物塊在斜面體上運(yùn)動(dòng)的力學(xué)問題研究

陳璽君

(江蘇省丹陽市呂叔湘中學(xué)；廣西師范大學(xué)2016級(jí)在職教育碩士 江蘇 鎮(zhèn)江 212300)

物塊在斜面體上運(yùn)動(dòng)的力學(xué)問題研究

陳璽君

(江蘇省丹陽市呂叔湘中學(xué)；廣西師范大學(xué)2016級(jí)在職教育碩士 江蘇 鎮(zhèn)江 212300)

研究了一個(gè)滑塊在光滑的斜面體上運(yùn)動(dòng)的力學(xué)問題，給出了定量細(xì)致的推導(dǎo)過程，結(jié)論表明：物塊的速度、位移隨下落高度變量變化，加速度、作用力為定值，物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，一對(duì)內(nèi)力彈力分別做了功，但總功為零，且進(jìn)行了教學(xué)方面的討論．

滑塊 力學(xué)問題 特征 方法

1 導(dǎo)言

高一年級(jí)機(jī)械能“功”這一節(jié)，教師往往都會(huì)舉出這樣一個(gè)典型的例題讓學(xué)生思考：如圖1所示，一質(zhì)量為M，傾角為θ的光滑斜面體位于光滑的水平地面上處于靜止?fàn)顟B(tài)，質(zhì)量為m的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))自斜面的頂端由靜止開始沿斜面滑下．問：斜面體對(duì)物塊的彈力是做正功、負(fù)功還是不做功？

其解答為：斜面體對(duì)物塊的彈力對(duì)物塊做負(fù)功．一般教師都是這樣去跟學(xué)生講解，先畫出物塊和斜面體初態(tài)和末態(tài)的位置，找出物塊相對(duì)于斜面體的位移，進(jìn)而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)斜面體對(duì)物塊的彈力與物塊位移的方向夾角大于90°，因此彈力對(duì)物塊做了負(fù)功．

圖1 原圖

回答似乎很完美，然而，物塊m和斜面體M分別相對(duì)于水平面做何種性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)？速度怎樣？位移怎樣？作用力怎樣？功能關(guān)系又怎樣？似乎故意避而不談，有些物理學(xué)習(xí)程度好的學(xué)生去問時(shí)，老師甚至故意回避，以致學(xué)生不甚明確；再者，解決此問題的物理學(xué)方法論有什么特點(diǎn)？高中物理能夠合理解決到什么程度？

本文從此出發(fā)，盡量用通俗的理論推導(dǎo)進(jìn)行研究，力求獲得相對(duì)詳細(xì)的解答，以期為此問題的開放式教學(xué)提供詳備的物理理論指導(dǎo)．

2 研究過程

為了這個(gè)問題，研究盡可能涉及更多的理論知識(shí)推導(dǎo)以獲得相對(duì)詳述的信息．取水平面為慣性參考系，研究對(duì)象：物塊、斜面體．對(duì)物塊、斜面體分別受力分析，如圖2所示．

圖2 受力分析圖

沿水平方向?yàn)閤軸、豎直向下為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，分別對(duì)物塊m和斜面體M列牛頓第二定律方程有

Nsinθ=mamx

(1)

mg-Ncosθ=mamy

(2)

-N′sinθ=-MaMx

(3)

Mg+N′cosθ-F=0

(4)

由牛頓第三定律可知

N′=N

(5)

從以上式(1)～(5)來看，目前還無法判物塊m和斜面體M相對(duì)于水平地面做什么性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)．

2.1 速度特征

設(shè)u為物塊m相對(duì)于斜面體M的速度大小(方向沿斜面向下)，vm和vM分別為物塊和斜面體相對(duì)于水平地面的速度大小，則有

(6)

其中x為物塊沿斜面下滑的位移變量，h為物塊下落的高度變量.

vmx=ucosθ-vMx

(7)

vmy=usinθ

(8)

由式(1) 、(3) 、(5)得

(9)

式(9)對(duì)時(shí)間0～t積分，得

(10)

(11)

式(11)也可由系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒可得．

由式(7)、(11)得

(12)

(13)

物塊m和斜面體M組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有

(14)

由式(8) 、(12)、(13)、(14)得

(15)

將式(15)分別代入式(8)、(12)、(13)得

(16)

(17)

(18)

物塊m相對(duì)水平地面的速度與水平方向的夾角α的正切值為

(19)

物塊相對(duì)水平地面的速度大小為

(20)

由式(19) 、(20)可知物塊m相對(duì)水平地面的速度的方向保持不變，大小隨下落的高度h增大而增大．可見物塊m相對(duì)水平地面的軌跡為直線，如圖3所示．

圖3

2.2 位移特征

由式(6)得

(21)

物塊相對(duì)水平地面的元位移大小為

(22)

對(duì)式(22)進(jìn)行0～h積分，再結(jié)合式(21)，有

(23)

得

(24)

同理可得

(25)

(26)

(27)

物塊相對(duì)水平地面的位移與水平方向的夾角β的正切值為

(28)

這個(gè)結(jié)果和物塊速度與水平方向的夾角完全相同．

物塊相對(duì)水平地面的位移大小為

(29)

斜面體相對(duì)水平地面的元位移大小為

(30)

同理積分可得

(31)

斜面體M相對(duì)水平地面的位移大小為

(32)

物塊和斜面體相對(duì)于水平地面水平方向的分位移之和為

(33)

2.3 加速度特征

式(15)、(16)、(17)、(18)分別對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，再結(jié)合式(21)，得

(34)

式(34)表示物塊相對(duì)于斜面體的加速度．

(35)[3]

(36)

(37)

物塊相對(duì)于水平面的加速度與水平方向的夾角γ的正切值為

(38)

這個(gè)結(jié)果和物塊速度、位移與水平方向的夾角均相同．

物塊相對(duì)于水平面的加速度大小為

(39)

式(19)、(38)表明，m的加速度方向和速度方向始終同向，且大小為定值．式(39)物塊相對(duì)于水平地面的加速度大小保持不變．因此，綜述物塊相對(duì)于水平地面做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．

式(37)表明，斜面體的加速度大小不變，方向水平向左，因此，斜面體相對(duì)于水平地面也做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．

2.4 作用力特征

由式(1)、(4)、(5)、(35)得

(40)

F=Mg+N′cosθ=

(41)

式(40)、(41)表明，N和F均為定值，因而再次說明m和M分別相對(duì)于水平地面做勻變速直線運(yùn)動(dòng)．

2.4 功能關(guān)系特征

由式(22)、(25)、(30)及式(21) 、(5)、(40)推導(dǎo)可得

W=Nsinθdxm-Ncosθdym+N′sinθdxM=

(42)

由式(42)可知，一對(duì)相互作用力彈力(內(nèi)力)N，N′的元功為零．

雖然一對(duì)相互作用力彈力(內(nèi)力)N，N′的元功為零[1]，但過程中顯然做了功，從分析并畫出的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看出(如圖3所示)，斜面體對(duì)物塊的彈力與物塊位移的方向夾角大于90°，因此彈力N的確對(duì)物塊做了負(fù)功．彈力N′對(duì)斜面體做了正功，一對(duì)內(nèi)力N,N′在此分別對(duì)系統(tǒng)(m，M和地球)內(nèi)各個(gè)物體做功，并沒有消耗系統(tǒng)的機(jī)械能，在此做功起到了使系統(tǒng)內(nèi)的機(jī)械能發(fā)生轉(zhuǎn)化(物塊的重力勢(shì)能減少轉(zhuǎn)化為物塊水平方向的動(dòng)能，物塊豎直方向的動(dòng)能以及斜面體水平方向的動(dòng)能)，因此系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的．

3 綜述

3.1 處理方法

上述研究采用的主要物理方法有隔離法、整體法、理想模型法、運(yùn)動(dòng)的合成與分解法、相對(duì)運(yùn)動(dòng)法、微分法、積分法．

3.2 教學(xué)指導(dǎo)意義

從大學(xué)普通物理學(xué)的角度來看，不能僅停留于此典型力學(xué)問題的一般解決，理應(yīng)盡可能詳實(shí)、深入的認(rèn)識(shí)，另外還可以從物理學(xué)方法論方面加深研究．

當(dāng)然，探索的結(jié)果表明物塊、斜面體分別相對(duì)于水平地面做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示．高中物理可以從物塊、斜面體水平方向動(dòng)量守恒[2]

mvmx=MvMx

再由幾何關(guān)系[2]

是可以求出物塊、斜面體分別相對(duì)于水平地面的位移大小的，然而物塊水平方向和豎直方向的分速度、物塊相對(duì)地面的合速度、斜面體的速度以及物塊、斜面體運(yùn)動(dòng)的加速度和受到的彈力是無法求解的，雖然不是變力，卻涉及到微積分，高中物理目前不涉及到微積分知識(shí)，所以無能為力．高中物理能夠合理解決的有式(1)～(9)、(11)～(20)，運(yùn)動(dòng)的方法有理想模型法、運(yùn)動(dòng)的合成與分解、相對(duì)運(yùn)動(dòng)法、隔離法與整體法．

4 結(jié)束語

本文詳實(shí)、細(xì)致地研究了一個(gè)高中典型力學(xué)問題，首先獲得了關(guān)于這個(gè)問題的速度、位移、加速度、作用力、功能關(guān)系，加深了對(duì)此問題的定量認(rèn)識(shí)，使之不再停留在感性的認(rèn)知上．其次總結(jié)了解決此問題的物理學(xué)方法，從大學(xué)普通物理和高中物理兩個(gè)不同的角度來審視此問題的可行性特點(diǎn)，為此問題的開放式教學(xué)提供詳備的物理理論指導(dǎo)．再次，此問題可以成為一個(gè)很好的高中物理與大學(xué)普通物理銜接的實(shí)例．

1 梁紹榮，劉昌年，盛正華.普通物理學(xué)·力學(xué)(第二版).北京：高等教育出版社，1987

2 漆安慎.普通物理學(xué)教程·力學(xué)(第二版)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書.北京：高等教育出版社，2009

3 江蘇省物理學(xué)會(huì)主編.物理學(xué)奧賽教程(增訂本).南京：南京大學(xué)出版社，2004.06

2017-03-10)