零點(diǎn)存在定理的理解與辨析

2017-09-03 09:37:14雷亞慶

數(shù)理化解題研究 2017年19期

雷亞慶

(南京市大廠高級中學(xué)，江蘇南京 210000)

零點(diǎn)存在定理的理解與辨析

雷亞慶

(南京市大廠高級中學(xué)，江蘇南京 210000)

很多同學(xué)在使用零點(diǎn)存在定理時都會產(chǎn)生錯誤，原因在于對零點(diǎn)存在定理的理解出現(xiàn)偏差.針對此問題，本文闡述了學(xué)習(xí)零點(diǎn)存在定理的必要性，用舉反例的形式使學(xué)生明白自己的錯誤在哪，從而進(jìn)一步準(zhǔn)確理解零點(diǎn)存在定理的本質(zhì)并會正確應(yīng)用.

零點(diǎn)，存在定理，產(chǎn)生背景，反例，正確理解與應(yīng)用

一、零點(diǎn)存在定理產(chǎn)生的背景

一般地，我們把使函數(shù)y=f(x)的值為0的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)，因此函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)實(shí)際上就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，從圖象上看，函數(shù)的零點(diǎn)就是它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)零點(diǎn)可以從不同角度把函數(shù)與其他知識鏈接起來，如數(shù)與形，函數(shù)與方程，函數(shù)與不等式等，因此學(xué)好有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的問題能讓我們深刻理解函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心地位.

那么如何求函數(shù)的零點(diǎn)呢，很自然地我們會想到求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，那么問題來了，方程f(x)=0有沒有實(shí)數(shù)根呢？有的話如何求呢？因?yàn)槌艘辉淮畏匠毯鸵辉畏匠掏?，許多方程的根以我們現(xiàn)有的知識是無法求出的，這就說明有些函數(shù)的零點(diǎn)并不是很好求.退而求其次，函數(shù)是否有零點(diǎn)，有的話在什么范圍內(nèi)就自然成為我們關(guān)注的話題.用圖形倒是一個較好的方法，但一來圖象法得到的結(jié)果誤差較大，有的函數(shù)的圖象也不太好畫.二來圖象法并不能作為推理的依據(jù).在這種背景下，零點(diǎn)存在定理的出現(xiàn)就顯得水到渠成了.蘇教版課本給出了函數(shù)零點(diǎn)存在定理：

一般地，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn).

二、零點(diǎn)存在定理的正確理解

函數(shù)零點(diǎn)存在定理為我們判斷函數(shù)在某區(qū)間上是否有零點(diǎn)提供了理論依據(jù)，但很多同學(xué)對零點(diǎn)存在定理存在許多認(rèn)知上的偏差.下面我們不妨一一道來.

1.為什么要強(qiáng)調(diào)函數(shù)y=f(x)圖象閉區(qū)間[a,b]不間斷？

2.為什么強(qiáng)調(diào)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線？

由上例我們可以看出：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條間斷的曲線，那么即使它滿足f(a)·f(b)<0,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上也不一定有零點(diǎn)(不代表一定沒有)，只有函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上才一定有零點(diǎn).

3．是不是只有一個零點(diǎn)？

反例3 函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)在區(qū)間[0,4]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(0)·f(4)<0，但是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,4)上有三個零點(diǎn)1，2，3.

從上例中可以看出.滿足函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上至少有一個零點(diǎn).

4.是不是f(a)·f(b)>0時，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上一定沒有零點(diǎn)？

反例4 函數(shù)f(x)=(x-2)(x-3)，在區(qū)間[1,4]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(1)·f(4)>0，但是函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上有零點(diǎn)2，3.

從上例可以看出，“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0”只是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)的一種情況，即滿足上述條件，該函數(shù)一定有零點(diǎn)，但它并不表示不滿足上述條件時，函數(shù)就沒有零點(diǎn).也就是說零點(diǎn)存在定理只是給我們提供了眾多求函數(shù)零點(diǎn)的道路中的一條而已.