm×296mm，梁長2.7m，左右支座距梁端各為150mm，梁的計算跨度取2.4m。試驗梁所用混凝土強度為C30，抗壓強度設計值為fc=14.3N/mm2，抗拉強度設計值為ft=1.43N/mm2，彈性模量Ec=3.0×104N/mm2。試驗所用鋼筋為HRB335，強度設計值fy=300N/mm2，強度標準值fyck=335N/mm2，彈性模量為Es=2.0×105N/mm2，混凝土保護層c=32mm。試驗時預加荷載5kN，以后每步遞增5kN直至梁完全破壞。

在試驗中，為了得到鋼筋和混凝土的應變值，在鋼筋表面及混凝土下表面粘貼應變片來計算鋼筋及混凝土的變形。

三、梁表面裂縫發展分布的分形規律

(一)鋼筋混凝土梁表面裂縫的發展

該實驗中，從鋼筋混凝土梁開始出現裂縫時對裂縫分布進行記錄，詳細描述試驗過程中鋼筋混凝土梁隨外部荷載變化的裂縫發展分布情況，并對各級荷載作用下的裂縫分布進行繪制

(二)鋼筋混凝土梁裂縫分布的分形維數

為計算方便，本文用FractalFox程序對鋼筋混凝土梁表面裂縫的分形維數進行計算。如圖4所示，FractalFox程序可以對直接導入的裂縫圖片進行網格劃分，并自動記錄不同盒子尺寸下的盒子數，然后對結果進行對數計算并擬合出雙對數曲線，則圖中曲線斜率的絕對值即為所計算荷載下裂縫的分形維數。

在試驗荷載達到40kN時，梁表面開始出現微小裂縫，隨著外荷載的繼續增加，裂縫逐漸發展，當外荷載達到110kN時，鋼筋混凝土梁破壞。當外荷載小于50kN時，梁表面裂縫的分形維數小于1，說明裂縫在擴展初期，并不具備統計意義上的自相似性。當外荷載達到50kN時，裂縫發展逐漸加快，裂縫的分布狀態也更加復雜，其分形維數也大于1，通過對盒子尺寸和盒子數的雙對數曲線的線性擬合，其相關程度也達到了90%以上，可認為其已經具有了統計意義上的自相似性。隨著外荷載的增大，裂縫發育逐漸飽滿，分形維數也在逐漸增大，進一步證明了采用分形幾何理論研究混凝土裂縫的可行性。

四、分形維數與鋼筋最大應力的關系

當外荷載達到50kN時，隨著外荷載的不斷增大，裂縫分形維數也在不斷增大。根據表2中所列出的梁的應變數據可以看出，隨著外荷載不斷增大，梁的應變也在逐漸增大，計算鋼筋最大應力時取跨中處的應變來計算。將不同外荷載下鋼筋混凝土梁表面裂縫的分形維數D和鋼筋的最大應力σmax進行擬合，可以得到裂縫的分形維數—鋼筋的最大應力的回歸關系曲線如下：

σmax=15702D2-34203D+18761

(1)

式中，σmax為鋼筋的最大應力；D為裂縫的分形維數。

從圖1可以看出，裂縫的分形維數—鋼筋的最大應力有著很好的擬合度，因此對于鋼筋混凝土構件來講，鋼筋的最大應力與裂縫的分形維數可以用二次多項式進行擬合。因此可以利用這一關系，通過測量鋼筋混凝土梁表面裂縫的分形維數來估算梁內鋼筋的應力，進而評估混凝土梁構件內部的損傷程度。

五、結論

本文利用鋼筋混凝土梁四點受彎試驗，驗證了鋼筋混凝土梁在承受外荷載作用下其表面裂縫的發展分布具有統計意義上的自相似分形性質，研究了鋼筋混凝土梁在隨著外部荷載增加的過程中，內部鋼筋最大應力與梁表面裂縫的分形維數之間的定量關系，因此可以利用裂縫的分形維數來表征裂縫發展分布的規律。在試驗梁表面裂縫逐漸變化發展的過程中，裂縫的分形維數以及梁內鋼筋的應力也在隨之變化，因此可以利用梁表面裂縫的分形維數來評估梁的受力狀況以及破壞程度。

[1]Mandelbrot B B.The Fractal Geometry of Nature.San Francisco[J].W.H.Freeman and Company,1982:361-366.

[2]辛厚文.分形理論及其應用[M].合肥：中國科學技術大學出版社，1993.

[3]Xie H P.Fractals in Rock Mechanics[M].Netherlands:A.A.Balkema Publishers,1933.

[4]特科特D L.分形與混沌-在地質學與物理學中的應用.鄭捷，季穎譯.北京：地震出版社，1993.

[5]O Z.M N.M B.Fractal-Cantorian geometry,Hausdorff dimension and the fundamental laws of physics[J].Chaos,Solitons and Fractals.2003(1):113-119.

[6]李士彬,湯紅衛,朱慈勉.鋼筋混凝土構件損傷演化的分形行為[J].石家莊鐵道學院學報,2006,(01):54-57+66.

[7]朱華，姬翠翠.分形理論及其應用.[M].北京：科學出版社，2011.

宋琨(1990.01-)，男，漢族，河北省晉州市，碩士研究生，青島理工大學，結構工程。