問題情境的創設：基于思維發展的理解

任 旭，夏小剛

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問題情境的創設：基于思維發展的理解

任 旭，夏小剛

（貴州師范大學數學科學學院，貴州貴陽 550001）

問題情境是一類具有思考性和貼近學生現實的數學問題．創設問題情境，其主要任務就是把概念和定理中的數學關系由已知轉化為需要思考和探索的未知關系，并置于與學生相關的現實背景中，其核心意義在于激發學生的問題意識，引發學生的數學思考．引導教師從衍生性主題的設計、數學內容本質的把握、數學關系的轉化以及問題結構的明確等方面去創設問題情境，有助于彰顯問題情境對學生思維發展的教學意義．

數學思維；問題情境；創設問題情境；數學教學

1 問題提出

眾所周知，“雙基數學教學”作為一種教學理念，已成為中國數學教育的重要組成部分．然而，在知識本位的課堂教學影響下，不少學生掌握知識，卻不善于思考知識、追問知識．學而不思則罔，面對知識經濟社會對實踐和創新人才的不斷需求，如何讓學生通過數學學會思考，已成為數學教育實踐中值得研究的一個重要話題[1~2]．無疑，對學生數學思維的培養，僅僅依靠知識和技能的傳授是遠遠不夠用的，必須改變那種重知識傳授輕數學探究、重數學知識輕數學過程的觀念．這意味著，數學教學必須回歸本真，注重以問題驅動學生的數學思考．

基于此，數學課程標準（以下簡稱《標準》）提出教師要創設適當的問題情境，以引導學生通過實踐探索，獲得數學的知識技能、數學思考和解決問題的課程目標[3~4]．十多年來，問題情境創設已成為教師生活中的一種“日常行為”，問題情境被廣泛運用于概念、原理、問題解決等不同類型的數學教學之中．然而，審視課堂，不難發現教學中問題情境創設的意義失落：一方面，問題情境拉近了數學與學生已有知識和經驗的距離，激發了學生數學學習的興趣和動機；另一方面，問題情境大多被局限在知識背景的認識范疇，并未成為學生構建知識、發展思維的“支架”．這表明教師對問題情境的認識大多還停留在價值和意義的經驗層面，即通過創設問題情境來解決諸如興趣、動機等方面的問題[5]．問題情境及其創設的本質是什么？如何構建一個問題情境創設的理論框架，以彰顯思維發展的意義呢？對這些問題的進一步探討，既是對問題情境創設的價值訴求，也利于學生數學思維的培養．

2 對問題情境創設的內涵分析

2.1 問題情境的本質

問題情境是一個含義多重的概念．研究者以“問題情境”、“數學”為主題，對近10年來CNKI中的相關文獻進行梳理，發現由于研究者的潛在觀念和理論價值傾向的不同，對問題情境的理解亦各有差異．下面是幾種有代表性的觀點：一是從激發學習興趣的角度，把問題情境定義為“學生進行數學的活動時所處的學習環境”[6]、“教師根據教材中的某一個知識點進行提問，為提問而創設的一個課堂情境”[7]；二是從激發數學探究的角度，將問題情境定義為教師設立的“一系列有難度的問題”[8]、“通過設置一種具備一定困難，從而需要學生在付出一定的努力后，方可完成的教學任務”[9]、“組織學生‘再創造’式學習數學的依托”[10]；三是從引發認知沖突的角度，把問題情境視為“教學中個體覺察到的一種有目的但又不知如何達到這一目的的心理困境”[11]、學生“運用已經掌握的知識去研究新的未知問題的氣氛”[12]；四是從問題解決的角度出發，將問題情境表述為“一種典型的能夠引發產生問題并解決問題的情境”[13]．概括起來，關于問題情境的認識可以分為情境指向和問題指向兩種視角，前者把問題情境的著力點放在學生的學習環境、課堂情境和心理困境上，后者則把問題情境看作是明確的數學問題或數學任務．這些認識突顯了問題情境在如何有效促進學生認識和形成數學知識中的重要作用，但是缺少對兩種指向的認識重心的整合．

問題情境的價值意義與時代的教育價值取向及其對教學實踐的期待相聯．在注重效率的工業化時代，基礎知識和基本技能的傳授成為教育價值的主流認識，教學意味著對知識和技能的“掌握”而不是“思考”．在信息時代背景下，數學成為生活與交流的工具，成為“思維的體操”，成為創造力的源泉．作為一種時代回應，數學教學開始由關注學生知識技能的發展轉向更為關注數學核心素養的培養，即“幫助學生學會數學地看待世界，發現問題，表述問題，分析問題，解決問題”，其核心是學生“思維的發展”[14]．杜威曾經在《我們怎樣思維·經驗與教育》中指出：思維源于疑難的情境[15]，因此，當經驗和疑難的情境對于學生思維發展具有重要影響[16]時，將問題情境的情境指向和問題指向兩種視角進行整合，有利于拉近數學與學生生活世界的距離，更有助于促進學生在問題情境的觀察與思考中去發現問題、分析問題和解決問題．

基于此，對問題情境作了如下定義，即問題情境是一類具有現實性和思考性的數學問題．其中，“現實性”是問題情境的外部特征，涉及學生生活世界中的客觀現實、已有的數學知識經驗以及其它相關學科的知識經驗等；“思考性”則體現了問題情境的核心價值，表現在問題情境所蘊含的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等活動中．

2.2 創設問題情境的內涵

問題情境的創設，主要指教師根據學生學習目標和學習內容的特定需要，把概念和定理中的數學關系由已知變化為需要思考和探索的未知關系，并置于學生相關的現實背景中；或者把已有的數學問題與學生相關的現實背景進行有機整合．由此為學生提供一類具有現實性和思考性的數學問題——問題情境．

問題情境的創設，其教學意義在于激發學生的問題意識，引發學生的數學思考．在問題情境的創設中，學生思維發展不僅被看作是一種教學目標，更被看作是一種應遵循的教學理念和精神．實現這種教學追求的關鍵，首先在于對學生已有知識經驗的把握．為便于闡述，不妨將問題情境中的已知條件及學生已有的知識經驗稱為“已知區”，將問題情境所要解決的目標任務稱為“未知區”．這意味著創設問題情境必須立足于學生的“最近發展區”，把握好“已知區”到“未知區”的距離，否則，難以激發學生的思維參與．

圖1 創設問題情境的“三區”

其次，在于對不同類型問題情境難易度的理解和把握．為此，借助比格斯（John Biggs）教授提出的SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome，觀察到的學習結果的結構）評價理論[17]，把問題情境蘊含的數學問題分為單一結構、多元結構、關聯結構和抽象拓展結構等4種水平，其結構特征具體如下：

單一結構水平（Unistructural Level）：解決問題只需一個數學知識或技能單元．

多元結構水平（Multistructural Level）：解決問題需多個數學知識或技能單元．

關聯結構水平（Relational Leve1）：需調動多個數學知識或技能單元，并通過分析、歸納、綜合才能解決．

抽象擴展結構水平（Extended Abstract Leve1）：需通過推理、演繹的方式，提出具有普遍意義的猜想或推論．

在此基礎上，以情境的類別和問題難易度為維度，對創設的問題情境作如下劃分（如表1），從而可以得到3（類別）×4種（思維水平）不同類型的問題情境．其中，P（，其中1≤≤3，1≤≤4）表示的問題情境，其思維層次隨著的增加而增加．

進一步地，可以將其劃分為兩個方面的問題情境：

一是有思考價值和意義的問題情境——P（，其中1≤≤3，2≤≤4）表示的問題情境．

二是沒有思考價值和意義的問題情境——P1（，且1≤≤3）表示的問題情境．

這種問題情境的類型劃分，為彰顯問題情境對學生思維發展的教學意義提供了一種認識基礎．

表1 問題情境的類型劃分

3 創設問題情境的基本框架

創設問題情境需要確立主題內容，明確“創設”的數學對象，即數學的概念、原理、思想和方法以及與學生現實相關的背景信息等．在此基礎上，結合學生已有的知識經驗，對“創設”對象蘊含的數學關系作必要的改進，并選用契合的問題結構和恰當的數學表征．因此，從創設問題情境的分析角度看，可以將問題情境的創設分為以下幾個步驟．

3.1 設計衍生性主題

問題情境的創設，致力于通過學生對問題情境的觀察和探索，使學生在獲得知識與技能的同時，發展其在數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等方面的思維能力．其中，知識技能的獲得體現了數學學習內容的基礎性價值，而數學思維的發展則反映了數學學習內容的衍生性價值．然而，哪些內容是需要學生基本了解，哪些內容需要學生通過思考去探究和發現，這是值得教師研究的教學問題．借用史寧中教授對數學核心素養的理解，即用數學的眼光觀察數學世界，用數學的思維分析現實世界，用數學的語言表達數學世界[18]，可以為問題情境創設中的主題確立提供基本標準：（1）數學的價值；（2）課程內容核心；（3）具有探究性．顯然，根據上述標準確定主題內容，并圍繞這些主題內容創設問題情境，有利于學生感受數學的價值，主動探究知識，也有利于其思維能力的發展．比如高中數學中的集合、函數、數列、不等式、解三角形、統計、概率、平面向量與三角恒等變換等概念，由于它們居于數學課程的內容中心，蘊含了數學“再創造”的教學意義，體現了超越數學課堂的持久價值，因此容易成為衍生性主題內容的重要來源．

當然，衍生性主題內容的確立，必須考慮學生已有的知識經驗，立足于學生的“最近發展區”，把握好“已知區”到“未知區”的距離．否則，容易導致教學內容探究性的丟失，進而遮蔽主題內容的衍生價值．以等差數列前項和為例．等差數列作為刻畫一類離散現象的重要的數學模型，其前項和的公式及其推導蘊含了特殊到一般、類比和歸納等思想方法，因此成為高中數學教學中一個重要的衍生性主題內容．從教學實際情況看，教師大多習慣先介紹高斯利用“首末湊配法”求出1+2+…+100之和，然后運用學生在小學就已熟知的高斯算法，啟發和引導學生去發現和運用求等差數列前項和的“倒序求和法”．無疑，這為學生提供了一個具有思維挑戰性的問題情境，其中，聯想和類比是解決問題所要運用的重要方法．顯然，與“首末湊配法”、“倒序求和法”相比，這種基于類比的合情推理對學生數學思維的發展具有持久的價值和作用．不過，在實踐中發現，由于“倒序求和法”與高斯算法的類比性不高，超越了學生已有的知識經驗，以致學生在問題情境的思考和探索中，只能感慨高斯算法的“妙”，卻難以由等差數列“首末湊配”聯想到“倒序求和”．最終，等差數列前項和的公式及其推導內容的思維價值丟失．

3.2 把握教學內容的數學本質

創設問題情境，應明確教學內容的數學本質．對數學本質的認識，涉及數學的價值、數學的結構、數學的表現形式以及數學的文化等多種視角，因此其含義有多種，如數學是科學的工具、思維發展的手段，數學是模型，數學是符號，數學是理性和求真，等等．

把握教學內容的數學本質，重點首先在數學結構的分析，核心在思想方法的挖掘．以人教版等差數列前項和的教材分析為例：教材首先呈現高斯計算1+2+…+100之和的“首末湊配法”，以及利用“倒序求和法”求等差數列的前項和的問題，在此基礎上，展現了用“倒序求和法”求等差數列前項和的推導過程．這種推導雖然容易使學生理解和掌握，但是沒有體現“倒序求和法”的知識探究過程．為此，必須把握等差數列前項和的數學本質——一個關于、、的代數式，抓住滲透其求和過程中的數學轉化思想和方法，通過的數學關系，將原有求和問題轉化為一個簡易級數的求和問題．

無疑，認識和把握好教學內容的數學本質，對于創設問題情境的意義至關重要．在此，應該摒棄把數學等同于演算科學的看法，關注數學作為一種人類文化創造的本質特征，從而以更為廣闊的視角去透視數學，領悟數學的社會意義和文化意義，進而更好地理解和把握教學內容的數學本質[19]．這不僅有利于引導學生追求數學的真理美——抽象的概念、嚴格的推理、創新的方法、完美的形式以及精確的結論，而且可以更好地通過問題情境的創設，引導學生在數學自身的內在關系、相關學科知識以及現實社會文化背景的探究中，發展自己的想象、直覺、猜測、假設、檢驗、試錯、歸納、試驗等思維能力．

3.3 轉化數學關系明確問題結構

數學關系即數學對象所具有的思維活動賴以依存的條件，是“數學對象間可以確切定義的關系”[20]，如對應關系、函數關系、同構關系、相等關系、不等關系、包含關系，等等．通常，教師可以采取一定的方法，如一般到特殊、抽象到具體、變換法（等價變換、不等價變換）、模型法等，將含有未知目標的數學關系(,)反映到一組較具體的數學關系（或具體的未知關系）和學生的相關現實背景中，以激發學生的數學思考．

從前面等差數列求和問題可以看出，由于“倒序求和法”與高斯算法的類比性不高，難以激發學生在求和問題情境中的思維參與，因此，教學的關鍵在于將等差數列前項和的本質關系轉化為學生可以“觸摸”和探索的數學問題，以此創設問題情境．譬如，可以采取一般到特殊、抽象到具體的方法，將等差數列前項和反映出來的S與1、a的數學關系進行特殊轉化，即當=3，4，5，…時，

在此基礎上，創設以下問題：

當=3時，如何用1，3表示3？

當=4時，如何用1，4表示4？

當=5時，如何用1，5表示5？

……

進一步地，讓學生通過對下列等式的觀察、歸納，思考如何用1，a表示S的問題．

……

由于=3，4，5時，3與1和3的數學關系、4與1和4的數學關系以及5與1和5的數學關系，成為學生進一步探究S與1和a之間數學關系的信息背景，因此如何用1，a表示S的問題便構成了一個具有探究性的問題情境．

前面，根據SOLO評價理論，將問題情境分為單一結構、多元結構、關聯結構和抽象拓展結構4種類型．問題結構類型的明確，為學生提供了觀察、認識、分析和研究數學關系的切入點，也為教師進一步分析問題情境對學生的思維要求提供了條件．

然而，抽象的代數表征方式雖然具有簡潔和可操作的特點，但是容易使問題情境過于抽象，因此在明確問題的結構類型后，為了降低學生的認知負荷，還應根據內容特點，采用文字表征、符號表征與視覺表征相結合的表征方式．比如，通過幾何表征的方式，讓學生思考等差數列前項和的幾何意義（如圖2）．

圖2 梯形模型

4 結束語

在數學教學中，創設問題情境的一個重要任務就是促進學生在數學學習中的思維參與．問題是數學的心臟，思考是數學活動的主線，因此，問題情境廣泛存在于基于數學概念、數學原理及問題解決的探究教學中．無疑，教師所創設問題情境“比書本上更加直接和富有感染力，并在更大程度上潛移默化地影響學生‘數學素養’的水平”[21]，然而，創設問題情境只是為學生構建知識、發展能力提供了條件．事實上，問題情境能否真正激發學生的思維參與，幫助學生獲得數學知識技能、數學思想和數學活動經驗，進而形成良好的數學思維品質和解決問題能力，這不只需要教師針對數學的基本概念、原理和重要的思想方法，從衍生性主題的設計、數學內容本質的把握、數學關系的轉化以及問題結構的明確等方面去創設問題情境，還需要在此基礎上對學生問題探究過程的引導，更需要教師形成對創設問題情境的反思及相關理論問題的思考．唯有如此，問題情境的創設才能調動學生的數學思考，彰顯問題情境對學生思維發展的教學意義．

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Creating Problem Situation: Based on the Development of Thinking in Mathematics

REN Xu, XIA Xiao-gang

(School of Mathematics Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550001, China)

Problem situation was a kind of thinking and close to the reality of students in mathematics. The core task of creating problem situation in teaching was to transform the relationship between number and form in concept and theorem from the known into the unknown relationship which needed to be thought and explored, as well as put in the realistic background related to students. It score significance lied in stimulating the student’s problem consciousness and triggering students’ mathematical thinking. It attached great importance on discovering problems related to the development of the students’ thinking in the aspects of designing derivative theme, grasping the nature of mathematical content, transforming mathematical relation and clarifying problem structure.

mathematical thinking; problem situation; creating question situation; mathematics teaching

[責任編校：周學智]

G632.0

A

1004–9894（2017）04–0015–04

2017–03–05

貴州省省級本科教學工程項目——數學與應用數學專業卓越教師培養計劃（黔教高發[2014]378號）；貴州省省級本科教學工程項目——培養高師數學專業學生“教思辨、教體驗、教表達”指導能力的實踐研究（黔教高發[2014]378號）；貴州省研究生教育創新計劃項目——學科教學（數學）專業學位研究生工作站（黔教研合JYSZ字[2015]003）

任旭（1990—），女，湖南永州人，博士生，主要從事數學教育研究．夏小剛為本文通訊作者．