新課標高考數學卷第21題函數解答題的特點及解法探略

張 興 李雪琴

(1.固原市第二中學,寧夏 固原 756000；2.固原市回民中學,寧夏 固原 756000)

新課標高考數學卷第21題函數解答題的特點及解法探略

張 興1李雪琴2

(1.固原市第二中學,寧夏 固原 756000；2.固原市回民中學,寧夏 固原 756000)

新課標數學卷第21題均為函數綜合題.其內容涉及切線、單調極值、求參數范圍和證明不等式四大問題.突出考題學生思維的靈活性、敏捷性和數學化歸能力.更重要的是這些考查都立足于對通性通法考查的基礎之上.本文主要探究解題中的通性通法.

單調性與極值; 參數; 不等式;解題策略

函數是高中數學的重要內容,其觀點和方法貫穿了高中數學的全過程.因此函數知識可以有效的承載中學數學核心素養，所以新課標高考試題無一例外，每年的壓軸題均為函數綜合題.在高考所有數學內容中對函數知識和能力的要求是最高的，所以對函數壓軸題的深入研究，既有利于培養學生的數學綜合素養，又有利于做好高中數學教學工作.筆者就近十年函數壓軸題統計表如下：

通過對表格的分析、歸類我們會得到以下幾點(1)考查內容涉及切線、單調極值、求參數范圍和證明不等式四大問題，基本上每年都是四選二.(2)文科以單調極值為主，切線、求參數次之，涉及不等式的比較少.理科以求參數范圍為主，單調極值、不等式問題次之，切線問題涉及比較少.(3)通過對比、分析，就會發現通性通法與靈活化歸是解題的主要策略.

一、切線問題

又∵切點(1,b)，∴斜率k=f′(1)=ae，

∴ 切線方程：y-b=ae(x-1).

又∵切線為y=e(x-1)+2，

例3 已知曲線方程為y=x2，求過B(3,5)點，且與曲線相切的直線方程．

解析 求得f′(x)=2x.設切點(a,b),

∴斜率k=f′(x)=2a,切線方程：y-b=2a(x-a).

評析 從數量上看，近十年文、理30套題中出現考查切線問題的共有13個，對知識和能力的考查屬于中等層次，都在第一問.主要針對導數的幾何意義，涉及過函數表示曲線上某一點的切線，大多數與求參數值結合在一起.觀察上述三個小題就會發現其解答過程，代表著知識的形成過程，也符合學生的認知規律.其核心步驟為求導數、寫切點(有則寫，無則設)、求斜率、寫切線、有字母則需列方程和解方程.在這類題的各種解法中，或許有更加簡捷的方法，但這種步驟是最基礎、最具有普適性的方法.

練習：(2016文(20))已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).當a=4時，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程.

二、函數的單調性、極值、最值

x(-32，-1)-1(-1，-12)-12(-12，+∞)f′(x)+-+f(x)增減增

例5 (2015文21)已知函數f(x)=lnx+a(1-x).討論的f(x)單調性.

解析f(x)的定義域(0,+ ∞),

① 當a=0時，沒有拐點，f′(x)>0, ∴f(x)在定義域(0,+ ∞)上是單調增函數.

x(0，1a)1a(1a，+∞)f′(x)+-f(x)增減

∴f(x)在定義域(0,+ ∞)上是單調增函數.

評析 關于函數單調性、極值、最值問題，近十年文、理30套題中共出現了17個，幾乎全部都在第一問.其中不含有參數函數的單調性、極值、最值，共有12道題，含有參數函數的單調性、極值、最值共5道題.例4是不含有參數的單調極值問題，解答的基本步驟是求定義域、求導數、求拐點、列表、回答單調與極值的結果.例5是含有參數的單調極值問題，在求拐點時，需要根據參數的取值討論拐點個數，然后按拐點特征進行分類，其解答的基本步驟依然是域(定義域)、導(導數)、拐(拐點)、表(列表)、答(回答).這類題的第一個難點是何時討論參數？由于題目條件的不同，有的在求零點時討論參數個數；有的在列表時討論參數大小.第二個難點是如何討論參數的取值？簡單一點的根據參數本身的特征，比如分式的分母不為零等，復雜一點的需要根據題目的條件，參考自變量的取值范圍進行討論，關鍵是要做到不重不漏.

練習： (2016文1(21))已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.討論f(x)的單調性．

三、求參數范圍

例6 (2010文(21))設函數f(x)=x(ex-1-ax)(Ⅰ)略．(Ⅱ)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析 (Ⅱ)法一：圖象法.

當x≥0時f(x)≥0?x(ex-1-ax)≥0(其中x≥0)

?ex-1-ax≥0(其中x≥0)?ex≥1+ax(其中x≥0).

設y1=ex,y2=1+ax(其中x≥0),

則y1圖象在y2圖象的上方，兩個圖象都通過(0，1)，只需y1在(0，1)處的切線y2圖象的上方.

又因為y1=ex在(0，1)處的切線方程是：y=x+1,

所以x+1≥1+ax恒成立，所以a≤1，即a的取值范圍是(-∞,1].

解析(1) (Ⅱ)法二：求參數討論參數，部分肯定部分否定法.

由題x≥0時f(x)≥0，即f(x)=x(ea-1-ax)≥0.

令g(x)=ex-1-ax，則g′(x)=ex-a.

∴a≤1適合題意.

當a>1,g′(x)=ex-a=0?x=lna.

x(0，lna)lna(lna，+∞)g′(x)—+g(x)減增

∴a>1不合題意，舍去.

解析 化為不等式恒成立求參數，用分離參數求最值法.

f′(x)=3x2-6ax-9a2=3(x-a)2-12a2,

它的圖象是關于直線x=a對稱的拋物線，

②若a>1,則|f′(a)|=12a2>12a.故當x∈[1,4a]時|f′(x)|≤12a不恒成立. 所以a>1不合題意舍去.

評析 函數解答題中求參數范圍問題，近十年文、理30套題中共出現了11個，全部都在第二問.這種類型題從條件上看大多為指數型函數的混合函數或復合函數，都是在給定未知數x取值范圍的條件下，在一個不等式中求參數的范圍.由上面3個小題可知，求參數的取值范圍問題有三種解法，第一圖象法如例6解法一，其基本步驟是分離函數式(一邊化為指數式另一邊化為代數式)、構建函數、作出函數圖象、根據圖象位置建立新的不等式、解不等式.第二討論參數法如例6解法二，其基本步驟是求函數定義域、求導數、求拐點、列表、利用單調性建立新的不等式、化簡不等式確定參數的范圍.第三分離參數法如例7，其基本步驟是利用公式a>f(x)?a>fmax(x)，把不等式恒成立化為函數最值問題，利用函數單調性求最值、利用建立新的不等式、解不等式求參數.

綜上可知解答參數問題時首選分離參數法，能直接分離參數的直接分離參數如例6，不能直接分離的考慮能否分離含有參數的代數式如例7.其次考慮能否使用圖象法，關鍵在于能否分離代數式和指(對)數式，構造函數人出圖象如例6法一．最后考慮討論參數法如例6解法二，這種方法的難點之一是求拐點時需要討論參數，討論的標準要有時需要參考x的取值范圍；難點之二是根據參數的取值，否定一部分即參數取值不適合條件部分，肯定一部分是參數取值適合條件部分，從而確定參數值的范圍.

四、證明不等式(恒等式)

例8 (2013理(21))已知函數f(x)=ex-ln(x+m)(Ⅰ)設x=0是f(x)的極值點，求m,并討論f(x)的單調性；(Ⅱ)當m≤2時，證明f(x)>0.

解析(Ⅱ) 當m≤2時,x∈(-m,+∞)，ln(x+m)≤ln(x+2),

∴ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2).

故只需證明當m=2時,f(x)>0,

即f(x)=ex-ln(x+2)>0.

由函數知定義域為(-2,+∞),

又f′(-1)<0，f′(0)>0,故f′(x)=0在(-2,+∞)有唯一實根x0.

x(-2，x0)x0(x0，+∞)f′(x)-+f(x)減極小值增

綜上，當m≤2時，f(x)>0.

評析 函數解答題中關于不等式(恒等式)的證明，近十年文、理30套題中共出現了10個，其中與零點有關的不等式四道題，證明函數不等式的有6道題，都是解答題的第二問.由上例題可知例8題的解答順序是求函數定義域、求導數、利用函數單調性列不等式、化簡不等式、即得要證明的不等式.例9題的解答順序是化簡函數、求函數定義域、求導數、利用函數單調性列不等式、化簡不等式、即得要證明的不等式.觀察就會發現解答這類題的核心步驟是：構造函數、求導數、列表、利用單調性極值或最值建立新的不等式、化簡或解不等式.

綜上我們就會發現函數解答題基本上都是兩大問題，其中第一小題主要是導數的幾何意義或者是導數的函數意義，突出對現代數學內容的考查，屬于中、低等層次要求.其中切線問題的基本解答步驟是：導(數)、(切)點、斜(率)、(切)線、列(方程)和解方程.單調極值問題的基本解答步驟是：(定義)域、導(數)、拐(點)、(列)表、(回)答.其中第二小題主要是求參數的范圍或者是證明不等式，就其內容在本質上而言屬于二元變量函數，求參數范圍是控制一個變量的范圍，去探究另外一個變量的范圍，通常選用分離參數、圖象法或討論參數法.證明不等式題大多數需要構造函數，使用導數的函數意義.這兩類題雖然題目內容有時差別很大，方法也大不相同，但解題的本質思想基本相同，其核心步驟是：構造新函數、求其定義域、求導數、求拐點(根據參數取值情況討論有無拐點)、列表、利用最值建立新的不等式、化簡或解不等式.

[1]唐學寧.例析函數選擇壓軸題的解題策略[J].中國數學研究，2017(5)：23-24.

[2]劉紹學等.普通高中課程標準教科書,數學選修2-2 [M]，北京：人民教育出版,2007.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

張興(1967-)，男，漢，中學教師，研究方向中學教育教學. 李雪琴(1979-)，女，漢，固原回民中學教師，研究方向中學教育教學.

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