從愛因斯坦火車到洛倫茲變換*

徐 巖 朱振博 宋仁剛

(山東科技大學電子學院應用物理系 山東 青島 266590)

從愛因斯坦火車到洛倫茲變換*

徐 巖 朱振博 宋仁剛

(山東科技大學電子學院應用物理系 山東 青島 266590)

愛因斯坦火車是狹義相對論中展示同時性的相對性的經典模型，愛因斯坦利用該模型證明了“同時性的相對性”.在狹義相對論中，空間和時間并不相互獨立，而是一個統一的四維時空整體，不同慣性參考系之間的時空坐標變換關系式與洛倫茲變換在數學表達式上是一致的，通過分析愛因斯坦火車模型中光在不同慣性參考系內到達車壁的時間，利用簡單的數學變換更加容易地得到了洛倫茲變換，從而驗證了洛倫茲變換在狹義相對論的核心地位.

狹義相對論 愛因斯坦火車模型 洛倫茲變換

愛因斯坦為了證明相對論中同時性的相對性，設計了一列高速運動火車實驗：假設與火車相對靜止的參考系為∑′，與地面相對靜止的參考系為∑,如圖1所示.火車沿x軸正方向以速度v行使，其靜止長度為2d.在車廂正中間放置一臺可同時向兩側發射光脈沖的激光器.在∑′參考系中t=0時刻，激光器向車頭和車尾同時發射激光.在∑′參考系光到達車頭和車尾是同時的，但在∑參考系內光到達車頭和車尾是不同時的[1].

圖1 建立坐標系分析高速運動的火車

在狹義相對論中光在真空中總是以橫定的速度c傳播，在分析高速運動問題時需要把時間間隔和空間距離的量度按照所依參照系的相對速度加以修正.時間和空間是相互關聯的，物質運動的時空屬性可以被洛倫茲變換以確切的數學形式描述出來，體現出時間間隔與空間間隔的相對性[2].

在愛因斯坦火車模型實驗中，我們需要對不同參考系中的時間間隔和空間距離進行定量計算.根據愛因斯坦狹義相對論的光速不變原理和運動方向上的長度收縮效應，在∑參考系內，火車長度為2kd，其中

為運動方向長度收縮因子，注意長度收縮效應只發生在相對運動的方向上，而在垂直于運動方向上長度是不發生變化的[3].設光向車廂左側發射到達車尾所用時間為t2，光向車廂右側發射到達車頭所用的時間為t1[4].對于∑′系有

(1)

對于∑系有

kd-vt1=ct1

(2)

kd+vt2=ct2

(3)

光走的路程不僅與車廂的長度有關，還與火車走的路程有關：向車廂左側發射，計算光程時車廂長度需減去車尾走的路程vt1；向車廂右側發射，計算光程時車廂長度需加上車頭走的路程vt2.由式(2)加減式(3)得

v(t1-t2)+c(t1+t2)=2kd

(4)

v(t1+t2)+c(t1-t2)=0

(5)將式(5)進行變換后代入式(4)得

(6)

將式(1)代入式(6)可整理得到兩參考系下時間的關系

(7)

同理可得出

(8)

t1滿足洛倫茲變換，同理可得t2也滿足洛倫茲變換.完成從愛因斯坦火車模型到洛倫茲變換的推導.

在證明過程中，只有同時加入愛因斯坦狹義相對論的光速不變原理和長度收縮效應，才可以得到兩個不同參考系下的洛倫茲變換[5].當火車速度遠遠小于光速時，其滿足到經典條件的過渡.我們可以用洛倫茲變換推導t2-t1，從而檢驗出推導過程的正確性.

洛倫茲變換在狹義相對論中占據核心的地位，它以確切的數學語言反映了相對論理論與伽利略變換以及經典相對論原理的本質差別.本文利用愛因斯坦狹義相對論和對愛因斯坦火車模型中光在不同參考系到達車廂壁的時間進行分析，通過簡單數學變換得到愛因斯坦火車模型中的洛倫茲變換，更加說明了洛倫茲變換在相對論力學中的普適性和必要性.

1 嚴國清，彭振生.洛倫茲變換的一種新推導.大學物理，2006，25(9)：18～20

2 蒲明剛，潘必凱.正確認識“愛因斯坦”火車問題.成都氣象學院學報，1990(1)：83～87

3 王悅，方芳.光速不變原理與一般洛倫茲變換式的推導.黃山學院學報,2015,17(3):8～10

4 孫春峰，呂付國.洛倫茲變換的地位、作用及其物理意義.湖北師范學院學報(自然科學版),2003,23(1):88～92

5 關洪.再談洛倫茲變換的推導.大學物理,2007,26(11):11～12

*山東科技大學教學研究項目，項目編號：JG201506；山東科技大學研究生教育創新項目，項目編號：KDYC13026，KDYC15019；山東省研究生教育創新計劃項目資助課題，項目編號：01040105305

2016-11-24)