數據庫中關系代數除法運算的教學研究

李正欣+李克武+張曉豐+劉文杰

摘 要：關系代數中的除法運算是數據庫課程中的難點問題。文章從關系代數除法運算的定義出發，以實例為牽引，通過類比整數的除法運算，闡明關系代數除法運算的本質，給出除法運算的基本運算表達方法并用SQL語句實現，突破除法運算的難點，以期取得較好的教學效果。

關鍵詞：關系數據庫；關系代數；除法運算；SQL

0 引 言

數據庫技術基礎及應用是信息技術領域的骨干課程，具有理論基礎強和實踐應用性突出的特點。關系代數是數據庫原理的核心部分之一，在整個課程體系中具有重要作用。關系代數以集合論為理論基礎，可分為傳統的集合運算——并、差、交、笛卡爾積，專門的關系運算——投影、選擇、連接、除法[1]。在8種運算中，除法運算復雜、抽象，是教學環節中的難點問題，也使得學生理解起來比較困難。

1 除法運算的過程詳解及示例

1.1 基本定義

給定關系R（X， Y）和S（Y， Z），其中X、Y、Z為屬性組， R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域。R與S的除法運算得到一個新的關系P（X），P是R中滿足下列條件的元組在X屬性列上的投影：元組在X上分量值x的象集YX包含S在Y上投影的集合[2]，即

其中，YX表示x在R中的象集，x=tr[X]。

對于這一知識點，教材主要從概念方面進行描述，學生掌握起來比較困難。我們在非計算機專業的本科教學過程中，通過形象化的實例和深層次的分析，幫助學生透徹理解和掌握這一內容。

1.2 過程詳解

通過實例說明除法運算的求解過程，關系R、S如圖1所示，計算R÷S的結果[3]。

第一步，明確除法運算定義中X、Y、Z對應的屬性組。在關系R（姓名，科目）和關系S（課程，學時，學分）中，X={姓名}，Y={課程}或{科目}，Z={學時，學分}。

第二步，確定結果的關系模式。運算結果的關系模式為P（姓名），結果關系的每一個元組都包含在中，如圖2所示。

第三步，計算。本例中的計算結果，如圖2所示。

第四步，確定象集YX。在關系R中，依次確定中（如圖2所示）每一個元組的象集，結果如圖3所示。

第五步，比較與象集YX的關系，得到除法運算結果。僅有“張娟”對應的象集滿足，如圖3所示，因此可得R÷S的計算結果，如圖4所示。

1.3 除法運算的含義

從語義上理解除法運算的含義，本例中表示所有的課程名稱，運算結果的關系模式為P（姓名），表示學生姓名，因此R÷S表示在關系R中找出選修S中所有課程的學生。

為了便于理解，我們用整數除法作類比。兩個整數R和S，R÷S是滿足式（1）條件的最大整數P。

在關系代數中，除法運算R÷S是滿足式（2）條件的最大關系實例P，即P與的笛卡兒積包含在關系R中，其中。

在本例中，包含3個元組{電子商務，計算全息，經濟法}。當P分別為{張娟}、{王強}、{李云}時，的結果如圖5（a）—5（c）所示，只有圖5（a）的結果包含于R，因而P={張娟}是滿足條件式（2）最大的關系實例，即是R÷S的結果。

2 用非基本運算表示除法運算

除法運算屬于非基本運算，可以用基本運算進行等效表達，見式（3）。表達式形式抽象、煩瑣且教材大多對這一內容描述簡單，學生理解記憶起來比較困難[4]。教學中可利用實例，把抽象問題具體化，尋求對該知識點的突破。

實例中，R÷S表示“關系R中選修了S中所有課程的學生姓名”，用基本運算求解。

第一步，計算R的投影，實例中 表示所有學生的姓名。

第二步，計算S的投影，實例中表示所有課程的名稱。

第三步，計算T×C中不在R中的元組V=T×C-R，實例中T×C表示關系“所有學生都選修了全部課程”，T×C-R表示“沒有選修全部課程的學生”。

第四步，計算V的投影，實例中表示“沒有選修全部課程的學生姓名”。

第五步，得出結果P=T-W，實例中P表示“選修全部課程的學生姓名”。

綜合以上步驟可得式（4），它表示“關系R中選修了S中所有課程的學生姓名”，等價于表達式R÷S。

3 用SQL語句表示除法運算

關系代數是一種抽象的查詢語言，是SQL查詢的理論基礎。用SQL查詢實現關系代數中的除法運算，通常可使用帶有EXISTS謂詞的子查詢表示[5]，該部分內容也是SQL查詢中的一個難點，查詢語句格式如圖6所示。

SQL中沒有全稱量詞，具體實現時，可以用雙嵌套NOT EXISTS實現帶全稱量詞的查詢。與實例等價的自然語義是輸出這樣的學生學號——不存在某門課程，在他的選課記錄里沒有選這門課。通過自然語義，對應的SQL語句設計如圖7所示。

4 結 語

除法運算的定義十分抽象，學生理解起來比較困難，是教學環節中的難點問題。我們從關系代數除法運算的定義出發，用整數除法對其進行類比；然后，用基本運算表示關系代數除法運算，剖析其運算本質；最后，引導學生操作SQL語句實現關系代數除法運算。教學實踐表明，以具體實例為牽引，從概念到本質，再到實踐的教學過程，形象直觀地表達了關系代數除法運算，解決了其抽象定義難以被學生理解的問題，有助于學生對知識點的透徹理解，取得了較好的教學效果。

參考文獻：

[1] 劉國燊. 數據庫技術基礎及應用[M]. 北京： 電子工業出版社， 2008： 55-66.

[2] 陸熊， 陳燕， 黃曉梅， 等. 關系代數中除法運算的教學探討[J]. 現代計算機， 2011（5）： 42-44.

[3] 姚普選. 數據庫系統： 基礎、設計及應用[M]. 西安： 西安電子科技大學出版社， 2013： 40-45.

[4] 楊海鵬， 徐志英. 關系代數教學中除法運算的細節探討[J]. 吉林工程技術師范學院學報， 2014（1）： 86-87.

[5] 肖海蓉. 關系代數中除法運算與SQL中帶有exists子查詢的對比教學[J]. 電腦學習， 2009（6）： 158-159.

（編輯：宋文婷）