中學數學微實驗的設計原則及開發途徑——基于HP Prime平臺

張志勇

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中學數學微實驗的設計原則及開發途徑——基于HP Prime平臺

張志勇

（江蘇省常州市第五中學，江蘇常州 213001）

由知能視角下的教學走向核心素養的有意識培育，離不開數學實驗的土壤．作為一種以實際操作為特征的數學驗證、理解或探究性活動，數學微實驗（類似于片段式實驗）以移動可視技術為工具，支持隨時隨地的實驗和分享，往往聚焦于某個數學知識點（重點、難點、疑點）或教學環節，強調實驗進程的短（實驗時間）、平（操作簡易）、快（實驗見效），為學習者提供碎片化、移動化的探究體驗的同時，可以方便地嵌入、融合到原有的教學流程中．從完整的教學鏈出發，可將數學微實驗細分為情境創設、現象挖掘、原理探究、方法發現、解釋構造、拓展推廣等3類6種實驗．Hp prime圖形計算器具有視覺化、操控化、瞬時化特點和手持優勢，借助這一平臺，以可操作性、過程性、再創造性、拓展性為原則，設計并開發微實驗資源，或深入教材挖掘素材，或立足史實追本溯源，或命題推廣尋求解釋，或歸納演繹流程再造，……，可推動數學微實驗在課堂教學中的常態化實施．

數學微實驗；圖形計算器；移動實驗室；核心素養

1 研究背景

長期以來，人們對數學的認識就是概念、定理、公式和解題，這固然可歸咎于數學自身具有的形式化抽象特征，但當下重結果輕過程、重知識輕能力、重訓練輕理解……的知識教學卻也責無旁貸．如果只是掌握知識的結果，而不追問這些知識的結果從何而來又向何而去；如果只是埋首于題海中刷題而不理解數學的本源性問題[1]；那么學生從哪里抽象、拿什么建模、憑什么推理？

由知能視角下的數學教學走向核心素養的有意識培育，需要擯棄以往教學中過于強調形式化的邏輯推導和形式化結果的弊端，重視數學發現過程的展示、數學學習活動的親身體驗和數學直觀性背景的創設；在問題的發現、方法的形成、知識體系的構建過程中，讓學生感悟蘊含其中的數學思想和數學方法，進而認識數學本質[2]．而這樣的教學構想離不開數學實驗的土壤，通過實驗手段來學習、驗證和發展數學，可以將抽象的結論寓于其中，使學生經歷一個從具體到抽象的過程，從而見到數學的全貌、體會數學的全過程；而從直觀、想象到發現、猜想，也能保證原先枯燥無味的數學公式、數學概念、數學定理變得鮮活起來．

隨著遍地開花的高校數學實驗教學中心的逐步建設，肇始于高等教育的數學實驗已然成為數學教學方法中必不可少的元素．研究者采用不同的技術平臺（Mathematica、Matlab、圖形計算器等），或采用課堂教學與數學實驗交替進行的方式，或融數學實驗于日常數學課程中，構建了基于數學基礎實驗、工程應用、創新活動的3個層面多個模塊的實驗教學體系[3]，在實踐應用基礎上不斷探討數學實驗于數學教育的作用及價值：數學實驗改變了數學只用紙筆進行研究的傳統方式；借助計算機和數學軟件能理解抽象的數學理論、自主探索和研究數學應用問題；幫助學生初步實踐利用數學知識和方法去分析和解決問題的全過程，培養學生自主獲取各種新知識的能力[3]；學生應用數學解決實際問題的最佳途徑，培養創新型、應用型和復合型人才的最佳載體[4]；促進學生認知發展的有效途徑，對教學過程完善性的必要補充，為課程資源開發提供了源頭活水[1]；將過程與結果、操作與思維、實驗與論證、證偽與證實有機融合，實現了靜態數學觀與動態數學觀的融通，使得數學教學變得完整而有活力[5]．開展數學實驗離不開現代教育技術的助力，特別地對于圖形計算器，研究者提出需要選擇適當的時機、恰當的度，使用時機的把握要與學生的發展水平相適應，使用方式的選擇要有利于創建新型的教學結構，使用目標的確定要以培養學生的數學思維能力為核心[6]；而相應的教學策略則包括掌握使用要點、創設活動環境、加強多元表征、利用計算統計功能等[7]．而具體到中學階段開展數學實驗，調查研究表明，大多數教師認為非常有必要，但實踐中卻開展較少，究其原因主要在于缺乏數學實驗課程資源的支持；無論是教材、教學還是教師，讓數學實驗教學真正落地，從觀念存在變為有助于培養學生創新意識的現實，還需要深入的研究和探討，聚焦數學主題的專題性實驗（大實驗）固然必要，但穿插于數學課堂教學中的片段式實驗（小實驗）卻更實際[8]，目前關于中學數學微實驗的內涵、設計原則和開發途徑的探討和研究尚不多見．

2 數學微實驗的涵義認識

數學實驗是一種以實際操作為特征的數學驗證、理解或探究活動．它強調的是學生的動手實踐，在算一算、畫一畫、量一量中獲得活動體驗；強調的是不將現成結論直接拋給學生，而是根據數學思想發展脈絡創造問題情境；強調的是“做”中理解數學、發現數學，從直觀、想象到猜想、發現，親歷數學知識的建構過程，而不是簡單的應用數學解決問題；也就是在“做”數學的過程中豐富感知，在直觀感知的基礎上建立表象，在表象提取與運用中發展想象[9]．簡而言之，數學實驗始于基本活動經驗的積累，終于數學核心素養的發展．

區別于普通數學實驗而言，數學微實驗（類似于片段式實驗）更多地強調實驗進程的短（實驗時間）、平（操作簡易）、快（實驗見效），它以移動可視技術為工具，支持隨時隨地的實驗和分享，往往聚焦于某個數學知識點（重點、難點、疑點）或教學環節，為學習者提供碎片化、移動化的探究體驗的同時，可以方便地嵌入、融合到原有的教學流程中．當然，微實驗也注重知識發生、發展過程的合理再現，注重學生在“做”中親歷數學概念、規則的形成過程，注重通過動作思維和邏輯思維感悟知識發生過程、理解知識結果．于是，所謂數學微實驗，是學習者在數學思維活動參與下，借助移動可視技術，模擬地創設可觀察的數學對象或問題情境，在數學化操作中產生歸納假設，在分析、驗證、猜想中形成認知體驗，從而實現在做（建構）數學中學（理解）數學、用（解釋）數學的一種移動式探究性學習活動．

考慮到數學微實驗以“短小精悍”為特色，往往可以嵌入到傳統的教學流程中應用，而完整的教學鏈又應當包括3個階段：怎么來的？是什么？怎么去的？[1]因此將數學微實驗細分為以下3類：一是情境創設、現象挖掘類實驗，用以凸顯數學知識是“怎么來的”，包括所學習知識的緣由、新舊知識間的關聯和沖突等，此類實驗更多的指向學生的數學理解，多以教師演示的方式呈現，重在啟發學生思考為什么要學習新知識；二是原理探究、方法發現類實驗，側重于描述知識“是什么”，此類實驗多以探索性形式呈現，通過觀察、測量、計算等活動認識不同水平條件下的數學本質，通過歸納、類比、概括等思維方式發現數學規律，從而達到建構數學認知結構的目的；三是解釋構造、拓展推廣類實驗，體現知識是“怎么去的”，用以啟發學生思考新知識會向什么方向發展，在這個知識基礎上會再生成什么新的知識，多以驗證性實驗的形式呈現，用以幫助學生對知識結果的理解，包括利用知識解決數學本身的問題和解決一些現實生活中的問題．

3 Hp Prime平臺簡介

作為一款移動手持終端，HP Prime圖形計算器集“數、形、表”于一屏，3種視圖模式（符號視圖Symb、繪圖視圖Plot、數字視圖Num）的設計，能夠輕松實現數學概念或對象的多元聯系表征；18個內置應用APP、400多種操作命令，為數學實驗的開展提供演示、驗證和探究3種水平的支持，可以生動地展示數學對象的動態變化過程，實現動態與靜態間的適時切換，顯現代數、幾何、數據、算法等不同數學分支的真正融合；內嵌的符號代數系統，使形式化的符號不再成為開展數學實驗的障礙，數學推導（因式分解、微積分運算等）在計算器上也可以順暢實現；從而能夠深入數學學科內部、幫助學生洞察數學本質，滿足學生在更高抽象層次上進行思考與探究的需求．

如果說HP Prime的視覺化、操控化、瞬時化特點，可以有效支持數學微實驗開展需求的話；那么其手持優勢（支持隨時隨地“學”、“做”、“用”數學），則是移動實驗學習的重要支撐（其模擬軟件可在各類移動終端設備上免費安裝使用，確保移動可視化實驗的順利開展）．需要提及的是，HP Prime配以Connkit課堂管理系統、無線模塊，可以搭建課堂無線環境形成e-數學實驗室，實現課堂動態管理、師生的即時順暢互動和自定義APP的及時分享．當然，最為重要的還是HP Prime易于交到學生手中，可以成為學習和解決數學問題的強有力的工具，保證“使用技術學習和研究數學”成為可能：通過對由“靜”到“動”、從“微觀”到“宏觀”的知識形成過程的觀察和思考，不僅看到數學外在形式的“美”，還可感受到內在實質的“真”；超越傳統意義上紙筆學習數學的窠臼，在真實體驗指尖上的美妙數學和探究樂趣之余，實現“人人通過微實驗學習數學”．

4 數學微實驗的設計原則

數學微實驗目標定位在于：親身操作中獲得“關鍵性事件”的學習體驗，經驗積累中促成思維深化，知識獲取中提升數學索養……如何達成？需要遵循以下一些設計原則．

4.1 可操作原則

數學微實驗強調短、平、快，實踐性和操作性是它的外部特征[5]，學生的學習體驗獲得依賴于其親身操作和觀察發現，可謂“實驗不動手，體驗不會有；操作不順暢，價值難保障”，于是可操作性便成為實驗內容選取和實驗資源創設過程中的首要原則．

可操作性首先要求對數學內容進行實驗法加工，并非所有的數學內容都適合探究，教材中也并沒有現成的實驗資源，需要教師下力氣提煉教學內容，透視知識背后的實驗成分，化數學內容的學術形態為實驗形態，創設利于學生“再創造”的實驗情境；其次要求實驗內容與操作工具的互融共通，好的教學構想離開技術上的方便快捷實現也是枉然，創設“多元聯系表征”的學習情境，把教學中抽象、難以理解的知識點以形象、直觀的方式展現在學生面前，可以實現信息在外部世界和學生大腦之間的“自由穿梭”，達成實驗與歸納、演繹與推理的平衡與統一．

4.2 過程性原則

數學微實驗重視基本活動經驗的積累，數學活動經驗的形成和發展主要來自于過程性知識的習得．于是，實驗中需要注重學生在“做”中親歷數學概念、數學規則的形成過程，重視學生對知識產生和發展的體驗，通過動作思維和邏輯思維來感悟知識發生過程、理解知識結果、明晰知識發生發展的來龍去脈并形成直接經驗[5]．

正如“精彩源自細節，過程成就素養”，過程性原則強調的是寓理于行，操作與思考并行，在“做”的過程中積淀、在“思”的過程中升化，不憤不啟不悱不發；過程性原則追求的是水到渠成，重要的不是結果性知識的獲得，也不是應用數學來簡單的解決問題，而是知識背后的發現和探索過程的不斷經歷和體驗，是結果與過程的融通．

4.3 再創造原則

根據數學思想發展脈絡，選取適當的對象創造問題情境，安排適當的活動讓學生獲得感性認識，親歷數學知識的建構過程，從而理解數學概念、提煉數學思想、發現數學規律，數學微實驗所倡導的正是弗賴登塔爾所說的“數學再創造”．

再創造首先意味著不是簡單地將概念、法則、定理“告訴”學生，而是創設適合的條件、提供更多的作為知識載體的具體情境，讓學生在實踐活動中自己再創造出各種數學知識，正如學游泳、騎自行車一樣，實踐才能出真知，它強調的不是“知其然”而是“何以知其所以然”；其次再創造的著眼點是“再”，并非要求學生發現前人所沒有發現的數學結論，而是把數學的學術形態轉化為學生易于接受的實驗形態，其教學價值在于養成具體環境中用數學的習慣，在于數學思維水平的提升．

4.4 拓展性原則

通過實驗活動促進學生思維的發展是數學實驗的核心和最終歸宿，在一個數學實驗中，觀察與分析交織，抽象思維與形象思維并存，從實驗前的猜想，實驗中的思考，以及實驗后的總結，都是發展學生思維的優良環境，同時也為培養學生創造思維力提供空間．

一個好的數學實驗不會僅停留在動手操作層面，它必然是實驗與論證的統一，既具有幫助學生理解、領悟數學知識的目標追求，更具有為數學思維奠基、促進學科素養形成的價值取向．拓展性也意味著動態、包容和可持續，微實驗設計更多地指向教學片斷，多個微實驗進行有效整合可形成一完整的數學實驗系列或體系；在實驗設計和實施過程中，對實驗設計的動態檢測和成果評價反饋的逐步完善，亦是拓展性的一種體現；況且學生也可仿照流程自主設計實驗，探索相近的或相似的數學結論．

5 數學微實驗的開發途徑

數學實驗材料本身屬于內隱性課程資源，如前所述并非所有的數學內容都適合探究，教材中也并沒有現成的實驗資源，開發這些資源需要教師對數學知識有深刻的理解，尤其是知識的產生、知識之間的聯系、知識中包含的數學思想方法；需要教師有敏銳的洞察力和創造力，能透視作為結果性知識背后的實驗成分，對其進行教學法層面的再加工，形成實驗設計[1]．

5.1 情境創設和現象挖掘類實驗的開發設計

認知發展理論表明，真正的學習不是個體對外部知識的簡單接受，而是在活動中不斷同化、順應的結果，于是可以從知識產生的過程和在知識產生過程中出現的曲折來著手開發實驗．

對于情境創設實驗而言，重要的是引發學生原有的數學認知結構與新學習內容之間的認知沖突，使得學習者在心理上對新知識產生學習需要．可以從教材中的章節引言中尋求素材，圍繞為什么學、學什么、怎么學等開發案例，如矩陣與變換的教學中，可以構建矩陣（代數范疇）與變換（幾何內容）的聯系通道，拖動圖1中的變量滑動條出現圖形變換效果，而打開圖2中相應點的屬性自可揭開謎底[10]；也可基于數學史的視角進行數學內容的實驗設計，如從趙爽弦圖、帕普斯半圓模型出發引出均值不等式，自有事半功倍之效．現象挖掘類實驗，則著眼于從若干具體事例中發現共性規律、尋求數學解釋，體現“由數學看現實，由現實想數學”．開發此類實驗，重要的是多個現象的同時呈現，而這正是HP Prime最容易實現的，如當學生觀察到多個方程（、、、等）的圖象后，當他們歸納發現所有直線都過同一點（區別僅在于直線的斜率不一致）時，點斜式方程便自然可以“呼之欲出”．

圖1 圖形計算器輸出（一）

圖2 圖形計算器輸出（二）

5.2 原理探究和方法發現類實驗的開發設計

數學是高度抽象的形式化的思想材料，真實的內容和抽象的意義往往隱藏在符號形式的背后，這就要求能透過現象看本質，從具體現象中抽象概括出數學本質的東西．如何幫助學生在自己的頭腦里建立和發展數學認知結構，這就需要開發原理探究、方法發現類實驗，如果說前者立足于運用數學知識去發現、探究新的原理、規律、公式的話，那么后者則著眼于將現實生活中蘊含的與數量和圖形有關的問題抽象成數學問題．

開發設計此類實驗，可以從抽象內容的直觀表示入手，如讓圖3所示的不等式“說話”，通過解析式的不斷修改，引發可行域的即時變化，使得抽象的不等式組與具體直觀的幾何圖形間形成鮮活的聯系，而豐富的案例（每一次修改即是一個案例）也為規律（不等式對應的區域）的探尋提供了直接的通道．對于數學規則、定理的學習，可使用流程再造的方式設計實驗，其做法就是充分利用HP Prime的CAS功能，如學習“兩角和與差的余弦公式”時，可如圖4輸入

、，

可以驗證前面的猜想，事實上圖形計算器本身就是數學，通過實驗設計可實現“向技術學習數學”，做過去課堂中完全做不到的事情．

圖3 圖形計算器輸出（三）

圖4 圖形計算器輸出（四）

5.3 解釋構造和拓展推廣類實驗的開發設計

知識的價值不在于占有而在于應用，于是數學實驗的價值理應體現在由直觀的“做”轉型到有意識的“用”，以此發展學生的數學應用意識，回歸素養為重的常識．

解釋構造類實驗側重于尋求“問題空間”的另類數學解釋，即在架設新內容與既有的知識間的聯系通道的同時，構建更加完善的知識網絡體系．如學習完函數的奇偶性后，可應用奇偶函數的概念來構造分段函數，假定（基本函數），那么、分別對應著奇、偶函數，進入繪圖視圖可以清晰地發現其圖象的對稱性，而進入CAS系統查看解析式，恰可以從解析式的構造中看出圖象對稱性的“端倪”，最關鍵的是這樣的場景恰可以通過修改基本函數的表達式得到復制和再現．

拓展推廣類實驗則多體現在從課本內到課本外的延展學習上，如一些圓錐曲線命題的探源推廣研究，在限定或放寬某些條件下，通過對其結論的變與不變性的探索和建構，從而得出更具有一般意義下的規律和法則；當然也有一些現實生活中的問題解決，從數學模型的建立到性能的預測，從算法的設計到規律的探求等，都可將HP Prime作為理想的認知工具，看以往只能“想象”的數學，“做”以往不能做的數學，為學生學習數學的形式和空間帶來新的氣象和新的內涵．

圍繞微實驗設計原則，從微實驗的分類入手，或深入教材挖掘素材，或立足史實追本溯源，或命題推廣尋求解釋，或歸納演繹流程再造，不同類型的微實驗有著不一樣的開發路徑，在回應當下實驗資源匱乏的實踐需求的同時，也為數學微實驗在課堂教學中實現常態化實施提供有力保障．

6 討論與結論

既往的數學實驗的研究多從宏觀層面探討數學實驗的教育價值、方法涵義、實施路徑，距離課堂教學的日常較遠．而從微觀立足，則可回應數學實驗常態化教學實施需求．數學微實驗（類似于片段式實驗）更多地強調實驗進程的短（實驗時間）、平（操作簡易）、快（實驗見效），以移動可視技術為工具，支持隨時隨地的實驗和分享，往往聚焦于某個數學知識點（重點難點疑點）或教學環節，為學習者提供碎片化、移動化的探究體驗的同時，可以方便地嵌入、融合到原有的教學流程中．

可以說微實驗的價值即在于“微”，因為“微”而可以隨時隨地的實驗和分享，因為“微”而可以與現有的教學環節互融共通．當然數學實驗走進課堂帶來的是愈加復雜的教學境脈，如何在“做”的過程中引導學生“想”，如何將微實驗教學契入融通于既有的教學流程中，包括具體的實施措施和評價標準等的制定等，還存在諸多的困惑，需要更加微觀深入的研究和探討．但數學微實驗就是落細、落實數學核心素養培育的不可或缺的“槳”，基于HP prime平臺，開發、設計、實施數學微實驗，在親歷問題的發現、方法的形成、知識體系的構建過程中，領悟數學問題的探究方法，由“學會”變成“會學”，需要有數學教育專家的引領、數學教研工作者的助推，更需要廣大一線數學教師的自身實踐．

微實驗的設計原則和開發途徑包括：借助Hp prime平臺，以可操作、過程性、再創造、拓展性為原則，設計并開發情境創設、現象挖掘、原理探究、方法發現、解釋構造、拓展推廣等3類6種微實驗．

[1] 喻平．數學實驗的教育價值[J]．江蘇教育（中學教學），2016，（3）：19-21．

[2] 周瑋．融數學實驗于高職數學教學的實踐與研究[J]．數學教育學報，2010，19（6）：79-81．

[3] 朱長江，郭艾，楊立洪，等．數學技術實驗教學體系的構建與實驗內容的設計[J]．數學教育學報，2016，25（1）：28-30．

[4] 高潔，周瑋．在高等數學課程中開展數學實驗教學的探索與研究[J]．數學教育學報，2015，24（3）：86-90．

[5] 喻平，董林偉，魏玉華．數學實驗教學：靜態數學觀與動態數學觀的融通[J]．數學教育學報，2015，24（1）：26-28．

[6] 吳紹兵，于明．關于課堂教學圖形計算器使用恰當性的研究[J]．數學教育學報，2009，18（2）：59-62．

[7] 劉軍彪．充分利用hp39gs優勢提高教學有效性[J]．數學教育學報，2009，18（2）：66-68．

[8] 董林偉，孫朝仁．初中數學實驗的理論研究與實踐探索[J]．數學教育學報，2014，23（1）：20-25．

[9] 董林偉，郭瑞娟．豐富感知建立表象發展想像——例談數學實驗的教學功能[J]．中學數學教學參考（中旬），2015，（4）：63-65．

[10] 張志勇．邁開步，往前走：當下開展數學實驗的實施建議[J]．教育與裝備研究，2017，（1）：45-48．

Design Principle and Development Approach of Mathematical Micro Experiment in Middle School——Based on HP Prime Platform

ZHANG Zhi-yong

(No. 5 Middle School of Changzhou City, Jiangsu Changzhou 213001, China)

The change from teaching in the perspective of intelligence to the conscious cultivation of core literacy was inseparable from the soil of mathematics experiment. The mathematical micro experiment (similar to episodic experiment)put more emphasis on the short (experimental time), flat (simple operation) and fast (fast feedback) process, adopting mobile visual technology as a tool, supporting experiment and sharing at all times and places and often focused on mathematical knowledge (key and difficult point) or teaching procedure. It provided learners with fragmentation and mobilized experience, and could be easily embedded to the original teaching process meanwhile. As a mathematical verification, understanding or exploratory activity characterized by actual operation, the mathematical micro experiment supports the experiment and sharing anytime and anywhere. With the help of Hp prime platform, we could design and develop three categories and six kinds of micro experiments, such as scenario creation, phenomenon excavation, principle inquiry, method discovery, explanation construction, expansion and promotion, under the principles of operability, processability, re-creation and extensibility.

mathematical micro experiment; graphics calculator; mobile laboratory; core literacy

[責任編校：周學智]

G630

A

1004–9894（2017）04–0025–05

2017–02–09

江蘇省教育科學“十二五”規劃2015年度重點課題——高中數學可視化教學的實踐研究（B-a/2015/02/010）；全國教育信息技術研究“十二五”規劃2015年度課題——基于手持技術的高中數學可視化教學的實踐研究（152732803）

張志勇（1974—），男，江蘇江都人，中學高級教師，教育碩士，主要從事中學數學教育教學及信息技術與數學學科的整合研究．