水流沖不走乒乓球現象的研究

高志華，閆 妍，申 燕，孫媛媛,孫迎春

(1.東北師范大學 物理學院 物理學國家級實驗教學示范中心，吉林 長春 130024;2.岳池中學，四川 廣安 638300;3.長春職業技術學院，吉林 長春130033)

水流沖不走乒乓球現象的研究

高志華1，閆 妍1，申 燕2，孫媛媛3,孫迎春1

(1.東北師范大學 物理學院 物理學國家級實驗教學示范中心，吉林 長春 130024;2.岳池中學，四川 廣安 638300;3.長春職業技術學院，吉林 長春130033)

對水流沖不走乒乓球現象中水流流量、漏斗開口角度、乒乓球質量對實驗成功率的影響進行理論和實驗研究. 利用伯努利方程建模分析表明：乒乓球上下表面水流速度差引起壓力差是產生此現象的主要因素. 理論分析和實驗測量均表明:水流量越大、漏斗的開口角度越小水流托起的乒乓球質量越大，實驗成功率越高. 保證實驗成功率的實驗最佳條件為：水流量大于40 L/h，漏斗的開口角度在30°～45°，采用正常輕質的乒乓球.

伯努利原理；流體力學；壓力差

伯努利原理是流體動力學問題中的基本原理，應用非常廣泛，如飛機的升力、汽油發動機的汽化器、噴霧器等[1]. 不僅如此，很多生活現象也遵循伯努利原理，如急速行駛的汽車、火車等會把附近的物體吸向它們，旋轉的足球可以改變運動軌跡成為“香蕉球”[2]，旋轉的乒乓球可以增加接球的難度，等等. 因此，理解、掌握和應用該原理解決實際問題對大學生具有重要的意義. 本文通過對水流沖不走乒乓球現象進行實驗現象統計,對各影響因素進行了理論定量的分析研究，展示了利用該原理定性和半定量分析日常生活現象的方法.

1 實驗原理

1.1 伯努利方程

不可壓縮的理想流體做定常流動時滿足伯努利原理. 如圖1[2]所示，在密度為ρ的流體中任取一流管，流管在高度為h1和h2處的橫截面積分別為S1和S2，設流體微元ab在S1和S2處的速度分別為v1和v2，流體微元從位置1運動到位置2過程中，機械能守恒. 于是有[3]

(1)

圖1 理想流體

式中p為流體內壓強，g為當地的重力加速度.

1.2 沿漏斗壁流動水流的壓強

實驗在常溫(T=20 ℃)、常壓下(p=1.01×105Pa)進行,所用自來水的黏度很小(η=1.003×10-6m2/s)，因此水流動時體積變化可忽略，實驗過程中水流可視為理想流體.

實驗漏斗剖面圖如圖2所示，設漏斗頸半徑為r1，漏斗的開口角度為α，漏斗的深度為h.

圖2 漏斗剖面圖

v1S1=v2S2.

(2)

(a)

(b)圖3 沖不走乒乓球的水流示意圖

水層截圖如圖3(b)所示，令乒乓球(半徑為r)與漏斗壁的距離即水層厚度為L，水流的橫截面積為S2=2πrLcosα，水流速度為v2，則單位時間流量為

V=v2S2=2πrLv2,

(3)

根據式(2)得水流通過S2的流速度v2為

(4)

由于實驗中流過乒乓球下半表面的水流速很小，可近似認為0. 由于乒乓球直徑較小，可忽略S2處到乒乓球最低點的高度差和速度差. 對乒乓球下表面水流有

p0+ρgh3=c,

(5)

對乒乓球上表面水流有

(6)

取流經乒乓球上、下半球面的流線計算壓強差有

(7)

此壓強差為乒乓球提供了向上的托力使其不被水沖走.

2 乒乓球受力分析與模擬研究

2.1 受力分析

由圖3(a)可知乒乓球受力包括:水流到乒乓球后速度由豎直變為水平對乒乓球施加向下的沖力，水流在乒乓球上下表面流速不同引起向上的壓力差，水層表面張力對乒乓球產生向上的吸引力，乒乓球上部封住的水的重力對球施加向下的壓力.

由圖3(a)可知乒乓球上、下表面壓力差的有效作用面積可近似認為上下相同，為

Sh=πr′2,

(8)

式中r′=rcosα為乒乓球與漏斗壁相切圓的半徑. 由式(7)可得水流動引起的乒乓球上下表面壓力差為

(9)

水流由上向下沖到乒乓球后，速度改變為沿水平方向，因此施加給乒乓球向下的沖力. 水沖到乒乓球上部的速度為

則水流給乒乓球的沖力為

(10)

水流下時在漏斗壁與乒乓球之間形成了水膜，由此水膜對乒乓球上表面處產生表面張力，形成對乒乓球向上拉力為

f3=α2πr′,

(11)

式中α為水的表面張力系數，取室溫為20 ℃，則α=72×10-3N·m-1.

如圖4所示，當乒乓球被托起時，有水被封在漏斗中，對乒乓球形成向下的壓力為

f4=ρgV′,

(12)

式中ρ為水的密度，V′為被封住的水的體積，且為

(13)

圖4 漏斗中存水體積

(14)

能夠托起的乒乓球質量m與F的關系為

m≤F/g.

(15)

2.2 模擬研究

由式(15)得水流量與托起乒乓球質量的關系和漏斗開口角度與托起乒乓球質量關系，如圖5和圖6所示. 圖中質量為負值說明該參量下無法托起乒乓球.

圖5 托起乒乓球質量與流量的關系

圖6 托起乒乓球質量與漏斗開口角度關系

圖5表明：漏斗開角一定、流量一定時水流能夠托起的乒乓球質量隨流量增加而增加，漏斗開角越大而能夠托起乒乓球質量增加越小. 當水流較小時，漏斗開角越大托起的乒乓球質量越大，通過理論計算可知，此時開角小的漏斗中封閉的水質量較大. 正常的乒乓球質量約為3 g，根據理論計算可知，水流量為20 L/h時托不起乒乓球.

圖6表明：流量較小(20 L/h)時，能夠被托起的乒乓球質量隨漏斗開角增大而增加；當水流量較大(120 L/h)時，能夠被托起的乒乓球質量隨漏斗開角增大而迅速減少. 對于特定的角度，能托起的乒乓球質量隨水流量增加而增大，當漏斗開角較大(60°)時，能夠托起的乒乓球質量較小.

3 實驗測量及分析

實驗使用LZB-10型號玻璃轉子流量計(測量范圍20～160 L/h)測量水流量，連接漏斗、流量計和自來水龍頭的軟管內徑為8 mm，采用漏斗均為塑料材質；流量計和漏斗采用鐵架臺固定，實驗裝置如圖7所示.

圖7 實驗裝置

實驗利用6個半徑為19 mm的不同質量乒乓球、5種漏斗開口角度、5種水流量進行了實驗測試，6個乒乓球編號為1～6，相應質量分別為2.29,3.10,4.57,6.04,7.46,11.03 g. 漏斗開口角度分別為23.8°,30°,36.6°,45°,60°. 水流量分別為20,40,80,120,160 L/h.

實驗時將漏斗開口向下豎直固定，水流量由流量計讀出，水流調好之后，將乒乓球放入漏斗底部進行實驗，如果乒乓球能夠在2 min之內不下落，視為實驗成功.

3.1 水流速、漏斗開口角度、質量對實驗的影響

分別對6種質量乒乓球在不同水流量和漏斗不同開口角度情況下進行實驗，對每種條件重復40次操作，統計乒乓球保持托起的成功概率p，結果表1所示.

表1 水沖不走的乒乓球實驗統計

表1表明:漏斗開口角度α越大，實驗成功率越低；乒乓球的質量越小、水流量越大，實驗成功率越大. 在漏斗開角一定的情況下，水流速度越大能夠托起的乒乓球質量越大. 在漏斗開角一定時，乒乓球上部封住的水的質量一定，球與水層接觸的面積很接近，因而表面張力幾乎不變，此時，水流速度越大乒乓球上下表面的壓力差越大，因而，托起的乒乓球質量越大.

水流量一定時，隨著漏斗開口角度α增加，保持被托起狀態的乒乓球質量m減小. 隨著漏斗的開口角度的增加，乒乓球與漏斗壁之間水層接觸面積減小，使得球上下表面產生壓力差減小，同時表面張力也減小，水對球的沖力保持不變，從而最終導致對乒乓球的托力減小. 當漏斗開口角度較小(23.8°)時，流量為20 L/h的水流不能托起乒乓球的原因主要是乒乓球上部被封住的水質量過大，而此時水流產生的上下表面壓力差又過小所導致. 漏斗開口角度在30°～45°時，實驗可在較大的乒乓球質量和水流量范圍內保證成功.

綜上所述，保證乒乓球被托起的漏斗開角在30°～45°較為合適；水流量大于40 L/h較為合適，乒乓球質量越小越好.

3.2 質量、漏斗開口角度及水流量對實驗成功概率的影響

根據表1中數據，實驗選取質量分別為2.29 g和6.04 g的2只乒乓球在不同漏斗開口角度和水流量條件進行了實驗成功率統計研究，每種條件下重復實驗40次，結果如圖8所示.

(a)m=2.09 g

(b)m=6.04 g圖8 漏斗開口角度對實驗成功率影響

由圖8可知，當水流量小于40 L/h時，實驗成功率低且結果波動很大. 由圖6可知，當水流量小于40 L/h時，能夠托起的乒乓球質量較小，使得實驗結果對條件敏感、不穩定，成功率很低且波動大. 實驗表明:隨水流量增加實驗成功率增加，這與理論預測(圖5)中水流能夠托起的乒乓球質量隨水流量增大而增加的結果是相吻合的.

漏斗開口角度對實驗成功率影響很大，開口角越大，成功率越低，結果穩定性越差，尤其當水流量較小時更明顯. 這與模擬結果(圖5)中隨漏斗開口角度增大托起的乒乓球質量減小相一致.

相同條件下，乒乓球質量也影響實驗的成功率. 比較圖8(a)和(b)可知，實驗使用小質量的乒乓球更容易成功，且實驗現象穩定. 結果表明：當選用質量小的乒乓球實驗時，水流量大于40 L/h、漏斗開口角度在30°～45°之間，可以保證較好的實驗成功率，這與理論模擬結果(圖5)相一致.

總之，理論與實驗都表明：乒乓球質量、水流量、漏斗開角都會對實驗成功率造成影響，其中水流量對實驗現象的影響最為嚴重，當水流量大于40 L/h時，只要選擇正常乒乓球使用開角小于45°的漏斗都可以保證實驗的成功率.

3.3 說 明

1)在建立模型過程中考慮了由伯努利原理引起的乒乓球上下表面壓力差、水流對乒乓球的沖力、乒乓球封住的水的重力以及水膜表面張力對乒乓球的吸引力，其中，乒乓球上下表面壓力差和水流對乒乓球的沖力對實驗的影響較大，所以實驗時需要考慮水流量和漏斗的開口角度.

2)模擬結果中有些條件可托起的乒乓球質量較大，在實際實驗中發現能夠托起的乒乓球質量并不能達到理論預測的值，這是由于理論建模時水層厚度取為1 mm，而實際流量增大時水層厚度會超過該數值，導致水表面張力不能維持乒乓球封住其上部的水，使得乒乓球掉落. 實驗過程中漏斗中乒乓球上部會有部分空氣被封在內，也會導致托起乒乓球的質量減小. 另外，實驗采用自來水的流量受到同一管道上其他閥的開、關影響，也使流量測量不準確，影響測量的準確性.

4 結束語

利用伯努利方程對水沖不走的乒乓球現象進行建模，通過實驗研究了乒乓球質量、水流量、漏斗開口角度對實驗成功率的影響. 理論模擬結果與實驗結果相吻合，得到了保證實驗成功的實驗條件：乒乓球質量小于4.57 g,漏斗開口角度在30°～45°，水流量大于40 L/h.

[1] 陳燕黎. 伯努利方程的原理及運用淺析[J]. 漯河職業技術學院學報，2012，11(2)：87-88.

[2] 趙昌友. 伯努利方程及其應用[J]. 池州學院學報,2014,28(6):48-49.

[3] 漆安慎，杜嬋英. 普通物理學教程·力學[M]. 北京:高等教育出版社，1997：354.

[4] 康良溪. 伯努利原理實驗集錦[J]. 福建教育學院學報，2004(6)：93-96.

[5] 楊述武，趙立竹，沈國土. 普通物理實驗(力學、熱學部分)[M]. 4版. 北京:高等教育出版社，2007.

[責任編輯：尹冬梅]

Ping-pong ball in an inverted funnel

GAO Zhi-hua1, YAN Yan1, SHEN Yan2, SUN Yuan-yuan3, SUN Ying-chun1

(1. National Demonstration Center for Experimental Physics Education,School of Physics, Northeast Normal University, Changchun 130024, China;2. Yuechi Middle School, Guang’an 638300, China;3. Changchun Vocational Institute of Technology, Changchun 130033， China)

Based on Bernoulli principle, this paper studied quantitatively the phenomenon that a ping-pong ball in an inverted funnel would remain attached to the funnel when water flowed through the neck. The experimental results showed that when keeping the flux rate of the water constant, the ping-pong ball could stay in the funnel when the opening angle of the funnel was between 30° ～ 45°. When keeping the funnel angle constant, the maximum mass of the ball before falling increased with the flux rate of the water. And the probability of keeping the ping-pong ball stay in the funnel increased with the flux rate of the water. The simulation results agreed with that of the experiments.

Bernoulli principle; fluid mechanics; pressure difference

2016-07-20；修改日期：2016-12-24

“東師教學學術研究支持計劃”教師教學發展基金項目(No.15B2XZJ001,No.15B1XZJ015);高等學校物理實驗課程教學研究項目(No.01-201601-46)

高志華(1972-)，女，山東平度人，東北師范大學物理學院講師，碩士，主要從事普通物理理論和實驗教學及研究.

O351.2

A

1005-4642(2017)06-0014-05