基于單個磁梯度計的磁目標定位方法研究

賈文抖， 林春生， 孫玉繪， 翟國君

(1.海軍工程大學 兵器工程系， 湖北 武漢 430033； 2.海軍工程大學 導航工程系， 湖北 武漢 430033；3.海軍海洋測繪研究所， 天津 300061)

基于單個磁梯度計的磁目標定位方法研究

賈文抖1， 林春生1， 孫玉繪1， 翟國君2,3

(1.海軍工程大學 兵器工程系， 湖北 武漢 430033； 2.海軍工程大學 導航工程系， 湖北 武漢 430033；3.海軍海洋測繪研究所， 天津 300061)

歐拉法可以實現(xiàn)對磁偶極子源的精確定位。通過旋轉合成可以得到包含在歐拉齊次方程中的磁梯度張量，在此基礎上提出了一種轉動單個矢量磁梯度計實現(xiàn)磁目標定位的方法。建立了磁梯度計旋轉探測模型，分析了模型中轉動角、傾角和基線長度等參數(shù)對磁目標定位精度的影響，為轉動裝置的參數(shù)設置提供了參考。研究結果表明，與7個磁傳感器組成的陣列探測方法相比，該旋轉探測方法在靠近磁目標的區(qū)域內具有更高的定位精度。

電磁學； 磁張量； 歐拉法； 磁梯度計

0 引言

磁張量能夠有效地弱化背景磁場的干擾[1-2]，突出局部磁異常的存在，聯(lián)合目標磁場分量(Bx,By,Bz)，利用歐拉法可以實現(xiàn)對磁源目標的精確定位。磁張量具有定位精度高、速度快、便于實時處理等優(yōu)點，在軍民兩用領域都具有廣闊的應用前景。

當前基于磁張量信息的定位方法中，多是以差分替代微分的方式來獲取磁張量數(shù)據(jù)。為獲得磁張量中的9個元素量及目標磁場分量(Bx,By,Bz)，將7個矢量磁傳感器[3]布置在3個相互垂直的棒桿兩端，形成空間立體測量結構，這是最直接的測量定位方式，后來出現(xiàn)了一些簡化測量方法。例如，張朝陽等[4]將上述空間立體測量結構簡化成5個磁傳感器組成的平面測量結構，并對其探測定位效果進行了分析。張光等[5]利用將同樣的測量結構搭載在運動載體上，利用兩個位置上測量數(shù)據(jù)的差值有效消除了背景磁場的干擾。龐洪鋒等[6]研究了采用4個磁傳感器的目標定位方法；于振濤等[7]進一步提出利用3個矢量磁力儀等腰直角布置的方式，可實現(xiàn)對水中的磁性目標的監(jiān)測定位，但由于磁力儀的數(shù)目較少導致定位精度有所下降。

考慮到差分替代微分會有一定的計算誤差，且測量裝置的磁傳感器數(shù)目較多時安裝復雜，若使磁傳感器間三軸指向一致，匹配難度大，而磁傳感器數(shù)目較少時定位精度又會有所下降，為了降低差分計算磁張量數(shù)據(jù)時的誤差，同時減少磁傳感器之間的匹配難度，提出了一種基于單個矢量磁梯度計的旋轉探測定位方法，通過磁梯度計的轉動來捕獲空間冗余的磁場信息用于計算磁張量，以實現(xiàn)磁源目標的定位。

1 磁目標的定位原理

歐拉反褶積方法[8]是一種自動估算場源位置的位場反演方法，建立在歐拉齊次方程基礎之上，它聯(lián)系了位場和其梯度與場源之間的關系，通過歐拉齊次方程組的求解，可以確定場源的空間位置。由等效磁偶極子近似模型可知，在距離超過磁性物體自身尺寸2.5倍以上的距離處，磁性物體的磁場分布近似于一個磁偶極子的磁場分布[9]，因此，在適當遠的距離上可以通過偶極子的定位來實現(xiàn)對磁目標體的定位。

基于歐拉方程的磁偶極子定位方程為

(1)

式中：(Bx,By,Bz)是源點在空間(x,y,z)處產(chǎn)生的磁場三分量；(x0,y0,z0)為磁源的位置坐標，場點坐標為(x,y,z). 為了計算簡便，以源點為坐標原點，(1)式可整理為

(2)

以G表示磁張量矩陣，B表示磁場分量，X表示場點坐標。可將(2)式簡化為

GX=-3B.

(3)

進一步變形為

X=-3BG-1.

(4)

(4)式是磁偶極子的定位方程。

2 磁張量的計算

磁場是一個矢量場，其三分量在空間3個方向的導數(shù)構成了磁張量的9個分量。其表達式為

(5)

為了獲得張量全要素，設計了如下的測量方法。

如圖1所示，兩個三軸磁力儀固定在無磁探桿兩端，磁力儀a、磁力儀b對應的三軸指向一致，且磁力儀的y輸出軸水平，在豎直方向將探桿固定，使探桿軸線與重垂線的夾角為θ，坐標系原點位于探桿的中點O處，探桿在Oxy面上的投影與x軸的夾角為φ，a、b間探桿基線長度為l.

圖1 磁梯度計轉動示意圖Fig.1 Schematic diagram of rotation of magnetic gradiometer

由于磁力儀自身的3個輸出軸與坐標系三軸指向不一致，首先將矢量磁強計的實際輸出轉換成與坐標系三軸指向一致的3個分量。以圖1中磁梯度計所在位置為例，矢量磁力儀a的三軸輸出為Ba=[Bax,Bay,Baz]T，欲使磁力儀自身坐標系三軸指向與坐標系x、y、z三軸指向一致，首先將磁力儀a自身坐標系繞自身的ya軸順時針(從ya軸正方向看負方向)轉過θ角度，旋轉矩陣為Ry(θ)，然后在繞za軸順時針(從za軸正方向看負方向)轉過φ角度，旋轉矩陣為Rz(φ)，轉動后二者指向一致。根據(jù)歐拉旋轉公式可得坐標系中對應的磁場量為

B=Rz(φ)Ry(θ)Ba,

(6)

即

(7)

在得到坐標系三軸指向下的測量值后，利用磁梯度計的輸出進行磁張量數(shù)據(jù)的計算。在磁場空間中，磁梯度計兩端有

ΔB=[ΔBx,ΔBy,ΔBz]T=
[Bax-Bbx,Bay-Bby,Baz-Bbz]T.

(8)

根據(jù)全微分的概念，有

(9)

磁梯度計繞重垂線(坐標系中z軸)轉動時，根據(jù)(9)式，對應于不同的轉動角φ1、φ2、…、φn可得方程組：

(10)

解方程組(10)式可以得到Gxx、Gxy和Gxz；類似地，利用ΔBy和ΔBz的全微分表達式和轉動角φ1、φ2、…、φn對應的磁測數(shù)據(jù)，可計算得到Gyx、Gyy、Gxz、Gzx、Gzy和Gzz，即可實現(xiàn)磁張量的計算。

3 參數(shù)的設定

根據(jù)(10)式可知，圖1模型中的待定參數(shù)有旋轉角φ、基線l和傾角θ. 從一般意義上講，確定這3個參數(shù)屬于多參量的優(yōu)化問題，常規(guī)的優(yōu)化方法存在較大的盲目性，計算量大，從數(shù)學上計算得到優(yōu)化結果后，還需要從工程角度考慮是否可行，并進行相應調整，整個優(yōu)化過程較為繁瑣。為此，在工程應用可行方案的基礎上，采用一種非常規(guī)的分步優(yōu)化方法，以應用效果最大化為目的出發(fā)，直接針對可行方案有針對性地進行分步優(yōu)化來確定模型參數(shù)，可有效地排除掉大部分不可行的參數(shù)解，避免了常規(guī)優(yōu)化方法計算的盲目性。

參數(shù)的優(yōu)化選取依據(jù)理想模型的定位誤差最小為原則確定。以磁目標為坐標原點，目標的磁矩M=(3 200 A·m2,470 A·m2,-1 200 A·m2)，以探桿的中點為測量場點(x,y,z)的位置，相對磁源的坐標為(8 m,-14 m,3 m)。

3.1 旋轉角φ的設定

從(10)式中可以看出，方程組中只有3個未知數(shù)，因此，最少需要3個不同φ角對應的磁場測量值即可實現(xiàn)張量數(shù)據(jù)的求解。在初始設定傾角θ=30°、基線長度l=1 m時，取φ的3個轉動角為10°、25°和40°，得到的空間反演結果見表1.

表1 測點位置的反演結果

從表1中的反演數(shù)據(jù)可知，在測點相對于磁源目標的空間坐標為(8 m,-14 m,3 m)時，此時二者之間的直線距離約為16 m，定位誤差僅為0.02 m.

在實際中φ角易發(fā)生小幅度的左右晃動或出現(xiàn)一定的測量誤差，在此可一并考慮。假定φ角在預設定值附近發(fā)生輕微的晃動，晃動角在2°以內，隨機進行150次試驗，定位誤差曲線如圖2所示。

圖2 150次隨機試驗的定位誤差曲線圖Fig.2 Positioning error curve of 150 randomized trials

從圖2可以看出，φ的晃動角幅度不超過2°時，150次隨機試驗中有一部分定位誤差大于1 m，少數(shù)達到甚至超過了2 m，定位偏差較大。下面分析如何對轉動角φ取值來降低晃動角對定位結果的影響。

3.1.1 加密φ角取值點

保持φ角在10°～40°的范圍內取值，φ角取樣間隔減小為5°，此時可取7組磁場測量值，進行150次隨機試驗后定位誤差曲線如圖3所示。

圖3 150次隨機試驗的定位誤差曲線圖Fig.3 Positioning error curve of 150 randomized trials

從圖3中的定位誤差曲線可以看出，在保持φ角在較小的轉動角范圍內取值時，僅依靠增加磁場值的測量數(shù)量，并不能明顯改善定位效果。

3.1.2 增大φ角轉動幅度

保持最少的磁場值測量數(shù)量，加大φ角的轉動取值范圍，使梯度計在360°轉動空間中測量磁場，φ角依次取值為120°、240°和360°，此時φ角的晃動幅度仍保持在2°以內，隨機進行150次試驗，定位誤差曲線如圖4所示。

圖4 150次隨機試驗的定位誤差曲線圖Fig.4 Positioning error curve of 150 randomized trials

在擴大φ角的轉動取值范圍后，150次隨機試驗的定位誤差都不超過0.6 m，與圖3中的結果相比，增大φ角轉動幅度，可以明顯改善定位結果，降低定位誤差，提高定位的穩(wěn)定性。

3.2 基線l的設定

在設定轉動角φ分別為120°、240°和360°，對如何設定探桿基線l進行分析。在0.1～3.0 m的長度范圍內，定位誤差隨基線l的變化關系如圖5所示，從中可以看出，基線l較短時的定位準確性較高，隨著探桿長度的增加，定位誤差明顯增加。

圖5 定位誤差與基線l的關系曲線圖Fig.5 Relation between positioning error and baseline l

3.2.1φ角晃動

當轉動角φ出現(xiàn)2°以內的晃動時，定位誤差隨基線l的變化關系如圖6所示。由圖6可以看出，在轉動角φ發(fā)生一定的晃動時，定位誤差同樣隨著基線l的增加而變大，在不超過1.5 m時，定位誤差曲線變化較為平緩。

圖6 φ角晃動不超過2°時定位誤差曲線圖Fig.6 Positioning error curve for φ ≤ 2°

3.2.2 隨機測量噪聲

當磁場測量值中含有2nT左右的測量噪聲時，從圖7中定位誤差隨桿長的變化關系曲線可以看出，桿長小于0.5 m和大于2.5 m時，誤差較大，在0.5～2.5 m，尤其是1.0～1.5 m時，定位誤差較小。

圖7 磁測數(shù)據(jù)中含有2nT噪聲時定位誤差曲線圖Fig.7 Positioning error curve in the case of 2nT noise existing in magnetic field measurement data

考慮到兩個磁力儀測得的磁場值應具有一定的差異，二者之間的距離不宜過近，同時梯度測量裝置的尺寸也不能過大，因此取基線l=1.0 m是比較合適的。

3.3 傾角θ角的設定

在取定一組較佳的φ角為120°、240°和360°及基線l=1 m后，下面分析如何對磁梯度計的安裝傾斜角θ進行設定。理論上θ角的取值范圍為0°～90°，當θ角取到0°或90°后，傾斜桿退化成豎直或水平，失去了本文研究的意義，故將其取值范圍設置為1°～89°，定位誤差隨傾角θ變化的曲線見圖8.

圖8 定位誤差與傾角θ角的關系曲線圖Fig.8 Positioning error vs. inclination angle

從圖8中可以看到，在1°～89°的范圍內，隨著θ角的增加，定位誤差呈現(xiàn)增大的趨勢變化，在θ角不超過80°時，定位誤差變化不明顯，基本不超過0.1 m.

3.3.1φ角晃動

若φ角出現(xiàn)一定幅度的晃動，取轉動角φ的晃動幅度不超過2°，計算得到的定位誤差隨傾角θ變化的關系曲線如圖9所示。

圖9 φ晃動角不超過2°時定位誤差曲線圖Fig.9 Positioning error curve for φ≤ 2°

從圖9與圖8的比較可看出，在φ角出現(xiàn)晃動時，定位誤差較原來相比有所增加，同樣隨θ角的增加而增加，當θ角不超過80°，定位誤差小于0.4 m.

3.3.2 隨機測量噪聲

在設定隨機測量噪聲水平為2nT后，為了更加明顯地觀測到定位誤差隨θ角的變化趨勢，將目標磁矩增大到原來的10倍，隨機進行兩次試驗結果如圖10所示(為了更加明顯的展示中間部分的曲線變化細節(jié)，定位誤差超過2.0 m的點不在圖10中進行展示)，從中可以看出定位誤差隨θ角的增大先減小后增加，兩端的定位誤差明顯大于中間部分很多，多次試驗發(fā)現(xiàn)相較于其他θ角取值范圍，θ角在40°～80°內取值，定位誤差都是比較小的。

圖10 磁測數(shù)據(jù)中含有2nT噪聲時定位誤差曲線圖Fig.10 Positioning error curve in the case of 2nT noise existing in magnetic field measurement data

綜合比較圖8～圖10所示的定位誤差曲線，為了盡量降低定位誤差的同時保證定位的穩(wěn)定性，可將傾角θ設定為60°.

4 與7個磁傳感器陣列進行比較

設定基線l=1.0 m，轉動角φ分別為120°、240°和360°以及傾角θ=60°，目標磁矩設M=(0 A·m2,0 A·m2,4 000 A·m2)，將本文所用的探測系統(tǒng)模型與上文中所提到的7個磁傳感器陣列系統(tǒng)的定位結果進行比較，在以磁源為中心點，在z=3 m，邊長為40 m的方形區(qū)域中間隔1 m取測點，共進行1 681次定位，結果如圖11和圖12所示。

圖11 本文所用方法的定位誤差Fig.11 Positioning error of the method in the present paper

圖12 7個傳感器組成陣列的定位誤差Fig.12 Positioning errors of the array with 7 sensors

通過誤差圖及實際計算數(shù)據(jù)的比較可知，在所研究空間的絕大部分區(qū)域中，本文所提的方法定位精度優(yōu)于由7個傳感器組成陣列探測方法，這個較優(yōu)的區(qū)域大致可圈定在以磁源為中心、半徑為r(r不超過20 m)的圓形范圍內，超過此空間范圍后，本文方法存在隨距離增加定位誤差逐步加大的缺陷。

5 結論

本文提出了一種基于單個矢量磁梯度計的旋轉探測方法，有效獲取了目標的磁梯度張量信息，實現(xiàn)了對磁目標的精確定位。通過比較選取了一組較優(yōu)的參數(shù)：旋轉角φ取120°、240°、360°，傾角θ=60°，基線l=1 m. 與7個磁傳感器組成的陣列探測方法相比，在距離磁目標不超過20 m的范圍內，該探測方法具有更高的定位精度。

由于本文采用的是在空間上旋轉的順序測量方法，不同旋轉角對應磁場數(shù)據(jù)必然有時間上的延遲，因此該探測方式適用于對實時性要求不高的場合。為滿足實時性要求，可將多個磁梯度計傾斜交叉布置。

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Research on Magnetic Target Location Method Based on a Single Magnetic Gradiometer

JIA Wen-dou1, LIN Chun-sheng1, SUN Yu-hui1, ZHAI Guo-jun2,3

(1.Department of Weaponry Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, Hubei, China; 2.Department of Navigation Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, Hubei, China; 3.Naval Institute of Hydrographic Surveying and Charting, Tianjin 300061, China)

Euler method can be used to realize the accurate positioning of magnetic dipole source. The magnetic gradient tensor data can be calculated using the magnetic field strength data, which is measured by rotating the magnetic gradiometer. A magnetic target location method based on the rotation of a single vector magnetic gradiometer is proposed. A rotating detection model of magnetic gradiometer is established. The influences of rotational angle, inclination angle and baseline length on the positioning accuracy of target are analyzed, which provides a reference for the design of rotating device. The proposed detection method has a higher positioning accuracy in the region near the magnetic target compared with the detection method using an array of seven magnetic sensors.

electromagnetics; magnetic tensor; Euler method; magnetic gradiometer

2017-01-06

國家自然科學基金項目(41374018、41476087)；國家重大科研裝備研制基金項目(ZDYZ2012-1)

賈文抖(1990— )，男，博士研究生。E-mail：jiawd163@163.com

林春生(1961— )，男，教授， 博士生導師。E-mail：lcs_and_zh@163.com

TJ61+7

A

1000-1093(2017)08-1572-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.08.015