高中數(shù)學(xué)解題中特殊值法的應(yīng)用探究

吳家美

(南京市秦淮中學(xué)，江蘇 南京 211100)

高中數(shù)學(xué)解題中特殊值法的應(yīng)用探究

吳家美

(南京市秦淮中學(xué)，江蘇 南京 211100)

特殊值法是高中數(shù)學(xué)解題中一種常見(jiàn)的方法，它選取題目中的某個(gè)特殊值，通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算、推理或驗(yàn)證，能找到問(wèn)題的正確答案或否定錯(cuò)誤的結(jié)論，達(dá)到減縮思維過(guò)程、降低推算難度的目的.本文就此探討了特殊值法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

高中數(shù)學(xué)；解題；特殊值法；應(yīng)用

“特殊值法”又名“特值法”，主要是指將某一特定量設(shè)定為特殊值，然后經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算而最終得出答案的運(yùn)算方法.受思維模式及經(jīng)驗(yàn)的限制，加之?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)本身較為系統(tǒng)且復(fù)雜，高中學(xué)生在接觸部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)很難深入抓住知識(shí)的本質(zhì)及意義.數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)過(guò)：“特殊化在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題中的意義更為突出.”這一提示即為在應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)難題時(shí)，可考慮從相關(guān)特例著手，以打破常規(guī)而最終獲取解決方法.總之，“特殊值法”是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要參數(shù)，是學(xué)生用于解答數(shù)學(xué)的重要手段.如何強(qiáng)化特殊值法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用尤為關(guān)鍵.

一、引入“特殊值法”，獲取原題解決的關(guān)鍵途徑

某些數(shù)學(xué)題型設(shè)計(jì)比較復(fù)雜，運(yùn)算起來(lái)也相對(duì)比較困難.但其特例解決往往比較容易解決，仿效該類型解答可很快獲取原題解答的關(guān)鍵途徑.為此，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生善于仿效特例進(jìn)行解答，并將解答思路遷移到原題運(yùn)算中，以降低解題難度.

如下例：已知a、b、c同為正數(shù)，求證：apbqcr+aqbrcp+arbpcq≤an+bn+cn，其中r、q、p為非負(fù)整數(shù)，n∈N，且r+q+p=n.

教師可首先解剖這一道題，題干中求證的不等式較為復(fù)雜，很難從正面進(jìn)行求證.為此，應(yīng)考慮從特例解答著手，代入某些具體數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算，如r為0、q為1、p為2.此時(shí)不等式則可表達(dá)為c2a+a2b+b2c≤a3+b3+c3，至此教師可引導(dǎo)學(xué)生采用“平均值不等式”進(jìn)行解答證明：

將上述三式相加可得c2a+a2b+b2c≤a3+b3+c3，運(yùn)算起來(lái)相對(duì)比較簡(jiǎn)單.

而在證明一般問(wèn)題時(shí)，同樣可仿照上述特例進(jìn)行解答，最終導(dǎo)出“均值不等式”驗(yàn)證：

apbqcrapbqcr，

arbpcq，

arbpcq

將上述三式相加可最終得apbqcr+aqbrcp+arbpcq≤an+bn+cn.

二、引入“特殊值法”，解答選擇題

在解答選擇題時(shí)，引出“特殊值法”，通過(guò)簡(jiǎn)答的推理、運(yùn)算及驗(yàn)證，可排除某些錯(cuò)誤答案或獲取正確答案，以降低運(yùn)算難度、降低思維轉(zhuǎn)換.總之，“特殊值法”適用于可減少解題經(jīng)過(guò)的問(wèn)題，尤其為選擇題，可達(dá)事半功倍、出奇制勝之效果.

如:在等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，已知a6a5=9，求loga1+loga2+loga3+…+loga10=( ).

A.12+log3a5B.8 C.12 D.10

題意分析 在該類選擇題解答過(guò)程中，考慮引入“特殊值法”可大大降低運(yùn)算難度，減少計(jì)算用時(shí).根據(jù)題干信息，可將an設(shè)定為3，然后以此進(jìn)行計(jì)算，便可獲取答案D.數(shù)列3，3，…滿足題干條件，并具備等比數(shù)列的性質(zhì)，因而在應(yīng)對(duì)類似選擇題可引入特殊值法，但值得注意的是不可將其遷移用于解答題的運(yùn)算中，否則犯邏輯錯(cuò)誤.

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)較為系統(tǒng)且復(fù)雜，在實(shí)際運(yùn)算中需經(jīng)大腦邏輯思維重組信息，由已知條件進(jìn)行推理、運(yùn)算.然而，高中生雖日常學(xué)習(xí)中不斷積累知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)，但在應(yīng)對(duì)較為復(fù)雜的題型時(shí)，往往不能很快轉(zhuǎn)換思維，不知從何入手解答.本文以上述兩個(gè)例題進(jìn)行分析，在復(fù)雜選擇題解答中，應(yīng)提升學(xué)生善于運(yùn)用“特殊值法”運(yùn)算的能力，潛意識(shí)里對(duì)“特殊值法”有充分的認(rèn)識(shí)，并在實(shí)踐運(yùn)算中不斷總結(jié)出自我經(jīng)驗(yàn)，哪類題型、哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)中應(yīng)如何代入特殊值，并提升運(yùn)算準(zhǔn)確率都需要學(xué)生逐步形成知識(shí)框架.

總之，高中學(xué)生在成長(zhǎng)與發(fā)展都會(huì)經(jīng)歷從“特殊”到“一般”的過(guò)程，尤其表現(xiàn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及研究中.“特殊化”是數(shù)學(xué)問(wèn)題解答的有效手段，更是獲取數(shù)學(xué)真理的可行工具.無(wú)論是解答選擇題，還是作答填空題，引入“特殊值法”都可化抽象為具象，使整個(gè)題干更加清晰明了，對(duì)降低難度、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新及邏輯思維能力都有積極的現(xiàn)實(shí)意義.為此，積極引入“特殊值法”教學(xué)成為高中數(shù)學(xué)教師的重點(diǎn)任務(wù).

[1]姚開(kāi)成.用“特殊值法”解題舉例[J].新疆石油教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1997(02).

[2]用特殊值法解數(shù)學(xué)題[J].青海師專學(xué)報(bào)·教育科學(xué),2003(06).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

吳家美(1971.2-)女，江蘇南京人，中學(xué)一級(jí)教師，本科，從事學(xué)科教學(xué).

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1008-0333(2017)19-0047-02