三相鄰結構的減震效果分析

劉良坤， 譚 平， 閆維明， 周福霖,

(1.北京工業大學 建筑工程學院，北京 100124； 2.廣州大學 工程抗震研究中心，廣州 510405)

三相鄰結構的減震效果分析

劉良坤1， 譚 平2， 閆維明1， 周福霖1,2

(1.北京工業大學 建筑工程學院，北京 100124； 2.廣州大學 工程抗震研究中心，廣州 510405)

提出對三個相鄰結構間連接阻尼裝置進行減震控制，推導了其單自由度簡化模型隨機響應計算公式，同時也給出了多自由度模型的阻尼、剛度等矩陣的構造方法并利用復模態法推導了其隨機響應公式；最后對單自由度簡化模型的三相鄰結構各組合情況的減震效果分別進行了分析，并詳細研究一般情況下的多自由度模型的三相鄰結構減震效果。經仿真分析表明，三相鄰結構控制后與兩相鄰結構控制所得結果基本相同；在兩相鄰結構對稱而控制無效的情況下，三相鄰結構仍可得到較好的控制效果；三相鄰結構具有良好的魯棒性，且對高階響應峰值抑制明顯。

相鄰結構；復模態；對稱；控制；魯棒性

近年來，城市用地緊張，不少高層結構不可避免地面臨處理樓間距的問題；而且當結構體型過大，結構特殊時也常需考慮設縫；為了防止結構碰撞，抗震規范給出了一定標準，盧明奇等[1]通過各類場地等條件下的大量地震波對結構的響應作了分析研究，給出了地震作用下相鄰結構的最大相對位移計算公式，然而結構減震的問題并未解決。翟長海等[2-3]討論了兩相鄰結構碰撞問題，但更多的時候，我們并不希望結構碰撞，那么如何既利用好有限的樓間距，又能防止碰撞同時減少結構自身的振動，這正逐漸成為一個研究熱點。Xu等[4-5]進行了相鄰結構間彈簧和阻尼器減震參數的分析，利用虛擬激勵法和復模態法分析表明：使用最優參數可以獲得最大的模態阻尼比并使結構響應最小；裝有Maxell型阻尼器的結構同樣可以得到較好的減震效果[6]，并且減震結構的特性與安裝Viogt黏彈性阻尼器類似[7]。朱宏平等[8-10]利用能量法得到了兩自由度簡化模型的最優參數解析式，對具有質量，剛度等不確定因素的相鄰結構分析表明，采用最優參數時，被控制的相鄰結構具有很好的魯棒性[11]。相鄰結構的阻尼減震控制效果較好，關于其最優參數的研究也比較多，Richardson等[12]利用相鄰結構的封閉解及類似于TMD的優化方式得到其最優參數的計算公式。Ok等[13-14]對具有非線性滯回特性的阻尼器進行了優化，結果也表明其具有較好的減震性能。除了連接被動控制裝置，不少研究者也熱衷于主動、半主動控制甚至混合控制[15-18]，并且其減震效果常優于一般的被動控制。

兩相鄰結構的控制研究相對成熟，但實際結構中常常出現的是三結構相鄰的情況，比如具有兩個裙房的主塔樓，或兩塔樓加裙房；又比如奇數個結構相鄰，當采用兩結構相鄰控制時總有一個結構需要單獨處理，因此，對于三相鄰結構的研究是非常有必要的。目前這方面的研究非常少，最近的文獻僅發現Kim等[19]分析了安裝黏彈性的三相鄰對稱結構在控制下的減震性能。本文將對三相鄰結構控制模型的減震特性做初步的探索。

1 單質點簡化分析模型

與兩相鄰結構控制一樣，當僅考慮每個結構的第一振型時，可將其簡化成單自由度結構，那么三相鄰結構控制簡化后，可采用三質點系模型如圖1(b)所示(本文所研究的結構均假定為層剪切模型)。若采用Kelvin控制模型，相應的運動微分模型如下:

(a) 多自由度層模型簡圖

(b) 單質點模型簡圖

(1)

式中:k1，c1為結構L與C的連接等效剛度與等效阻尼系數；k2，c2為結構C與R的連接等效剛度與等效阻尼系數；mj，cj，kj(j=L,C,R)為結構L，C，R的質量，阻尼，剛度參數。現作如下假定：

代入式(1)并經傅氏變換可得結構的傳遞函數，若取：

傳遞函數則可表示如下

(2)

(3)

同樣地，可以計算相應的速度與絕對加速度方差。

2 多質點分析模型

總阻尼矩陣如下表示：

其中，非耦聯阻尼矩陣如下表示：

總剛度矩陣表示為

其中，各耦聯結構剛度矩陣及非耦聯剛度矩陣構造方式與阻尼矩陣的構造處理類似，此處也不作詳細描述。

(4)

狀態方程(4)對應的特征矢量方程如下：

[Meλ+Ke]Φ=0

(5)

(6)

(7)

(8)

相應地結構響應均方差為

(9)

類似地，相應的速度與絕對加速度方方差也可求得。

3 減震效果分析

3.1 單質點模型

(10)

這四種常見組合按以下幾種情況進行分類

1) 對稱

組合1：中間結構C較剛，結構L與R柔，由于對稱性，只對比L與C即可，R與C類似。

組合2：中間結構C較柔，左右兩邊結構L與結構R較剛剛，由于對稱性，只對比L與C，R與C類似。

組合3：L與C(或R與C)部分對稱，結構R(L)參數任意，這里分析時只取一種情況，即L與C對稱而R參數任意，由于對稱性，另外一種情況只需更換符號即可。

2) 非對稱

組合4：除以上對稱的3種情況，結構L，C，R參數任意。

表1 參數選取

根據表1列出的結構參數值及控制參數優化范圍，優化后可得到各組合最優參數下的減震系數，本文主要討論控制效果，由于數據信息較多有關最優控制參數的情況將不全部列出，僅在分析涉及時給出。圖2～圖5分別是各組合的減震系數隨fL(fR)的變化曲線，其中，LCRL表示三相鄰結構LCR控制下結構L的減震系數，LCL即是兩相鄰結構LC控制下結構L的減震系數，后文中其他表達方式含義類似。圖2為組合1的減震系數隨fL(fR)的變化曲線，觀察圖2(a)，顯然三相鄰結構LCR全對稱情況下的控制與兩相鄰結構LC控制，對結構L的控制效果基本一致，僅略有差異，圖3(a)的組合2的情況也能得出同樣的結論，這表明全對稱的三相鄰結構LCR可以和相應的兩相鄰結構LC控制達到一樣的控制效果。圖2(b)的組合1與圖3(b)的組合2對結構C的控制情況也證實了上述的結論。

圖4則給出了組合3(部分對稱)的情況，顯然對于三相鄰結構是部分對稱的，而兩相鄰結構LC則是完全對稱的。從控制效果來看，此時兩相阾結構對稱，頻率相同而無相對位移，控制裝置不能進行工作，耗能無效，此時幾乎無控制作用；而三相鄰結構的控制效果則非常好，彌補了兩相鄰結構對稱情況下的不足，僅在接近頻率比fR=1(此時三相鄰結構全對稱)時表現出無控制作用，但只要使其中一個結構頻率與其余兩個有差別都將具有一定的減震作用。

(a) 結構L減震系數隨頻率比關系

(b) 結構C減震系數隨頻率比關系

Fig.2 Case 1: StructureCis relatively rigid and bothLandRare soft

(a) 結構L減震系數隨頻率比關系

(b) 結構C減震系數隨頻率比關系

Fig.3 Case 2: StructureCis relatively soft and bothLandRare rigid

為了了解更一般的情況，通過變換非對稱三相鄰結構L和R的頻率比得到不同情況的最優參數，繪出減震效果如圖5所示，從圖5中可以發現，三相鄰結構LCR在取得最優控制參數后的控制效果與兩相鄰結構LC(或結構CR)單獨控制的效果基本接近，這與圖2與圖3的所分析結果相同，僅在接近fL=fR=1(三相鄰結構、兩相鄰結構均對稱)時，幾乎無減震效果，但對于三相鄰結構，只要有其中一結構偏離頻率比為1就可獲得比兩相鄰結構更好的結果。此外，需要注意的，雖然圖5分析的三相鄰結構LCR的質量不相同，但其控制效果僅與各自的固有頻率有關，只要結構的固有頻率相近控制效果就會大打折扣；不過這里的分析僅僅采用了簡化的單自由度模型，考慮到實際結構的質量分布，剛度分布的差異不一定得到此結論，因此，正如上一節所述，在實際處理時需要采用多自由度結構來計算。

(a) 結構L減震系數隨頻率比關系

(b) 結構C,R減震系數隨頻率比關系

Fig.4 Case 3: StructureLandCare symmetry andRis any case

3.2 多質點模型

上節分析了單自由度模型的減震情況，而對于實際結構，受到質量，剛度等影響，高階振型是不容忽視的。此節將采用實際案例來對多質點模型進行分析。 某三相鄰結構LCR的阻尼比均為0.02，未控制的三個相鄰結構采用瑞雷阻尼計算。其中結構L有15層，每層質量為1.0E+006 kg，剛度為2.5E+009 N/m；結構C有17層，每層質量為1.5E+006 kg，剛度為2.8E+009 N/m；結構R有20層，每層質量為1.5E+006 kg，剛度為2.2E+009 N/m。所采用的控制方案為：相鄰結構各樓層處均安裝減震裝置，為分析方便，所取參數均為相同。隨機分析時利用文獻[4]的數據，譜密度S0=4.65×10-4m2/rad·s3，其余參數為ωg=15.0 rad/s，ξg=0.6，ωk=1.5 rad/s，ξk=0.6。時程分析時，選用EL-centro地震波，按8度基本設防烈度設計，取加速度幅值為0.2 g。其中輸入地震功率譜模型如下

(a) 結構L減震系數與頻率比fL，fR三維圖(三維曲面LCRL，三維網格LCL)

(b) 結構C減震系數與頻率比fL，fR三維圖(三維曲面LCRC，三維網格LCC)

(c) 結構R減震系數與頻率比fL，fR三維圖(三維曲面LCRR，三維網格CRR)

(d) 結構C減震系數與頻率比fL，fR三維圖(三維曲面LCRC,三維網格CRC)

若結構的控制參數優化范圍取ξ1,ξ2∈[0.01,0.3]，f1,f2∈[0.0,0.5]，經優化后得到三相鄰結構的最優參數[ξ1,ξ2,f1,f2]=[0.3,0.29,0.47,0.22]，結構L,C,R減震系數為[0.202 9,0.287 8,0.424 8]；兩相鄰結構LC最優參數[ξ1,f1]=[0.13,0]；同樣的，相應的兩相鄰結構L,C減震系數為[0.318 4,0.457 2]；兩相鄰結構CR最優參數[ξ1,f1]=[0.15,0]，相應減震系數為[0.351 2,0.459 6]。分析這些數據，可知此算例中，隨機激勵下，較兩相鄰結構，三相鄰結構控制可以取得更好的減震效果。

圖6比較了最優參數下三相鄰結構控制與未控制(圖中結構L,C,R)的響應功率譜，不管是位移還是加速度，從譜密度來看，三相鄰結構控制可在很大程度上削弱其未控制情況下的峰值，而且對高階的峰值也有較好地抑制作用，這說明三相鄰結構在控制后具有較好的魯棒性。圖7進一步論證了實際地震波下的良好控制效果，通過與未控制的三相鄰結構、控制的兩相鄰結構對比，發現三相鄰結構對加速度的控制效果均更好，僅對R結構控制時中部樓層略有放大；而對位移的控制上三相鄰結構控制略差于兩相鄰結構控制效果，但對R的控制效果好些，這與本文中采用絕對加速度的減震系數作為優化目標有關。

(a) 頂層位移功率譜

(b) 頂層絕對加速度功率譜

4 結 論

本文提出對三個相鄰結構進行控制，根據兩相鄰結構的簡化方法，將三相鄰結構簡化為單自由度模型，并推導了隨機響應計算公式；為更合理地分析，又推導了多自由的三相鄰結構運動方程，給出了阻尼、剛度等矩陣的構造方式，并利用復模態推導隨機響應公式。

(a) 結構L

(b) 結構C

(c) 結構R

(d) 結構L

(e) 結構C

(f) 結構R

經仿真分析表明：

(1) 三相鄰結構的控制即使在對稱的情況下，其控制效果也接近相應的非對稱情況下兩相鄰結構控制效果。

(2) 當兩相鄰結構對稱時，幾乎無控制效果，但三相鄰結構仍可得到較好的控制，僅當其三個結構頻率都相同時才無控制效果。

(3) 三相鄰結構具有良好的魯棒性，對多階譜密度響應峰值具有削弱作用；在實際地震動作用下也能得到較好的控制效果。

由于控制參數信息量大，限于篇幅，本文減少了對控制參數分析，這一方面以及三相鄰結構相互之間的能量傳遞情況有待進一步探究。

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Aseismic control effect analysis for three adjacent structures

LIU Liangkun1, TAN Ping2, YAN Weiming1, ZHOU Fulin1,2

(1. College of Architecture and Civil Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China; 2. Earthquake Engineering Research & Test Center, Guangzhou University, Guangzhou 510405, China)

Using damping devices connected among three adjacent structures to implement their aseismic control was proposed here. The random response formula was derived based on a single-DOF system simplified model for three adjacent structures. Further, a multi-DOF system model’s stiffness matrix and damping one construction method for three adjacent structures was presented and the multi-DOF system’s random response formulas were deduced based on the complex mode superposition method. Finally, the aseismic control effects of various combinations of the single-DOF system simplified model for three adjacent structures were analyzed, respectively and those of the multi-DOF system model for three adjacent structures were also studied in detail. The simulation results showed that after using connected damping devices, the aseismic control effects for three adjacent structures and those for two adjacent structures are almost the same; when the aseismic control is invalid due to two adjacent structures’ symmetry, the aseismic control effects for three adjacent structures are still better; in addition, three adjacent structures have a good robustness and their higher-order response peaks are suppressed significantly under random earthquake excitation.

adjacent structures; complex mode; symmetry; control; robustness

教育部創新團隊項目(IRT13057)；國家自然科學基金(97315301-07;51478129)；廣東省特支計劃項目(2014TX01C141)

2016-04-20 修改稿收到日期：2016-06-14

劉良坤 男，博士生，1988年5月生

譚平 男，研究員，博士生導師，1973年9月生

TU352.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.002