CORDIC算法誤差研究

李翔

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2017.14.034

摘 要：CORDIC算法廣泛用于三角、反三角函數計算。對該算法的研究主要集中于減少硬件資源消耗、提升處理效率，但對其計算誤差的深入分析較少。指出了CORDIC算法在矢量模式和旋轉模式下的誤差來源，并據此對CORDIC算法計算正弦、余弦和反正切函數的不確定度進行了定量分析。數值仿真表明理論推導與實際計算結果相吻合。

關鍵詞：CORDIC 誤差分析 不確定度

中圖分類號：TM38；TP301.6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）05（b）-0034-02

CORDIC算法全稱為“坐標旋轉數字計算機（coordinates rotation digital computer）”，該算法最初旨在僅依靠移位和加減操作計算二維坐標的旋轉變換，稍加改進后可用于實現多種超越函數，尤其多用于計算三角與反三角函數[1-3]。

目前對CORDIC算法的研究集中在降低硬件消耗、提高計算速度上[4-5]，而對該算法的計算誤差則關注甚少。早期文獻中關于CORDIC算法的誤差分析也往往限于討論誤差的上限[6-7]，且對誤差來源的分析尚不夠深入。

該文對CORDIC算法的兩種常用模式——矢量模式和旋轉模式下的誤差來源進行了討論，采用不確定度評定的方法估計計算誤差，并通過數值仿真驗證了推導結果的正確性。

2 仿真驗證

假定角度分辨率弧度，迭代16次。對于矢量模式，隨機產生10 000個幅角在區間內的矢量，并使矢量模長從逐步增大到224，用矢量模式計算反正切并統計其均方誤差（RMSE），并與式（8）給出的不確定度理論值進行對比，結果見圖1。

對于旋轉模式，隨機產生10000個區間內的角度，用旋轉模式計算它們的正弦和余弦，且矢量模長亦從逐步增大到224，統計均方誤差并與不確定度理論值對比，結果見圖2。

由圖1與圖2可見，無論矢量模式或旋轉模式，按式（8）得到的不確定度理論值均與實際的均方誤差相吻合。

3 結語

該文對CORDIC算法計算反正切、正弦和余弦函數的誤差進行了分析并給出了不確定度表達式。數值仿真結果表明，該文給出的CORDIC算法不確定度表達式能準確地估計實際計算誤差的大小，可為CORDIC算法在實際應用中的精度評估提供參考。

參考文獻

[1] 馮英翹，萬秋華，宋超，等.基于坐標旋轉數字計算算法的小型光電編碼器細分[J].光學學報，2014，34（2）：34-39.

[2] 薛凌云，孫世榮.基于CORDIC算法的磁編碼器角度誤差修正仿真研究[J].杭州電子科技大學學報：自然科學版，2016，36（1）：75-79.

[3] 葉樹亮，張潛，朱維斌.光柵莫爾信號正交誤差實時補償研究[J].儀器儀表學報，2017，38（1）：57-64.

[4] 劉小寧，謝宜壯，陳禾，等.CORDIC算法的優化及實現[J].北京理工大學學報，2015，35（11）：1164-1170.

[5] 張朝柱，韓吉南，燕慧智.高速高精度固定角度旋轉CORDIC算法的設計與實現[J].電子學報，2016，44（2）：485-490.

[6] Antelo E，Bruguera J D，Lang T，et al. Error analysis and reduction for angle calculation using the CORDIC algorithm[J].IEEE Transactions on Computers，1997，46（11）：1264-1271.

[7] Sang Yoon Park， Nam Ik Cho.Fixed-point error analysis of CORDIC processor based on the variance propagation[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems-I，2004，51（3）：573-584.