兩級漸開線齒輪傳動系統橫-擺-扭耦合非線性動力學建模與試驗驗證

劉 輝， 張 晨， 王 成

(1. 北京理工大學 機械與車輛工程學院，北京 100081；2. 中國北方車輛研究所，北京 100072)

兩級漸開線齒輪傳動系統橫-擺-扭耦合非線性動力學建模與試驗驗證

劉 輝1， 張 晨1， 王 成2

(1. 北京理工大學 機械與車輛工程學院，北京 100081；2. 中國北方車輛研究所，北京 100072)

以兩級漸開線齒輪傳動系統為研究對象，分析了幾何偏心、中心距安裝誤差以及齒輪中心支撐彎曲變形引起中心距的變化對嚙合角和間隙的影響，引入非線性動態嚙合剛度模型，得到了各級齒輪傳動的非線性動態嚙合力。采用拉格朗日方法建立了考慮偏心、間隙、時變嚙合角以及非線性動態嚙合剛度模型的兩級齒輪傳統系統橫-擺-扭非線性動力學模型，采用4階定步長龍哥庫塔法求解非線性動力方程。針對一個兩級齒輪傳統系統試驗裝置進行理論計算和試驗測試，安裝在齒輪圓周對稱位置的角加速度傳感器，測試結果顯示各工況下齒輪角加速度仿真值與實驗值最大誤差為23.51%；固定安裝在箱體上的位移傳感器測得振動位移仿真值與實驗值最大誤差為21.21%；粘貼在軸上的應變片測得扭轉切應力仿真值與實驗值最大誤差為17.9%。研究結果表明：仿真結果與試驗結果的變化趨勢基本吻合，且誤差在可接受范圍內。分析了可能導致仿真結果與試驗結果之間產生誤差的原因，驗證了漸開線直齒輪傳動橫-扭-擺耦合非線性動力學模型和非線性動態嚙合模型的正確性。

齒輪；非線性；試驗驗證；間隙；嚙合角

齒輪傳動系統是應用最為廣泛的機械傳動系統形式之一，隨著齒輪傳動系統向著高速、重載方向發展，在內、外激勵共同作用下齒輪傳動系統產生的振動和噪聲，嚴重影響其使用性能。建立精確的動力學模型研究齒輪傳動系統的動態性能已成為了重要的研究課題[1]。國內、外學者對齒輪傳動非線性動力學模型以及齒輪動態特性做了廣泛和深入的研究。

齒輪傳動系統的動力學模型經歷了由線性到非線性，由定常到時變的發展過程[2]，間隙和時變剛度也成為了重要的非線性因素。在齒輪非線性動力學模型中，間隙多為定值，時變剛度采用準靜態的方法獲得，兩者作為齒輪非線性動力學方程的輸入條件。Kahraman等[3]考慮定常間隙和周期剛度的時變性，建立了三自由度齒輪非線性動力學模型，研究了時變剛度與間隙之間的耦合作用。Lassaad等[4]建立了兩級齒輪傳動非線性動力學模型，模型中考慮定常間隙和周期時變剛度。崔亞輝等[5]考慮定常間隙、時變周期剛度，建立了齒輪—轉子耦合系統，并研究了動態響應及齒側間隙對振幅跳躍特性的影響。近期，Skrickij等[6]對嚙合剛度的計算方法進行了研究，考慮中心距偏差對嚙合剛度的影響，在此基礎上研究了齒輪的非線性動力學特性。Kim等[7]考慮了齒面、齒背嚙合相位差造成非對稱嚙合剛度模型，分析了齒輪傳動系統的空載敲擊特性。Chen等[8]忽略間隙，考慮中心彎曲變形對嚙合角的影響并采用矩形波形式的嚙合剛度，建立了齒輪6自由度非線性動力學模型，并研究了系統參數對此輪動態特性的影響。Chen等[9]考慮了中心距變化對間隙的影響，研究了動態間隙對齒輪動態特性的影響。Zhang等[10]考慮了幾何偏心的影響，建立了齒輪非線性動力學模型，研究了幾何偏心對齒輪動態特性的影響。

齒輪傳動過程中，齒輪的間隙和時變剛度與齒輪的實際運動狀態密切相關。為了能夠更加準確的描述齒輪傳動過程中的嚙合狀態，需要建立與齒輪實際運動狀態密切相關的齒輪非線性動態嚙合模型。本文基于漸開線齒輪的嚙合原理，首先，考慮幾何偏心、中心距偏差分析了齒輪中心距變化對嚙合角和間隙的影響，隨后，分析了齒輪的轉速波動、齒輪中心距變化以及齒面、齒背嚙合相位差對嚙合點的影響，結合單、雙齒嚙合邊界條件并采用解析法計算嚙合剛度，最后，提出了齒輪傳動的非線性動態嚙合反饋模型。考慮幾何偏心、陀螺力矩、嚙合偏載力矩和非線性動態嚙合反饋模型，建立了10自由度單級齒輪傳動非線性動力學模型，并采用數值法求解非線性動力學方程。對比研究了不同模型下齒輪動態特性隨轉速的變化趨勢，最后，研究了中心距偏差對齒輪動態特性的影響。針對一個兩級齒輪傳統系統試驗裝置進行理論計算和試驗測試，通過安裝在箱內的傳感器分別采集了各工況下齒輪的角加速度、振動位移以及軸的扭轉切應力值。對比分析了各仿真結果與試驗結果的變化趨勢，且誤差在可接受范圍內。最后分析了可能導致仿真結果與試驗結果之間產生誤差的原因。

1 齒輪傳動非線性動態嚙合力

兩級齒輪傳動系統三維動力學模型如圖1所示，絕對坐標系OXY中心位于齒輪1旋轉中心位置，Ci、為齒輪i的質心位置，ei為齒輪i的幾何偏心。齒輪輪體簡化為剛體，每個齒輪存在5個自由度，包含兩個平移自由度x，y以及三個扭轉自由度θx，θy，θz。zi為齒輪i的齒數，rbi為齒輪i的基圓半徑,mi為齒輪i的質量，Ixi，Iyi，Izi為齒輪i的轉動慣量,i=1,2,3,4。

圖1 兩級齒輪傳動三維動力學模型

齒輪1和齒輪2作用力始終沿著嚙合面方向A1A2-B1B2，齒輪2和齒輪3作用力始終沿著嚙合面方向E1E2-F1F2。各級齒輪副間通過沿嚙合面方向上的平面力系相互作用，如圖2所示。由于齒向誤差以及軸或軸承變形引起嚙合偏差，輪此間的相互作用為沿齒寬方向為非均布載荷，該平面力系可簡化為合力Fm和垂直于嚙合面上的偏擺扭矩T，其中，Fm采用非線性動態嚙合反饋模型計算，定義嚙合力的偏置距τ，可得偏擺扭矩T兩級齒輪傳動動力學模型在Z軸上的二維投影模型如圖3所示，圖中，α12和α34分別為齒輪副的嚙合角，γ12和γ34分別為齒輪副的位置角，φ為齒輪3相對于坐標系OXY的初始位置角。虛線為初始時刻齒輪的相對位置，實線為任意時刻齒輪的相對位置。

T=Fmτ

(1)

圖2 外嚙合齒輪副平面力系示意圖

圖3 兩級齒輪傳動系統Z軸二維投影模型

由圖可知，任意時刻齒輪1、齒輪2和齒輪3的質心位置矢量R1、R2、R3和R4分別為：

R1=(x1+e1cos(φ1))i+(y1+e1sin(φ2))j

(2)

R2=(x2+e2cos(φ2)+l1)i+(y2+e2sin(φ2))j

(3)

R3=(x3+e3cos(φ3)+l1)i+(y3+e3sin(φ3))j

(4)

R4=(x4+e4cos(φ4)+l1+l2cos(φ))i+

(y4+e4sin(φ4)+l2sin(φ))j

(5)

式中：i，j分別為絕對坐標系X，Y坐標上的單位矢量；φ1，φ2，φ3和φ4分別為齒輪1、齒輪2、齒輪3和齒輪4的轉角。

令

Δx1=x2-x1+e2cos(φ2)-e1cos(φ1)

(6)

Δy1=y2-y1+e2sin(φ2)-e1sin(φ1)

(7)

Δx2=x4-x3+e4cos(φ4)-e3cos(φ3)

(8)

Δy2=y4-y3+e4sin(φ4)-e3sin(φ3)

(9)

可得，任意時刻各級齒輪傳動的中心距L1，L2

(10)

(11)

式中，l1、l2分別為齒輪傳動初始安裝中心距，表示為

(12)

(13)

式中，ea1和ea2分別為各級齒輪傳動的中心距偏差。

由幾何關系可得各級齒輪傳動動態嚙合角α1和α2

(14)

(15)

各級齒輪傳動任意時刻位置角γ1和γ2

(16)

(17)

(18)

bi=bti+Δbi

(19)

式中：bti齒厚消減形成的齒側間隙；Δbi為中心距變化引起的齒側間隙變化。由幾何關系可得，中心距變化引起的齒側間隙變化量

(20)

(21)

f(b,Δ1,Δ2)為嚙合線變化量，f1(b,Δ1,Δ2)為嚙合線變化量的速度函數，表達式分別為

(22)

(23)

(24)

(25)

2 齒輪傳動系統非線性動力學方程

兩級齒輪傳動的動能函數、勢能函數、耗能函數分別為

(26)

(27)

(28)

式中，z=[q1,q2,q3,q4]T，z=[q1,q2,q3,q4]T，i=1,2,3,4，Ki，Ci分別為齒輪中心支撐剛度和阻尼矩陣，其中阻尼矩陣采用瑞利比例阻尼。

將動能、勢能、耗能函數代入到拉格朗日函數

(29)

式中，Qi為非線性嚙合力、力矩和外激勵組成的廣義力列向量。

由于在不同嚙合線上嚙合力的方向發生變化，對各級齒輪副分別定義角度φ和分段函數g

(30)

(31)

(32)

(33)

考慮陀螺力矩的影響，可得兩級齒輪傳動系統的非線性動力學方程。

齒輪1的動力學方程為：

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

齒輪2的動力學方程為：

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

齒輪3的動力學方程為：

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

齒輪4的動力學方程為：

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

式中，Kj代表支撐剛度矩陣的第j行，j=1,2,…,20。

齒輪傳動系統橫-扭-擺耦合非線性動力學方程與齒輪嚙合動態反饋模型仿真流程，如圖4所示。

3 齒輪傳動系統數值仿真與試驗驗證

針對所示兩級齒輪傳動試驗裝置分別進行數值仿真和試驗測試，各級齒輪副參數如表1和表2所示。

圖4 反饋計算流程

參數數值齒數z1=93,z2=58模數/mm3間隙/mm0.3理論壓力角/(°)20中心距偏差/mm0.05幾何偏心/mme1=0.02,e2=0.02

表2 第2級齒輪副參數

3.1 兩級齒輪傳動試驗裝置與測試方法

兩級齒輪傳動試驗臺布置示意圖及實物圖分別如圖5和圖6所示。

利用泵馬達加載試驗裝置，為了測試旋轉部件的應力和加速度等信號實現從旋轉位置到固定位置傳送信號，必須通過集流環或采用近程遙測裝置，本實驗在軸端安裝了集流環將旋轉測試信號引入到數據采集前端。

圖5 兩級齒輪傳動試驗臺布置示意圖

圖6 兩級齒輪傳動試驗臺實物圖

(54)

(55)

(56)

加速度均方根值定義為

(57)

圖7 加速度傳感器安裝示意圖

齒輪傳動系統的橫向振動位移信號通過試驗箱的輸入、輸出軸中間截面的水平和豎直方向各安裝的電渦流位移傳感器測試。電渦流位移傳感器的信號線通過箱蓋上預留的導線孔伸出與控制器相聯，從控制器出來的信號線直接與數據采集系統相連。軸的平移位移測試原理如圖8所示,點O為電渦流位移傳感器的安裝位置，A′為軸靜止時的圓心位置，A為軸變形后圓心位置，軸的半徑為R，電渦流測試方向上軸的位移為c′c。設A′的初始偏移測量方向的距離為y0，即A′B′=y0，軸相對于初始位置的位移為(x,y)，即B′B=x,AB=y0+y，電渦流測試方向上軸的位移C′C為

C′C=x+C′B′-CB=

(58)

橫向振動位移峰峰值dp-p定義為

(59)

圖8 軸橫向振動位移測量原理

在試驗箱中間軸的中間部位，按照全橋測量法在軸兩端對稱位置貼有四個電阻式應變片，用來測試軸扭轉切應變。應變片的信號線經集流環、應變橋盒與動態應變儀連接，再由應變儀輸出端與數據采集系統連接。由應變儀的讀數εd可得軸段扭轉切應力τ

(60)

扭轉應力峰峰值τp-p定義為

τp-p=max(τ(t))-min(τ(t))

(61)

為了驗證兩級齒輪傳動系統非線性動力學模型的準確性，分別針對空載條件和受載條件的穩態工況，測試兩級定軸齒輪試驗裝置的振動特性。測試工況為：泵馬達輸出轉矩分別為0 Nm和320 Nm,分別在400 r/min,600 r/min,1 000 r/min,1 200 r/min,1 400 r/min轉速下進行測試。由于泵馬達后增速箱的作用，受載條件下兩級齒輪傳動實驗裝置實際輸入扭矩為150 Nm，輸入轉速依次為850 r/min,1 275 r/min，2 125 r/min，2 550 r/min和2 975 r/min。

3.2 加速度對比分析

采用4階定步長龍格庫塔法求解非線性動力學方程。數值求解時，兩級齒輪傳動系統的輸入轉矩和轉速與各工況下試驗裝置實際輸入轉矩和轉速相同。齒輪1和齒輪4的扭轉角加速度，計算它的均方根值，將其與仿真計算結果進行對比。各工況下，齒輪1和齒輪4的扭轉角加速度均方根值的試驗結果和仿真結果及兩者之間的誤差分別如表3和表4所示。由表可知，隨著轉速的增加，齒輪1和齒輪4的扭轉角加速度均方根值逐漸增加，仿真結果與試驗結果的變化趨勢基本一致。且各工況下仿真結果與試驗結果之間的最大相對誤差為23.51%。

表3 齒輪1角加速度均方根值

表4 齒輪4角加速度均方根值

兩級定軸齒輪傳動系統輸入轉速為850 r/min時，齒輪1扭轉角加速度的試驗結果與仿真結果的頻譜如圖9。由圖可知，仿真結果的扭轉角加速度在低頻區[0，500 Hz]內以三個軸的轉頻為主，其他頻率成份的幅值很小。相比而言，試驗結果在低頻區不僅包含各軸的轉頻，還包含一些無法分析出產生原因的頻率成份。同時仿真結果與試驗結果在各轉頻對應的幅值上大小略有不同。高頻區[500 Hz，10 000 Hz]內，齒輪1的扭轉角加速度的仿真結果以嚙頻及其倍頻為主，同時出現了第二級齒輪傳動的嚙合頻率。相比而言，試驗結果在高頻區內不僅存在嚙頻及其倍頻，還出現了第二級齒輪傳動的嚙頻及其2倍頻，同時在嚙合頻及其倍頻附近出現了一些組合頻率。其中，仿真結果與試驗結果在各嚙頻及其倍頻對應的幅值上大小略有不同。輸入轉速為850 r/min時，齒輪4的試驗結果與仿真結果的扭轉角加速度頻譜對比如圖 10所示。由圖可知，齒輪4的扭轉角加速度試驗結果與仿真結果均以各軸轉頻、嚙頻及其倍頻為主。同樣，試驗結果所包含的頻率成份更為豐富。仿真結果與試驗結果在各轉頻、嚙頻及其倍頻對應的幅值上大小略有不同。

(a)

(b)

(a)

(b)

3.3 振動位移對比分析

由于位移測點均在傳動軸中間位置，結合材料力學法分別計算出齒輪1和齒輪4所在位置的振動位移并計算峰峰值，將其與仿真計算結果進行對比。不同工況下，齒輪1和齒輪4的橫向振動位移峰峰值的試驗結果和仿真結果及兩者之間的誤差分別如表5和表6所示，試驗結果和仿真結果對比圖如圖 11所示。可以看出，仿真結果與試驗結果的變化趨勢基本一致。且各工況下仿真結果與試驗結果之間的最大相對誤差為21.21%。

表5 齒輪1橫向振動位移峰峰值

表6 齒輪4橫向振動位移峰峰值

(a) 齒輪1

(b) 齒輪4

3.4 扭轉切應力對比分析

計算扭轉切應力，并計算它的峰峰值作為試驗結果。將仿真所得的齒輪2和齒輪3的扭轉角度作為邊界條件施加到它們之間軸段上得到扭轉應力，并計算扭轉應力峰峰值。不同工況下，齒輪2與齒輪3之間軸段扭轉切應力峰峰值的試驗結果和仿真結果及兩者之間的誤差如表7所示，試驗結果和仿真結果的對比圖如圖12所示。可以看出，隨著轉速的增加，齒輪2與齒輪3之間軸段的扭轉切應力近似呈線性增加，仿真結果與測試結果的變化趨勢基本一致。且各工況下仿真結果與試驗結果之間的最大相對誤差為17.9%。

表7 扭轉應力峰峰值

圖12 扭轉切應力峰峰值對比結果

3.5 誤差分析

對于加速度，造成仿真結果與試驗結果之間產生誤差的主要原因有以下幾個方面：

1) 模型中的質量、慣量、剛度、阻尼、偏心和偏載力矩等參數是真實系統的一種等效，這種等效在很大程度上取決于建模經驗，尤其是系統的彎曲阻尼、扭轉阻尼和嚙合阻尼等阻尼參數一般很難確定，與系統真實參數存在一定差距；

2) 由于齒輪實際加工和安裝誤差，齒面摩擦和磨損，輪齒間的油膜潤滑等的作用，導致嚙合剛度和齒形誤差等與嚙合頻相關的參數激勵不斷變化，造成仿真結果在高頻振動成份及其對應幅值上與試驗結果之間存在誤差；

3) 模型中僅對兩級定軸齒輪傳動系統進行動力學建模，忽略了前、后傳動箱和被試件箱體等部件的影響，而試驗過程中上述部件的振動必然會對齒輪傳動系統的振動產生影響，從而產生一些無法分析出原因的低頻成份；

4) 數值仿真中的輸入扭矩和轉速均取為定值，而試驗過程中泵馬達輸出轉矩和轉速無法始終保持恒定，同時輸出轉矩和轉速要經過聯軸器和前傳動箱等部件，上述因素對兩級定軸齒輪傳動系統的實際輸入存在一定影響；

5) 加速度傳感器的安裝位置和方向與理論安裝位置和方向存在一定的偏差，同時實際測試系統中存在白噪聲以及多個軸承旋轉形成的干擾噪聲，上述因素均會對試驗結果產生一定的影響。

對于振動位移，造成仿真結果與試驗結果之間產生誤差的主要原因除了與加速度誤差分析中的前四項相同外，還包括以下幾個方面：電渦流傳感器并非嚴格對準軸心位置；在將傳動軸中間處位移向各齒輪處位移等效時，并未考慮軸承變形和箱體變形等因素的影響；在測量過程中安裝在箱體上的電渦流傳感器會隨著箱體的振動而振動。

對于扭轉切應力，造成仿真結果與試驗結果之間產生誤差的主要原因除了與加速度誤差分析中的前四項相同外，還包括以下幾個方面：實際系統的傳動軸上存在油孔和傳感器線導出空等，從而導致局部應力集中，而仿真中將軸簡化為規則的圓軸，造成各工況下試驗結果始終大于仿真結果；由于數據采集前端的采樣頻率高于動態應變儀的采樣頻率，造成大量系統噪聲混入有效數據；應變片的粘貼工藝、連接導線的阻抗和應變儀自身測量誤差都會對測試信號形成干擾。

4 結 論

(1) 本文考慮了齒輪副的彎曲位移引起的嚙合角的時變性，基于漸開線齒輪傳動的特點分析了瞬時嚙合點壓力角與齒輪轉速的關系，并采用壓力角確定單雙齒嚙合邊界條件，結合為weber材料力學法建立了是齒輪嚙合時變剛度反饋模型，并編寫了計算程序，該程序可實現與動力學方程的實時反饋，精確的描述了齒輪傳動過程中接觸狀態。

(2) 研究了試驗裝置的加速度信號、位移信號和應變信號的測試方法、測試原理和數據處理方法。對比分析了多個穩態工況下齒輪傳動系統的角加速度、振動位移和扭轉切應力數值仿真結果與試驗結果，并分析了可能導致仿真結果與試驗結果之間產生誤差的原因。結果表明，各工況下角加速度、振動位移和扭轉切應力仿真結果與試驗結果最大誤差分別為23.51%、21.21%和17.9%。仿真結果與試驗結果的變化趨勢基本吻合，且誤差在可接受范圍內。驗證了本文提出的漸開線直齒輪傳動橫-扭-擺耦合非線性動力學模型和非線性動態嚙合模型的正確性。

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Nonlinear dynamic modeling and test validation for a two-stage involute gear system

LIU Hui1, ZHANG Chen1, WANG Cheng2

(1. School of Mechanical and Vehicular Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;2. Chinese North Vehicle Research Institute, Beijing 100072, China)

Here, a two-stage involute gear system was taken as a study object, the effects of variation of distances between centers due to geometric eccentricity, installation errors of distances between centers and bending displacement of gear center bearings on pressure angle and backlash were analyzed, a nonlinear dynamic meshing stiffness model was introduced, nonlinear dynamic meshing forces of each gear pair were obtained. Adopting Lagrange method, the nonlinear lateral-shimmy-torsional coupled dynamic model of the two-stage involute gear system was established considering the effects of eccentricity, backlash, time-varying pressure angle and the nonlinear dynamic meshing stiffness model. The nonlinear dynamic equations were solved with the 4th order fixed step Runge-Kutta algorithm. The theoretical calculation and tests were performed for a test device of a two-stage gear system. The test results showed that the maximum error between simulated values of angular acceleration under various conditions and tested ones obtained with angular acceleration sensors installed at symmetric positions around gear circumference is 23.51%; the maximum error between simulated values of vibration displacements and tested ones obtained with displacement sensors installed at positions of the gear box is 21.21%; the maximum error between simulated values of torsional shear stresses and tested ones obtained with strain gauges pasted on the gear shaft is 17.9%. The study results indicated that the varying trend of simulated results agrees well with that of test ones, and errors are within an acceptable range, the reasons causing errors between simulated results and tested ones are analyzed; the correctness of the proposed dynamic model and the meshing stiffness model of the gear system is verified.

two-stage involute gear system; nonlinear; backlash; test validation; pressure angle

國家自然科學基金(51375047)；教育部新世紀人才支持計劃資助(NCET-12-0043)

2016-02-29 修改稿收到日期：2016-06-03

劉輝 女，博士，教授，1975年生

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.019