運用分類討論，培養思維嚴謹性

段俊婷

(江蘇省蘇州市吳江黎里中學,江蘇 蘇州 215200)

運用分類討論，培養思維嚴謹性

段俊婷

(江蘇省蘇州市吳江黎里中學,江蘇 蘇州 215200)

分類討論思想在初中數學中的應用非常多，廣泛應用于代數和幾何中.本文主要從不等式、方程、等腰三角形和二次函數四個方面論述分類討論思想.全面了解分類討論思想對學生的學習大有裨益，可以讓學生的解題過程變得條理清晰，有條不紊.

分類討論；不等式；函數；等腰三角形

一、在不等式中的應用

分類討論思想與不等式問題的結合是中考中的一個重要考點.學生在碰到此類問題時往往會由于粗心大意，考慮不周而忽略分類討論.對不等式問題進行分類討論，可以使得解題思路變得清晰，不會慌不擇路，同時解題步驟非常的簡單明了.

例1 解不等式(a+1)x>a2-1.

解析 對于此題，如果不加區分，直接在不等式兩邊同時除以(a+1)，得到x>a-1，顯然是錯誤的結果.這種解法的錯誤在于直接將(a+1)當成大于0了，這屬于主觀臆想，題目中并沒有條件說明a+1>0.所以需要進行分類討論，分類討論的標準就是a+1的符號，不同的符號下所得結果也不一樣.

當a+1>0時，即a>-1，那么不等式兩邊同時除以一個正數，方向不改變，則x>(a2-1)/(a+1)=a-1；當a+1=0時，即a=-1，原來的不等式為0，所以此不等式無解；當a+1<0時，即a<-1，那么不等式兩邊同時除以一個負數，方向改變，則x<(a2-1)/(a+1)=a-1.所以最后的結果為：當a>-1時，x>a+1；當a=-1時，無解；當a<-1時，x

點撥 本題根據x前面系數的取值將問題分成三類進行討論，對于此類不等式問題只有分別處理，在不同的情況下使用不同的方法，才能得到正確的結果.不等式問題與分類討論相結合的問題是初中數學中經常考查的考點，一定要認真對待.

二、在二次函數中的應用

分類討論思想在函數中的應用非常廣泛，忽視分類討論就會造成漏解，從而導致解題結果的錯誤.在二次函數的考查中，經常要對自變量前面的系數進行分類討論，這是初中數學中的一個難點，在學生平時的學習中需要多花功夫.下面這道題非常具有代表性，希望能夠通過下面的這個例子，加深學生對函數中分類討論思想的理解.

例2 求函數y=(k-1)x2-2kx+k的圖象與坐標軸的交點坐標.

點撥 當函數自變量的系數是含有字母的代數式，在求函數圖象與坐標軸的交點時，應當首先討論系數的取值，不同的系數代表著不同的函數，分類討論必不可少.并且在做題時與坐標軸的交點也要分類討論，不同的坐標軸交點解法也不一樣.

三、在方程中的應用

方程問題是初中數學中的重要內容，方程的類型有很多，初中數學中主要考查一元一次方程和二元一次方程.而方程問題與分類討論思想的結合是一個重要的考點，本例中的問題就是一個典型例題，對于帶有參數的方程往往都需要運用分類討論思想才能順利解題.

例3 現有關于x的方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0，當m取何值時方程才會有實數根？

解析 此題中方程中x2的前面含有參數，不能確定方程的類型，方程可能是一元一次方程，那么就會有一個實數根；也有可能是一元二次方程，可能有兩個實數根.所以本題就需要對x2前面的系數m-4進行分類討論.

點撥 通過本題可以看出，方程中分類討論思想的應用主要出現在含有參數的方程中.通過對參數的分析，然后才能確定方程的類型，確定方程的類型之后才能進行相關的運算.對于此類問題，一定要全面地考慮問題，不能馬虎大意.

四、在等腰三角形中的應用

等腰三角形是初中數學的基礎內容，在中考中出現的頻率非常高.等腰三角形的考查主要與分類討論思想相結合，通過分類討論判斷是頂角還是底角，然后才能解決問題.

例4 (1)在等腰三角形ABC中，它的一個角是80°，那么它的頂角的度數是( ).

A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°

(2)在等腰三角形ABC中，它的一個角是100°，那么

它的頂角的度數是____.

解析 本例中的兩道題看似差不多，但是解題方法卻不盡然.對于第一個問題，本題中所給的條件一個角是80°，并不能確定是頂角還是底角，所以此時應該進行分類討論：當80°的角是底角時，那么頂角的度數為180°-80°×2=20°；當80°的角是頂角時，三角形的頂角就是80°了.對于第二個問題，根據題意一個角是100°，而三角形的內角和是180°，所以等腰三角形已知的那個角只能是頂角，所以答案是100°.

點撥 本例中的兩道題主要考查了等腰三角形的性質以及三角形的內角和定理.對于題目中沒有明確是頂角還是底角時，應當進行分類討論.分類討論是解決這類問題的關鍵所在，只有做好分類討論，避免粗心大意，才能做好這一類題目.

綜上所述，分類討論思想在初中數學中的應用極為廣泛，不僅應用于函數、方程、不等式等代數問題，在幾何問題中也有相當廣泛的應用.在學習分類討論的過程中，在思想上要高度重視，認真歸納和總結，只有這樣才能不斷提高學生的數學水平，從而取得學習上的進步.

[1]沈華. 引入分類討論思想,使初中數學著上別樣色彩[J]. 讀與寫(教育教學刊) ,2013(07).

[2]何靜. 謹防二次函數中的“陷阱”[J]. 中學生數學,2011(05).

[責任編輯：李克柏]

2017-06-01

段俊婷(1981.06-)，女，江蘇蘇州人，本科學歷，中學一級教師，主要從事初中數學研究與教學.

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