合情估計法在大學數學教學中的應用

陸天虹

摘 要：“最重要的知識是關于方法的知識”。在大學數學教學實踐中，我們提出通過觀察分析，對問題給以定性或粗略估計的一種大學數學教學方法----合情估計法。本文通過一些案例，初步探索作為啟發式教學方法之一，合情估計法在大學數學教學中的應用。

關鍵詞：合情估計法（PEM）；啟發式教學法；洛必達法則；倒向洛必達法則；基準級數

合情估計法（PEM）就是通過觀察分析，對問題給以定性或粗略估計的一種方法（口語相當于毛估估法），教學實踐中屬于啟發式教學法，在大學數學教學中具有廣泛的應用。一般通過觀察分析（審題），根據經驗（已學的基礎知識等）或特例或抽象性質具體化等，對問題給出合情（毛估估）解決的方法。合情估計法也借助觀察法，觀察分為直接觀察和間接觀察，題前觀察（審題）、題中觀察以及題后觀察（類似驗證）或相互結合綜合分析應用。從推理角度分析，合情估計法屬于合情推理方法，不能取代嚴密的推導，只是給出解決問題的啟示，問題的解決必須采用演繹等嚴謹的數學推理方法（即論證推理）；但是合情估計法抓住了事物的本質、問題的核心，有其解決問題的內在邏輯（合情）。本文主要通過一些案例，初步探索合情估計法在大學數學教學中的應用。

印象比較深的是，大學高等數學期中測驗的一道題，需要利用微分的近似計算給出 的近似值。有同學給出近似值為0.98，接近1，相差較大。如果事先根據合情估計法，大致確定 接近 ，其真值在0.5左右，甚至進一步根據單調性應該小于0.5，那么就知道演算過程肯定出錯了。再如，如果計算得出一個人的步行速度為100公里/小時，那就不符合常理了（除非是超人），可能計算方法或過程有誤。因此，在我們的大學數學教學中，有必要系統引入合情估計法，一方面可以提高學生的認知能力，降低有些知識點的學習難度（特別是數學分析等學習曲線較陡的課程）；同時也能啟發學生的學習思維，激發學生的學習興趣，加強與學生的互動，達到活躍課堂氣氛，提升課堂教學效果。

一、客觀題直接采用合情估計法

（一）設 ，則 .

答案為 ，該題的要點是要利用導數的定義求極限（合理）。如果考慮到兩點間函數的變化率問題，終點減起點，很容易（合情）得出答案。在學過洛必達法則求極限后，根據合情估計法，假設該函數滿足洛必達法則的條件，于是利用該法則立刻得出答案。

該解法不嚴謹（洛必達法則只是充分條件），如果如上采用倒向洛必達法則，那也只能屬于合情估計法范疇。

（二）設 二階連續可導，且 ，則 .

（A） 是極小值 （B） 是極大值

（C） 是拐點 （D） 不是極值， 也不是拐點

該題應選擇（C）。分析：最簡單的合情估計法見前述，這里我們再考慮采用倒向洛必達法則（屬合情估計法）。事實上，由題意立刻得到： 為函數的一個駐點，且由保號性定理得到在 的鄰域內函數單調遞增無極值；再由倒向洛必達法則得到 ，因此 是函數的一個拐點。該題正確解法（合理）如下：由洛必達法則得到 ，于是

2 、設 二階連續可導，且 ，則 .

（A） 是極小值 （B） 是極大值

（C） 是拐點 （D） 不是極值， 也不是拐點

三、正項級數的比較審斂法

我們先給出正項級數比較審斂法的比較基準（Benchmark）級數（或稱參照物）之一， -級數的斂散性。

（一）判別級數 的斂散性.

分析：考慮到 ，因此采用合情估計法，該級數應與 在1到2之間的 -級數同態（同斂散），因此簡單起見，取參照基準級數為 =3/2的 -級數比較，結果原級數收斂。

（二）設非負函數 的某一鄰域內二階連續可導，且 ，試證明：級數 收斂.

（至此，采用合情估計法分析： ，于是我們通過合情估計法找到了參照基準級數為 ）

因為 ，

所以兩級數同態，或者（相對基準級數）原級數低態，因此級數 收斂.

四、廣義積分的比較判別法

（一）瑕積分 與基準積分的 -積分 同態，嚴格的推導采用比較判別法。

（二）計算I= .

解：I= + = -

（分析：如果上述瑕積分收斂，則I=0.一般地，判別瑕積分 的斂散性時，如果 不能利用合情估計直接法直接得到 ，那么可通過合情估計間接法來定 。但是該法往往比較復雜，因為基準積分 -積分的定 法，需采用比較判別法通過洛必達法則，事后來定 以及考慮三態等。特別地，如果假設需判別的積分收斂，最簡單的方法可事先選取 =1/2；如果假定發散，最簡單的方法可選取 為1或3/2或2。本題依據合情估計法直接得到，應選取 為1/2。）

考慮 ，得到 （更）收斂（低態），

因此，I=0.

合情估計法，作為啟發式教學法，學生比較容易理解容易接受。我們知道，數學名詞分為專業術語（formal）和口語（informal），如收斂、發散以及可導等就是專業術語，而有無極限、極限存在與否甚至廣義存在與否以及有無導數等都是口語化的數學術語。作為專業術語的“合情估計法”，在教學實踐中，可采用口語化的數學術語“毛估估法”（“姓毛名估估”）代替；對學習大學數學的學生，特別是作為通識基礎課的高等數學學習的大一學生而言，相對容易理解和接受。近幾年，我們也把合情估計法（毛估估法）具體運用到了教學實踐中，效果相當不錯。

“最重要的知識是關于方法的知識”。通過前述一些案例，我們初步探索了合情估計法在大學數學教學中的應用，還有許多類似的教學案例，需要我們不斷發現總結以及豐富提煉。同時建議在我們的大學數學教學中，系統引入合情估計法（毛估估法），一方面可以提高學生的認知能力，降低有些知識點的學習難度（特別是數學分析等學習曲線較陡的課程）；另一方面，也能進一步啟發學生的學習思維，激發學生的學習興趣，加強與學生的互動，活躍課堂氛圍，提升課堂教學效果，而且豐富我們的教學內容，拓展我們的教學方法論，從而能夠不斷提高我們的大學數學教學質量。

參考文獻：

[1] 徐利治 朱梧槚 鄭毓信編著.數學方法論教程[M].江蘇教育出版社，1992年7月.

[2] 華東師范大學數學系編.數學分析（第三版）[M].高等教育出版社，2001年6月.endprint