輪輻板式局域共振聲子晶體隔振器的振動特性研究

趙浩江， 宋 揚， 劉榮強

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033；2.東北林業大學 機電工程學院，哈爾濱 150040；3.哈爾濱工業大學 機電工程學院，哈爾濱 150001)

輪輻板式局域共振聲子晶體隔振器的振動特性研究

趙浩江1， 宋 揚2， 劉榮強3

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033；2.東北林業大學 機電工程學院，哈爾濱 150040；3.哈爾濱工業大學 機電工程學院，哈爾濱 150001)

基于局域共振帶隙機理，設計一種新型的輪輻式三組元凸起聲子晶體板隔振器，并結合理論帶隙計算、有限元仿真和試驗測試對隔振器的低頻隔振特性進行分析和驗證。研究發現，以輪輻形板為三組元凸起聲子晶體板的基板比圓形板容易獲得更大的帶隙頻率范圍內衰減幅度。基板上開孔可以提高帶隙的終止頻率，從而增大帶隙寬度。選用三種雙側凸起的原胞為輪輻板的基本單元，設計了三種單輪輻板隔振器，以及不同輪輻板排列組合的六種雙輪輻板和六種三輪輻板隔振器。實測數據表明，單輪輻板、雙輪輻板以及三輪輻板隔振器在其帶隙頻率范圍內平均衰減幅度分別可以達到24 dB、34 dB以及38 dB。這種結構設計及研究結果在低頻減振領域有潛在的應用前景。

聲子晶體;局域共振;隔振器;低頻帶隙

結構振動廣泛存在于各個工程領域中，抑制有害的結構振動一直是工程技術中迫切需要解決的問題之一。聲子晶體概念的提出[1-2]為結構振動抑制提供了一種新思路。聲子晶體是一種具有彈性波帶隙特性的人工周期材料，在帶隙頻率范圍內的振動形式不能通過聲子晶體，因此可應用于減振隔振領域。與傳統的主動、被動隔振相比，聲子晶體結構可實現結構與隔振系統的一體化設計，并且具有質量輕、隔振頻率寬、可靠性高等優點，在工程隔振領域具有廣泛的應用前景。

聲子晶體按照其帶隙形成機理可分為Bragg散射型和局域共振型。其中局域共振型聲子晶體通過振子在特定頻率范圍內產生局域共振，將振動能量局域在振子內，減少振動能量在結構中的傳播，可以實現對應波長遠大于其晶格常數的低頻帶隙，即用較小的結構尺寸獲取低頻帶隙。自劉正猷等[3]提出局域共振聲子晶體的概念以來，國內外學者對這類聲子晶體的帶隙形成機理開展了大量的研究[4-8]。凸起型聲子晶體板[9-12]是可實際應用的局域共振聲子晶體結構中最重要的類型之一，它將聲子晶體的振動帶隙特性和板結合，通過合理設計可以達到良好的隔振效果。按組元數不同，凸起型聲子晶體板可以分為單組元、雙組元和三組元凸起型聲子晶體板。Bilal等[13]研究了一種基板上孔和凸起周期分布的局域共振彈性超材料，發現這種結構能夠產生彈簧墊效應，對凸起的局域共振特性起到放大作用，從而增寬了局域共振帶隙。Hsu[14]提出了一種帶“頸部”的凸起型聲子晶體板，分析表明這種鋼單組元結構同時具有局域共振帶隙和Bragg散射帶隙，并且“頸部”的結構參數對帶隙具有重要影響。Wang等[15-16]研究了雙側周期凸起均質鋁板的能帶結構特征，發現雙側凸起對稱布置時凸起的局域共振與板的Lamb模式的耦合更強，容易獲得更寬的帶隙。Oudich等[17]對影響二組元和三組元凸起型聲子晶體板帶隙的結構參數進行了分析，指出低頻帶隙是凸起的局域共振與平板Lamb波模態耦合的結果。Assouar等[18-19]提出二組元及三組元的雙側凸起板，研究結果表明，雙側凸起對稱布置時可以增強凸起的局域共振與板Lamb模式的耦合作用，從而增大帶隙寬度。Yu等[20]研究表明，以橡膠為均質板，均布鋼凸起的聲子晶體具有超低頻局域共振帶隙。但可以想象，這種結構是很難實際應用的，因為橡膠均質板很難提供結構需要的支撐強度。以上研究皆停留在“材料”層面，沒有考慮機械接口、安裝方式、空間尺寸等因素，不能直接用于結構隔振，因此應該設計基于凸起型聲子晶體板的隔振器結構。

本文提出了一類以雙側對稱凸起的三組元聲子晶體輪輻板為關鍵元件的單向隔振器結構，并分別從結構設計、有限元仿真和實驗三個方面對隔振器的振動帶隙進行分析和研究。首先通過對比帶隙內隔振效果，確定聲子晶體板為輪輻形，并選取合適孔徑的基板孔來增大帶隙寬度。其次，用有限元法計算了3種不同聲子晶體板原胞的理論帶隙。最后，通過有限元仿真和試驗測試，驗證了單輪輻板、雙輪輻板以及三輪輻板隔振器的低頻隔振特性。實測結果證明這類輪輻式隔振器在其理論帶隙頻率范圍內具有良好的隔振效果。

1 隔振器結構設計

1.1 振動傳遞路徑選擇

輪輻式隔振器的設計目的是隔離振源傳遞給有效載荷的垂直振動，因此需要考慮隔振器與振源和有效載荷的連接方式。考慮到隔振器結構的緊湊性和對稱性，本文選用外包絡圓直徑為500 mm的凸起型聲子晶體板為隔振器的核心部件。根據圓板直徑選擇鋁合金基板厚為5 mm，凸起層為橡膠和鋼，晶格常數為50 mm，基板上下兩側圓柱凸起層直徑為30 mm，各凸起層厚度為5 mm。文中所用材料參數如表1所示。

表1 計算用到的材料參數

仿真分析結果表明，振動能量在隔振器內的傳遞路徑對隔振效果有重要影響。隔振效果與凸起的周期數目有關，周期數越多，隔振效果越好，但是當周期數達到一定數值后，繼續增加周期對隔振效果的改善作用不大。若圓形基板上全部布置“橡膠層-鋼層”的復合型凸起，得到的隔振器質量會很重。為了減輕重量，只在圓板上的部分位置布置凸起結構。對比下圖1所示聲子晶體板上振動輸入輸出的傳遞路徑。圖1(a)和圖1(b)分別采用圓形聲子晶體板和輪輻形(外包絡形狀為圓形)聲子晶體板。考慮到結構的對稱性和穩定性，分別通過基板一側的3個連接塊輸入加速度激勵，通過基板另一側的3個連接塊采集振動加速度響應信號。根據振動輸入和輸出的方式，在基板的兩側按6條輪輻狀布置凸起，且每條輪輻由兩排凸起構成，相鄰輪輻條之間成60°間隔。其中3條輪輻對應振動輸入端，另外3條對應振動輸出端。

(a) 圓板輸入輸出 (b) 輪輻板輸入輸出

圖1 兩種不同振動傳遞路徑

Fig.1 Two different vibration transfer paths

圖2所示為以上兩種布置形式的聲子晶體板的振動傳遞特性的仿真結果(各凸起材料層厚度5 mm)，其中灰色陰影區域為有限元法計算的理論帶隙頻率范圍。

圖2 兩種傳遞路徑的振動傳遞特性有限元仿真

可見，圖1(b)所示輪輻形凸起板的振動衰減幅度要明顯大于圖1(a)所示的圓形凸起板。雖然圓形聲子晶體板和輪輻形聲子晶體板上凸起數量相同，但兩者的振動傳遞路徑不同。對于圓形聲子晶體板，部分振動能量可不經過與輸入和輸出端對應的凸起輪輻條，而直接通過相鄰的輸入、輸出端之間的基板部分進行傳遞，可能導致靠近圓板中心的凸起周期沒有充分地發揮其隔振效果。但輪輻形聲子晶體板的情況不同，由輸入端連接塊傳入聲子晶體板的振動能量，必須經過輪輻條上的全部凸起周期后才能通過相鄰的輸出端轉接板傳出。因此，輪輻板上全部的凸起周期能充分起到減隔振作用。

1.2 原胞結構優化

根據周期結構的Bloch定理，聲子晶體的色散關系(即能帶結構)可以通過計算單個原胞獲得。本文采用有限元商業軟件COMSOL Mutiphysics中的固體力學模塊中的特征頻率部分求解雙側凸起三組元聲子晶體板的能帶結構。在原胞的上下表面施加自由應力邊界條件，并在相鄰原胞分界面上施加周期邊界條件：

u(x+a1,y)=u(x,y)eik1·a1

(1)

u(x,y+a2)=u(x,y)eik2·a2

(2)

式中:k=(k1,k2)是被限制在第一不可約布里淵區的波矢;a1、a2表示原胞的基矢。沿著第一不可約布里淵區的高對稱邊界求解特征值方程，即可得到雙側凸起聲子晶體板的能帶結構。

為增寬隔振帶隙，在以上輪輻式板的基礎上進一步優化。Bilal和Assouar的研究表明，在凸起型聲子晶體板基板的無凸起部分開孔可以產生彈簧墊效應，對凸起的局域共振特性起到放大作用，達到增寬帶隙的效果。受此啟發，本文分析了凸起和帶孔基板組合成的三組元聲子晶體板上孔徑對彎曲振動帶隙起始位置的影響。如圖3(a)所示為基板上有孔的雙側單振子凸起板原胞，以原胞基板正方形的四個角為圓心開孔。圖3(b)是彎曲振動帶隙起始位置隨孔徑dh變化的情況。

(a)原胞(b)彎曲帶隙起止頻率隨孔徑的變化

圖3 基板上帶孔的雙側對稱凸起板

Fig.3 Symmetric DSPPCP with holes on its base plate

可見，隨著孔徑dh的增大，帶隙起始頻率基本不變，而終止頻率向高頻移動，導致帶隙寬度增大。但孔徑也不易過大，否則會使輪輻板沒有足夠的剛度支撐有效載荷而發生嚴重變形。根據以上分析，最終確定隔振器中的輪輻形雙側凸起板采用如圖4所示的形式。其中凸起直徑dp和孔徑dh都為30 mm。

(a)輪輻板最終結構示意圖 (b) 多輪輻板組合照片

圖4 帶孔的輪輻形雙側單振子凸起型聲子晶體板

Fig.4 Spoke-like DSPPCP with holes

1.3 輪輻式隔振器的可拓展性及工作原理

以圖4所示輪輻形雙側單振子凸起型聲子晶體板為核心部件的輪輻板隔振器具有很好的可拓展性。根據其振動輸入、輸出位置的對稱性特點，理論上可用連接塊將無限多片輪輻板進行組合，形成含多片輪輻聲子晶體板的多級單向隔振器。但在實際設計中，輪輻板的數量不宜過多，否則會降低隔振器的穩定性和可靠性。容易想到，通過結構參數和材料參數設計，使各輪輻板具有不同的帶隙位置和寬度，則多片輪輻板組合可以實現不同位置和寬度的帶隙的組合，使隔振器在更寬的頻率范圍內獲得隔振效果。以三輪輻板隔振器為例說明多輪輻板隔振器的工作原理，如圖5所示為三輪輻板隔振器結構爆炸圖。輪輻板隔振器主要由三部分組成：與振源連接的輸入端轉接板、輪輻形雙側凸起聲子晶體板組及與有效載荷連接的輸出端轉接板。板與板之間通過連接塊銜接，利用連接塊的厚度為聲子晶體板和兩轉接板提供足夠的間隙。相鄰兩板之間有3個連接塊，振動能量通過連接塊傳入下一層輪輻板(或輸出端轉接板)，帶隙頻率內的振動能量經過輪輻板后被衰減。

圖5 三輪輻板隔振器結構

選用編號為A、B、C的3種基板上帶孔的雙側對稱凸起原胞，它們的外側凸起層材料、橡膠層厚度及其彎曲振動帶隙頻率范圍如表2所示。表中各原胞的ΓX方向能帶結構如圖6所示，其中黑色區域為帶隙頻率范圍。

表2 隔振器輪輻板采用的原胞

(a) A原胞

(b) B原胞

(c) C原胞

分別將含A原胞、B原胞及C原胞的輪輻板稱為A板、B板和C板，含A板、B板、C板的單輪輻板隔振器命名為隔振器11、隔振器12及隔振器13。含不同原胞輪輻板(不同排列順序)的雙輪輻板隔振器及三輪輻板隔振器的編號,如表3所示。

2 隔振特性的仿真與實驗

2.1 單輪輻板隔振器隔振特性

在振動臺上對以上3種單輪輻板、6種雙輪輻板和6種三輪輻板隔振器進行正弦掃頻振動實驗。如圖7所示，通過控制器控制振動臺輸出垂直于隔振器板面的5 Hz到1 200 Hz的正弦掃頻激勵，激勵加速度為1 g。采集上端蓋的加速度信號，并與振動臺輸入加速度信號進行對比，經過數據處理后獲得單輪輻板隔振器的振動傳遞特性曲線。

表3 多輪輻板隔振器編號

圖8為實驗測試和有限元仿真獲得的3種單輪輻板隔振器的振動傳遞特性曲線。圖中陰影部分對應圖6中的各原胞帶隙的頻率范圍，實線為實驗測得頻響曲線，虛線為有限元仿真頻響曲線。隔振器11、12、13的帶隙頻率范圍內的實測最大衰減幅度分別為31.0 dB、37.1 dB和32.0 dB，帶隙內平均實測衰減幅度(帶隙內各采樣點衰減幅度之和除以采樣點數)分別為24.2 dB、29.5 dB和25.6 dB。由圖8知，3種單輪輻板隔振器的振動傳遞特性的有限元仿真結果和實驗測試結果，除前兩階固有頻率的位置較為一致，其它高階共振頻率的位置都有較大差異，但是仿真和實驗曲線在理論帶隙頻率范圍內都有明顯衰減。

圖9所示為隔振器11的前兩階固有頻率對應振型及帶隙內頻率對應振型。可以看出，單輪輻板隔振器的一階振型是以輸出轉接板為剛體質點、以輪輻板為彈簧的“彈簧-質點”垂直于板方向的往復振動，因此輪輻板主要提供剛度模量，增加的凸起對輪輻板剛度的影響不大，因此對固有頻率改變不明顯。而二階振型是以輸入轉接板和輸出轉接板為靜止點，輪輻板受其自身質量影響做的凹凸振動，因此增加的凸起質量降低了固有頻率。由帶隙內振型可知，振動能量局域在與振動輸入轉接板連接的輪輻的前幾個凸起上，凸起局域共振產生的反作用力有效地抵消了部分振動激勵力，振動在帶隙頻率范圍內的傳遞被有效降低，使傳遞到輸出轉接板的振動能量大幅度降低。

(a) 單輪輻板隔振器

(c) 三輪輻板隔振器

(a) 隔振器11

(b) 隔振器12

(c) 隔振器13

(a) 一階振型27 Hz

(b) 二階振型100 Hz

2.2 雙輪輻板隔振器隔振特性

圖10為6種雙輪輻板隔振器振動傳遞特性的有限元仿真與實驗測試結果的對比。其中淺灰色區為各輪輻板對應的理論帶隙頻率范圍，深灰色區為帶隙重疊范圍。可見，隔振器21和22，以及隔振器25和26的兩個理論帶隙分別具有重合區域，并且在重合后連成的整個帶隙范圍內振動都有明顯的衰減。隔振器23和24的兩個理論帶隙不重合，但在兩個分離的帶隙頻率范圍內振動也有明顯的衰減。注意到，雖然隔振器21和22、隔振器23和24以及隔振器25和26具有相同的理論帶隙范圍，但由于輪輻板的排列順序不同，帶隙范圍內的振動衰減幅度有顯著差異。表4給出6種雙輪輻板隔振器在其理論帶隙頻率范圍內(圖10中灰色區域)的實測最大衰減幅度、平均衰減幅度以及帶隙重疊區內平均衰減幅度。

理論帶隙頻率范圍內，整體上隔振器21比隔振器22的實測衰減幅度大，尤其是在理論帶隙重合區，衰減幅度明顯比非重合區大。隔振器21帶隙內的衰減最高達到53.2 dB，帶隙內總(兩帶隙連成的總帶隙范圍內)平均衰減達39.9 dB；而隔振器22最高能達到47.8 dB，帶隙內總平均衰減達37.8 dB。對比隔振器23和隔振器24，可以發現隔振器24在C原胞的理論帶隙內的衰減(平均32.0 dB)強于隔振器23在相同頻率范圍內的衰減(平均24.7 dB)。這是由于隔振器23的振動能量首先經過A原胞輪輻板，而隔振器24的振動能量首先經過C原胞輪輻板。對于隔振器23，振動能量經過A原胞輪輻板后引起A原胞輪輻板在C原胞的理論帶隙頻率范圍內的大幅度振動，降低了后續C原胞輪輻板的隔振效果。對比隔振器25和隔振器26的隔振器效果可以看出，兩隔振器在其組成輪輻板的理論帶隙范圍內的振動都有顯著衰減。其中隔振器25的帶隙內最大實測衰減幅度可以達到49.8 dB，而隔振器26的帶隙內最大衰減幅度可以達到46 dB左右。隔振器26比隔振器25在帶隙范圍內的衰減幅度更為平穩，沒有出現像隔振器25那樣的多個帶隙內的固有頻率峰值，隔振器26帶隙內總平均衰減幅度達到40 dB。

(a) 隔振器21

(b) 隔振器22

(c) 隔振器23

(d) 隔振器24

(e) 隔振器25

(f) 隔振器26

Tab.4 Attenuation amplitude in the vibration band gaps of isolators with two spoke-like plates

隔振器編號帶隙內最大衰減/dB帶隙內平均衰減/dB第1帶隙第2帶隙第1帶隙第2帶隙總平均重疊區2153.253.239.745.939.949.22247.847.736.741.337.841.82343.837.232.924.730.1———2442.639.735.132.034.0———2549.844.638.133.235.841.42646.045.439.940.940.041.9

以隔振器26為例，分析雙輪輻板隔振器的振型特征。如圖11所示的3個振型分別對應隔振器26的一階固有頻率、一階帶隙以及二階帶隙。圖示振型下隔振器26的輸入轉接板在上、輸出轉接板在下。可見，雙輪輻板隔振器的一階振型以輸出轉接板作剛體，以兩輪輻板為彈簧作垂直于板面的往復振動。而在一階帶隙(B原胞的理論帶隙)內505 Hz對應的振型中，振動首先經過C原胞輪輻板引起了6個輪輻明顯的彎曲變形，然后才傳遞到B輪輻板引起凸起的局域共振，即振動在被抑制前首先被放大了，影響了隔振器的整體隔振效果。而對于二階帶隙(C原胞的理論帶隙)內805 Hz對應的振型，振動在被B輪輻板放大之前首先經過了C輪輻板上凸起局域共振的抑制，相對于C輪輻板，其后的B輪輻板幾乎沒有位移。

(a) 一階固有頻率15 Hz

(b) 一階帶隙內振型505 Hz

(c) 二階帶隙內振型805 Hz

2.3 三輪輻板隔振器隔振特性

由以上單輪輻板隔振器和雙輪輻板隔振器的振動傳遞特性曲線可見，隨著頻率和輪輻板的增加，雖然總體上各帶隙內的振動衰減趨勢一致，但仿真曲線和實驗曲線之間的誤差越來越大，除前兩階固有頻率峰值位置吻合較好之外，其它的各峰值位置都存在誤差。這是由于仿真時未考慮材料阻尼、連接強度、加工誤差等因素的影響。因此，隔振特性以振動實驗的實測結果為準，而圖12只給出以上6種三輪輻板隔振器振動傳遞特性的實驗測試結果。

可見，隔振器的三個理論帶隙分別兩兩重合，并且在重合后形成的整個帶隙范圍內振動都有明顯的衰減。輪輻板排列順序對三輪輻板隔振器的帶隙內的振動衰減幅度也有明顯影響，不同的排列方式分別在不同頻率范圍內獲得最大衰減幅度。表5給出6種三輪輻板隔振器在其理論帶隙頻率范圍內的實測最大衰減幅度、平均衰減幅度以及帶隙重疊區內平均衰減幅度。其中帶隙A、帶隙B和帶隙C分別表示A原胞、B原胞和C原胞的理論帶隙。對比可知，6種三輪輻板隔振器的帶隙內最大振動衰減幅度都在52 dB以上，總平均衰減幅度都在38 dB以上，三輪輻板隔振器的振型與雙輪輻板相似，在此不再贅述。

(a) 隔振器31

(b) 隔振器32

(c) 隔振器33

(d) 隔振器34

(e) 隔振器35

(f) 隔振器36

編號帶隙內最大衰減/dB帶隙內平均衰減/dB帶隙A帶隙B帶隙C帶隙A帶隙B帶隙C總平均重疊區平均/dB重疊區1重疊區23152.252.252.939.644.636.538.944.748.23250.852.446.540.745.434.939.845.541.93355.255.245.544.447.537.242.651.134.23452.354.352.243.647.147.445.646.843.73554.554.552.242.347.342.442.048.950.43652.354.050.642.446.046.944.943.748.4

3 結 論

本文在三組元凸起型聲子晶體板的基礎上，經過振動傳遞路徑改進和原胞結構優化，設計了一種利用凸起板彎曲振動帶隙實現單方向振動隔離的模塊化的輪輻式隔振器。主要得到以下結論和成果：

(1) 經過有限元仿真對比，輪輻形凸起板的板比圓形凸起板具有更好的隔振效果，且在基板上凸起以外的空余空間開孔，可以提高彎曲帶隙的終止頻率，從而擴大三組元凸起型聲子晶體板帶寬。因此確定以帶孔的凸起輪輻板為隔振器的關鍵部件。

(2) 分別選用了橡膠厚度和外側凸起材料不同的3種DSPPCP原胞為輪輻板的基本單元，通過仿真和實驗驗證了相應的3種單輪輻板隔振器在帶隙頻率范圍內的隔振效果。實測數據證明，單輪輻板隔振器在帶隙頻率范圍內平均衰減幅度可以達到24 dB以上。

(3) 將以上3種DSPPCP原胞的輪輻板進行排列組合，分別獲得了6種雙輪輻板隔振器和6種三輪輻板隔振器。仿真及實驗結果表明，在構成隔振器的各輪輻板對應帶隙頻率范圍內振動都有明顯衰減，不同輪輻板帶隙重疊的頻率范圍的衰減幅度得到加強。雙輪輻板和三輪輻板隔振器實測的帶隙內平均衰減幅度分別可達34 dB以上和38 dB以上，隔振效果顯著。顯然，隨著輪輻板數量增加(意味著振子數量增加)，其隔振器起到很好抑制振動的效果。

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Vibration characteristics of spoke-like vibration isolators with locally resonant photonic crystal plates

ZHAO Haojiang1, SONG Yang2, LIU Rongqiang3

(1. Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences, Changchun 130033, China；2. College of Mechatronic Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China;3. School of Mechatronic Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Spoke-like vibration isolators composed of three-component photonic crystal plates were designed based on the locally resonant mechanism of vibration band gaps. The low-frequency vibration isolation characteristics of the designed isolators were investigated through vibration band gap calculation, finite element simulation and tests. The results showed that compared with a round base plate, a spoke-like base plate is more effective to obtain vibration amplitude attenuation in the frequency band gap range; periodic holes on the base plate of a spoke-like pillared photonic crystal plate can enlarge the band gap width by raising the cutoff frequency of the frequency band gap. Three bilateral cells were taken as basic units of double-side pillared plates, three isolators with one spoke-like plate, six isolators with two spoke-like plates and six isolators with three spoke-like plates were designed. Test results showed that the average vibration amplitude attenuations of the designed spoke-like vibration isolators with one, two and three spoke-like double-side pillared photonic crystal plates (DSPPCPs) can reach 24 dB, 34 dB and 38 dB, respectively; these structural designs and investigation results have a potential application prospect in the field of low-frequency vibration reduction.

photonic crystal; local resonance; vibration isolator; low-frequency band gap

“111”工程(B07018)

2016-03-14 修改稿收到日期：2016-06-03

趙浩江 男，博士，助理研究員，1986年3月生

劉榮強 男，博士，教授，博士生導師，1965年10月生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.007