有限潛深狀態下圓柱殼固有振動特性分析

王 鵬， 李天勻， 朱 翔， 繆宇躍， 張冠軍

(1.華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074； 2. 船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074)

有限潛深狀態下圓柱殼固有振動特性分析

王 鵬1,2， 李天勻1,2， 朱 翔1,2， 繆宇躍1,2， 張冠軍1,2

(1.華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074； 2. 船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074)

基于波傳播法和虛源法，建立有限潛深狀態下圓柱殼-聲場耦合數學模型，并考慮了自由液面和流體靜壓的影響。采用數值方法求解耦合系統特征方程，得到了有限潛深狀態下圓柱殼的模態頻率。數值分析表明：較無限域中圓柱殼模態頻率特性而言，自由液面的存在致使結構模態頻率相應增大，而流體靜壓則使得結構模態頻率相應減小；當潛深較小時，自由液面的影響相對較顯著，而當潛深較大時，流體靜壓的影響相對較顯著；流體靜壓對有限潛深狀態下圓柱殼各階模態頻率特性的影響程度不盡相同，從而導致在一定潛深條件下，圓柱殼模態頻率階次出現變化；當潛深較大時，圓柱殼面臨失穩。

有限潛深;自由液面;流體靜壓;圓柱殼;虛源法;波傳播方法

水下航行器在實驗測試和正常工作時受水域限制，處于有限潛深狀態。有限潛深狀態定義為，結構浸沒在自由液面以下有限深度，且結構軸線與自由液面平行。在該工況下，流場受自由液面限制為半無限域，結構的聲振特性受到自由液面和流體靜壓的影響。研究有限潛深狀態圓柱殼的聲振特性將為水下航行器的聲學優化設計奠定理論基礎。

國內外學者對半無限域內圓柱殼結構的聲輻射特性進行了許多研究，主要針對二維圓柱殼結構。Bulter[1]基于正交模態展開法和虛源法分析了半無限域中圓柱殼的振動特性，并探討了流體邊界對呼吸模態(n=0)和剛體模態(n=1)條件下圓柱殼模態頻率的影響。Chang等[2]基于近似輻射條件，將半無限域內圓柱殼-聲場耦合問題轉化為邊界值問題，通過雙極子坐標變換求解得到了耦合系統的輻射聲壓表達式，并探討了自由液面或剛性壁面邊界的影響。Skidan等[3]采用邊界積分法和模態分析方法分析了半無限域中圓柱殼的聲輻射特性，并探討了自由液面和剛性壁面的影響。李天勻等[4-5]基于波傳播方法和虛源法，分析了存在自由液面或剛性壁面邊界的半無限域內圓柱殼的聲輻射特性。

針對半無限域中有限長圓柱殼的自由振動特性，國內外專家也開展了研究工作，但主要側重于實驗研究和數值方法研究。Ergin等[6]基于實驗研究探討了自由液面和剛性壁面對水下圓柱殼模態頻率特性的影響，并采用三維水動力數學模型進行了簡單的理論分析驗證。王宗利等[7]基于有限元方法分析了潛水深度對圓柱殼模態頻率特性的影響，并考慮了流體靜壓的影響。劉佩等[8-9]基于Ansys軟件分析了半無限域內圓柱殼的自由振動特性，并考慮了流體邊界(自由液面或剛性壁面)和流體靜壓的影響。

本文從理論分析著手，結合波傳播方法和虛源法建立了有限潛深狀態圓柱殼-聲場耦合模型，進而分析了有限潛深狀態下圓柱殼的固有振動特性，并探討了自由液面和流體靜壓的影響。本文的研究可為水下航行器的聲學設計優化和實驗測量提供參考。

1 理論分析

1.1 研究對象

有限潛深狀態下有限長圓柱殼結構示意圖如圖1所示。圓柱殼長度為L，截面平均半徑為R，殼體厚度為h。殼體材料的密度為ρs,彈性模量為E，泊松比為μ。圓柱殼軸線與流體自由液面平行，距離為H，定義為潛深。流體密度為ρf。選取柱坐標系，z,r,θ分別表示圓柱殼的軸向，徑向和周向。

圖1 有限潛深狀態圓柱殼結構示意圖

1.2 殼體振動方程

基于Flügge殼體理論，考慮流體靜壓的影響，可以得到有限潛深狀態下圓柱殼的振動方程[10]：

(1)

研究表明[11]：波傳播方法應用于求解流場-圓柱殼耦合問題具有簡單、非迭代、精度較高等優點。基于波傳播方法，可以假設殼體位移：

(2)

式中：Umn，Vmn,Wmn為三向位移的幅值系數；m，n分別是軸向和周向模態階數；km為軸向波數。為了書寫簡便，略去所有變量中的時間簡諧項exp(iωt)，ω為圓頻率。

1.3 流體聲壓

本文采用虛源法處理自由液面對聲場的影響，如圖2所示。在有限潛深狀態下圓柱殼-流場耦合系統中，流體聲壓主要包括兩部分：一部分是由于結構振動產生的輻射聲；另一部分是由于自由液面對聲波反射租用所產生的反射聲，即虛源的輻射聲。因而，流體聲壓可以表述為：

p(r,θ,z)=pr+pi

(3)

在流體區域內，聲壓應滿足Helmholtz方程：

(4)

式中，cf表示聲波在流體介質中的傳播速度。

采用分離變量法求解方程，可以得到流體聲壓：

(5)

(6)

忽略流體表面波動效應，則流體聲壓在自由液面邊界處應該滿足聲壓釋放條件：

(7)

對自由液面上任意一點B，滿足如下幾何關系：

r=r′,θ′=π-θ

(8)

將式(5)，(6)代入式(7)，并進行正交化，可以得到：

(9)

基于graf加法定理[12]，可以將虛源的聲壓映射到本體坐標系中：

(10)

圖2 虛源法示意圖

流體聲壓中的輻射聲是由殼體自身振動引起的，其與殼體位移在耦合交界面處滿足連續性條件：

(11)

1.4 耦合振動方程

將式(2)，(3)，(5)，(6)代入殼體振動方程，正交化，可得有限潛深狀態下聲場-圓柱殼耦合振動方程：

(12)

式中：[T]3×3是(m,n)號模態下的系數矩陣，其各元素如下所示：

T11=Ω2-(1+F1)λ2-n2[F2+(1+K)(1-μ)/2]，

T12=-iλn(1+μ)/2，T21=-T12，

T13=-i[(μ-F2)λ+Kλ3-n2Kλ(1-μ)/2]，

T22=[F1+(1+3K)(1-μ)/2]λ2+(1+F2)n2-Ω2，

T23=n[1+F2+Kλ2(3-μ)/2]，T31=TT13，T32=-T23，

T33=1+K-(F2-2K)n2+F1λ2+K(λ2+n2)2-Ω2+FL，λ=kmR，

方程必有非零解，則其系數矩陣的行列式值為零：

(13)

方程也被稱為耦合系統的特征方程。

當給定周向波數km時，方程僅包含變量無量綱頻率Ω，因而通過數值方法求解該方程可以獲得有限潛深狀態下圓柱殼-流場耦合系統的固有頻率。軸向波數km可以根據殼體兩端的邊界條件確定，Lam等[13]采用梁函數來模擬有限長圓柱殼的邊界條件。為簡化研究，假設圓柱殼兩端簡支，則有：

kmL=mπ

(14)

2 方法驗證

2.1 流場-圓柱殼耦合系統參數

本文選取的數值計算模型參數如表1所示,該模型與文獻[9]中的數值分析模型一致。

2.2 收斂性分析

本文針對流體聲載荷項FL中對下標a的無限項求和進行截斷處理，并選取有限潛深狀態下圓柱殼模態頻率為評價標準，以檢驗理論方法的收斂性。假定下標a的最大取值為A，即a=0,1,2，…，A，收斂性分析結果如圖3所示。從圖3可以看出，當A≥10時，有限潛深狀態圓柱殼各階模態頻率均收斂。因此，在后續計算過程中取截斷項數A=10。此外，本文主要關注

表1 圓柱殼-流場耦合模型參數

圖3 圓柱殼模態頻率收斂性分析

圓柱殼模型的低階模態頻率特性(當潛深較大時，本文結構的低階模態優先失穩)，對高階模態頻率應酌情增加截斷項數以保證計算結果收斂。

2.3 理論方法驗證

為驗證理論方法的有效性，本文將計算結果與劉佩的數據進行對比分析，并給出了相對偏差值，結果如表2所示。相對偏差定義為：

(15)

式中，fT和fF分別模態頻率的理論計算值和有限元仿真值。

對比分析表2中的數據，可以發現：有限潛深狀態圓柱殼模態頻率隨潛深的增加而逐漸減小，并且模態頻率階次出現了變化，如(1,2)和(1,3)號模態頻率，這與劉佩的數據的變化規律基本一致；本文理論計算結果與劉佩的數據吻合良好，相對偏差值較小，最大偏差值在6.1%以內。因此，本文提出的理論分析方法是有效的。

2.4 有限潛深狀態下圓柱殼模態頻率特性

在有限潛深狀態下，流體對結構振動特性的影響主要包含自由液面和流體靜壓，并且與潛深密切相關。基于前面的理論分析和模型參數，本文探討了有限潛深狀態下圓柱殼的模態頻率特性，并分別分析了自由液面和流體靜壓的影響。

為了研究自由液面和流體靜壓對圓柱殼模態頻率特性的影響，本文給出了分別忽略自由液面和流體靜壓的有限潛深狀態圓柱殼模態頻率隨潛深的變化規律，并與對應模態下有限潛深狀態和無限域中圓柱殼模態頻率進行對比分析，如圖4所示。

(a) (1,2)

(b) (1,3)

(c) (1,4)

(d) (2,3)

(e) (2,4)

從圖4可以看出，當潛深相對較小時，是否考慮自由液面效應的圓柱殼模態頻率特性差異明顯，而是否考慮流體靜壓的圓柱殼模態頻率特性則差異較小。隨著潛深的增大，有限潛深狀態圓柱殼模態頻率逐漸減小并收斂于對應模態下忽略自由液面效應的有限潛深狀態圓柱殼模態頻率，而忽略流體靜壓的有限潛深狀態圓柱殼模態頻率與對應模態下有限潛深狀態下結構模態頻率之間的差異則逐漸增大。忽略自由液面效應的有限潛深狀態圓柱殼模態頻率普遍小于對應模態下無限域中圓柱殼模態頻率。

上述現象說明，自由液面的存在會致使圓柱殼模態頻率相應增大，而流體靜壓會致使結構模態頻率相應減小。自由液面對圓柱殼模態頻率特性的影響主要集中在流體邊界附近區域，而流體靜壓對圓柱殼模態頻率特性的影響主要集中在潛深較大區域。當潛深H≥5R時，忽略自由液面效應的有限潛深狀態下圓柱殼模態頻率與對應模態下有限潛深狀態圓柱殼模態頻率重合，此時自由液面的影響可以忽略。

表2 有限潛深狀態圓柱殼模態頻率對比驗證

由流體靜壓的定義可知，流體靜壓與潛深成正比。當潛深增大時，自由液面效應減弱，而流體靜壓的影響增強。為更深入的了解流體靜壓對有限潛深狀態下圓柱殼模態頻率特性的影響，本文給出了圓柱殼前五階模態頻率隨潛深的連續變化規律，如圖5所示。

圖5 結構模態頻率隨潛深的變化

從圖5可以看出，隨著潛深的增大，圓柱殼各階模態頻率均減小。因為流體靜壓會隨潛深的增大而增大，且流體靜壓力屬于外壓，圓柱殼-流場耦合系統的等效抗彎剛度減小，從而導致各階耦合模態頻率均減小。當潛深很小時，圓柱殼各階模態頻率隨著潛深的增大急劇減小，這主要是受流體自由液面的影響。隨著潛深的增大，圓柱殼的模態頻率階次(按由小到大排列的次序)會出現變化，如(1,2)模態頻率與(1,3)號模態頻率在H/R≈128時會次序變化，這也說明在該條件下耦合系統基頻所對應的振型發生了變化。同時，(2,3)號模態頻率與(2,4)號模態頻率在H/R≈368時會次序變化。該現象說明，流體靜壓對有限潛深狀態下圓柱殼各階模態頻率特性的影響程度不盡相同。當潛深H/R達到480時，圓柱殼(1,3)號模態頻率急劇減小并趨于0，結構即將面臨失穩。根據理論計算，當潛深Hcr=506R時，耦合系統模態頻率由實數變為0，即結構失穩，此時圓柱殼的失穩臨界載荷為，pcr1=0.915 MPa。工程中一般采用希曼斯基公式估算受流體靜壓作用的圓柱殼臨界失穩載荷(m=1)：

(16)

式中，α=πR/L。將耦合系統參數以及模態(1,3)代入式(16)，可以得到臨界失穩載荷，pcr2=0.935 MPa。對比兩種方法得到的圓柱殼受流體靜壓作用的臨界失穩載荷，可以知道二者的結果吻合良好，相對誤差約為2%，這也從側面說明了本文的理論分析是有效的。

3 結 論

本文基于波傳播法和鏡像法，分析有限潛深狀態下圓柱殼的固有振動特性，并考慮了自由液面以及流體靜壓的影響。通過將理論計算結果與現有文獻結果進行對比分析，驗證了本文理論方法的有效性。通過數值分析計算，得到以下結論：

(1) 當潛深較小時，流體靜壓對結構模態頻率特性的影響較小，而自由液面的影響相對顯著，自由液面的存在致使圓柱殼模態頻率相應增大；

(2) 隨著潛深的增加，流體自由液面的影響逐漸減小，而流體靜壓的影響則逐漸增大，計及流體靜壓將導致結構模態頻率相應減小；

(3) 流體靜壓對流場中圓柱殼各階模態頻率特性的影響程度不盡相同，隨著潛深的增加，圓柱殼模態頻率階次會出現變化；

(4) 當潛深較大時，圓柱殼結構面臨失穩。

本文將靜壓以均勻分布方式施加于殼體外表面上，這種處理方式在潛深較小時存在一定的偏差，作者將在今后的工作中對此展開進一步研究。

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Natural vibration characteristics analysis for an immersed cylindrical shell with a limited diving depth

WANG Peng1,2, LI Tianyun1,2, ZHU Xiang1,2, MIAO Yuyue1,2, ZHANG Guanjun1,2

(1. School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science & Technology, Wuhan430074, China；2. Hubei Key Laboratory of Naval architecture & Ocean Engineering Hydrodynamics (HUST), Wuhan 430074)

Based on the wave propagation approach and the image source method, the dynamic model of a cylindrical shell with a limited diving depth coupled with a sound field was established considering both effects of free surface and hydrostatic pressure. The coupled system’s characteristic equation was solved with the numerical method and the modal frequencies of the cylindrical shell with a limited diving depth were obtained. The numerical analysis showed that comparing with modal frequency features of a cylindrical shell in an unlimited field, free surface makes the structure’s modal frequencies increase, while hydrostatic pressure makes them decrease; when the diving depth is smaller, the effects of free surface are more significant; when the diving depth is larger, the effects of hydrostatic pressure are more significant; the effects of hydrostatic pressure on the structure’s various modal frequencies are different to cause the order of modal frequencies to change under the condition of a certain diving depth; when the diving depth is larger, the shell may be unstable.

limited diving depth; free surface; hydrostatic pressure; cylindrical shell; image source method; wave propagation approach

國家自然科學基金(51379083；51479079；51579109)；高等學校博士學科點專項科研基金(20120142110051)

2015-12-08 修改稿收到日期：2016-06-13

王鵬 男，博士生，1989年11日生

李天勻 男，博士，教授，1969年2日生

U663.2；O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.022