對極端法應用的有關思考

王智榮

(山西省實驗中學 山西 太原 030031)

對極端法應用的有關思考

王智榮

(山西省實驗中學 山西 太原 030031)

以豎直上拋運動的初速度和單擺周期的取值變化為研究內容，闡述了極端法在探究物理規律中的應用和限制條件.

極端法 外推 極限情況

極端法(又稱極限法)是一種科學的思維方法.假若某物理量在某一區間內是單調連續變化的，我們可以將該物理量或它的變化過程和現象外推到該區域內的極限情況或極端值，使問題的本質迅速暴露出來，并依此作出科學分析，得到規律性的認識或正確的判斷.但是，極端法絕非“走極端”，因為物理規律的成立一般都是有限制條件的，忽視了物理內容，只是純數學地無限外推，可能會進入死胡同而得出錯誤的結果，下面以例說明.

1 初速度必須無窮大嗎

設上拋物體的質量為m，地球的質量為M，地表的重力加速度為g，在地表豎直上拋的初速度為v0，上升至距地表h高度處時的速度為v.物體在上升過程中不考慮阻力影響，則從地表拋出到上升至距地表高度為h處，對物體和地球構成的系統機械能守恒.有

又因為

易得v和h的關系為

下面對上式進行討論：

(1)當h無限大，即將物體豎直上拋至無窮遠處時，有

并且v剛好減為零.代入上面等式，有

得

此即第二宇宙速度.可見要將物體豎直上拋至無窮遠處時，初速度v0并非無窮大.

(2)當h?R時，即物體從地球表面以初速度v0向上拋出，到達高度h速度減為零時，有

則有

得

此即中學物理中為了研究問題的方便，總是把物體上升過程受到的地球引力看成恒力mg，從而把豎直上拋運動處理成勻減速直線運動而得到的結果.

(3)當h=R時，即假若上拋高度等于地球半徑R，有

則有

得

此即為第一宇宙速度，表明要把小球豎直上拋至距地表高度為地球的半徑，所需的初速度v0為第一宇宙速度.

2 單擺的周期一定無限大嗎

圖1 單擺分析圖示

因為擺球距地表的距離相對地球半徑而言很小，可近似認為r≈R，則有

F萬垂直擺線方向的分力充當回復力F回，設此時擺球偏離平衡位置的位移為x，且方向為正，則

F回=-mgsin(α+β)

考慮到α角很小，顯然β也很小，(α+β)亦很小，有

因此回復力

所以其周期為

下面對上式進行討論：

(1)當l?R時，即l無限長時

數值上恰好與近地環繞衛星周期相同，等價于擺長為地球半徑的單擺的周期，并非無窮大.

(2)當l?R時

(3)當l=R時，即假若擺長和地球半徑等長

3 結束語

實則，如果我們研究的物理問題是非連續函數或者分段函數時，一般都不能從數學式的表面現象出發，簡單地外推到極限，否則就會走向“極端”.我們在平時教學中要善于發現引導學生養成科學的思考習慣，形成良好的物理思維.

sin(α+β)≈α+β

2017-04-19)