談數(shù)列中的數(shù)論問(wèn)題

陳 飛

(江蘇省如皋市長(zhǎng)江高級(jí)中學(xué),江蘇 南通 226500)

談數(shù)列中的數(shù)論問(wèn)題

陳 飛

(江蘇省如皋市長(zhǎng)江高級(jí)中學(xué),江蘇 南通 226500)

在高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》中，經(jīng)常出現(xiàn)滿足一定條件下的數(shù)列項(xiàng)的存在問(wèn)題，或求解涉及到整數(shù)n的不定方程，可以歸納為數(shù)論的基本問(wèn)題.在近幾年全國(guó)各省市的高考數(shù)學(xué)中，也時(shí)常出現(xiàn)上述問(wèn)題.下面結(jié)合具體實(shí)例，談?wù)剬?duì)這類問(wèn)題的處理方法.

高中數(shù)學(xué)；數(shù)列

一、利用合數(shù)的分解定理

A.2 B.3 C.4 D.5

解 通過(guò)

二、奇偶性分析

例2 已知{an}前n項(xiàng)之和為Sn，滿足Sn=2an-3n(n∈N*).

(1)求證：{an+3}為等比數(shù)列，并求{an}通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)，使它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由.

略解 (1)an=3(2n-1) (n∈N*).(2)假設(shè)存在{an}中三項(xiàng)ar、as、at(r

∴6(2s-1)=3(2r-1)+3(2t-1),∴2s+1=2r+2t①.

①中兩邊除以2r,∴2s+1-r=1+2t-r②.

∵r,s,t∈N*,且r

∴②中左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù).

∴假設(shè)不成立.即不存在三項(xiàng)，使它們成等差數(shù)列.

三、利用在某一范圍內(nèi)整數(shù)的有限性

例3 已知{an}前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=kSn+2,又a1=2,a2=1.(1)求k值；(2)求Sn；

(3)假設(shè)存在，m、n∈N*，滿足條件,

∴2<(4-m)·2n<6,又m,n∈N*,(4-m)·2n為偶數(shù),∴(4-m)·2n=4=2×2=1×4.

四、利用反證法證明某些問(wèn)題

?(p-r)2=0?p=r矛盾.∴假設(shè)不成立.即原命題成立.

五、利用二項(xiàng)式展開(kāi)定理

(1)求{an}通項(xiàng)公式；

(2)d∈{a1,a2,a3,…,an}∩{b1,b2,b3,…,bn}，則稱d為數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)，將這些公共項(xiàng)按它們?cè)谠瓟?shù)列中順序排成一個(gè)新數(shù)列{dn}，求{dn}的通項(xiàng)公式.

六、利用{an}是等差數(shù)列?an=An+B(A、B為常數(shù))

(1)令bn=an+1-an-1，求證：{bn}是等比數(shù)列；

(2)求{an}通項(xiàng)公式；

Sn+λTn=An2+Bn①.

[1] 卓水鑫.高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的巧妙運(yùn)用[J].新課程學(xué)習(xí)，2014(4)：75—77.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

陳飛(1984-),男,江蘇如皋人,中學(xué)一級(jí)，大學(xué)本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué).

G632

B

1008-0333(2017)19-0051-02