抓住本質 自然呈現

葉巧飛

1.教材分析

本節課選自北師大版《必修四》課本“單位圓與任意角正弦、余弦函數的定義”一節。學生在初中時學習了銳角三角函數，在《數學1》（必修）中已經學習了各類函數，三角函數是高中階段學習的最后一個基本初等函數。借助單位圓去理解任意角的正弦、余弦的定義，為后面的三角函數誘導公式、三角函數的圖像與性質奠定認知基礎，并讓學生從中體會三角函數的變化之美。

2.教學目標

2.1知識與技能：掌握任意角的正弦、余弦函數的定義，能從函數觀點理解三角函數。

2.2過程與方法：通過單位圓與角的終邊的交點坐標關系，探討任意角的三角函數值的規律，最終得到任意角三角函數的定義。

2.3情感態度與價值觀：通過學生積極參與知識的發現與形成過程，加深由特殊到一般以及數形結合的數學思想的理解，從中感悟數學的美。

3.教學設計

3.1創設情境

教師：唐代詩人王之渙的《登鸛雀樓》如今仍被我們傳誦，“欲窮千里目，更上一層樓”告訴我們只有站的高才能看的遠的生活哲理。數學的學習，亦是如此。在初中，我們已經學習了銳角三角函數，那么高中角的概念推廣之后，任意角的三角函數該如何定義呢？

設計意圖：從詩詞的意境引入，創設問題情境，揭示主題——研究任意角的三角函數定義，讓學生產生思考，暗示任意角的三角函數與初中的銳角三角函數相關，但是研究的角度卻比初中站得更高。

3.2復習鞏固

教師：初中學習的銳角三角函數，正弦、余弦函數是如何定義的？借助了什么幾何圖形？

學生：借助了直角三角形。

教師：很好，銳角三角函數的定義本質是“邊之比”。在高中我們已經學習了函數，請同學們思考交流一下，初中三角函數的定義是否滿足高中定義下的函數？

學生：不是。高中定義的函數是一個從數集到數集的映射，但是銳角三角函數以銳角為自變量，銳角構成的集合不是數集。

教師：非常好，這也是高中引入“弧度制”的原因，弧度制使角和實數建立了一一對應的關系，弧度制下角構成的集合與實數集相對應，滿足了高中對函數的定義。

設計意圖：站在高中函數的角度審視初中已經學過的銳角三角函數，指出引入弧度制的必要性，使學生能知其然并知其所以然。

教師：銳角三角函數中的“銳角”是我們高中角的概念的推廣中的哪一類型的角？

學生：第一象限的角。

教師：學了角的概念的推廣，我們對角的認識與初中學的角有什么不同？

學生：角有正角、負角、零角。

學生：角是由射線旋轉得到的。

學生：角是放在直角坐標系中研究的，這樣對角的研究轉化為對角的終邊的研究。

學生：根據角的終邊落在坐標系中的不同位置，又學習了四個象限角和坐標軸上的角。

教師：以上是我們高中學習的任意角，那么任意角都有三角函數嗎？如果有，我們應該如何定義？

學生：第一象限角中的銳角可以利用初中學過的銳角三角函數，構造出直角三角形來進行研究。

教師：如何構造直角呢？

學生：在角的終邊上任取一點，

過點作軸的垂線交于點，得到如右圖：

教師：取角的終邊上不同點對三角函數值有影響嗎？

學生：沒有，因為根據三角形的相似性，可得比值不變。

教師：既然可以任意取，那么為了研究的簡單，我們取時的點，此時，三角函數值就變成了終邊上點的縱坐標，橫坐標的數值。在幾何畫板中，研究任意角可以用任意角的終邊，追蹤點的軌跡得到一個單位圓，即點可以看作是角的終邊和單位圓的交點。

教師：上述式子是否具有函數關系？

學生：是，因為對于任意的角（弧度制）與單位圓都有唯一對應的一個交點坐標值與之相對應。

設計意圖：“授之以魚，不如授之以漁。”通過復習，引導學生利用已有的知識和方法研究新的問題。前一節在直角坐標系中研究任意角，引導學生研究任意角的三角函數需要以直角坐標系為工具。既要借助直角坐標系來研究，又要借鑒銳角三角函數的定義，因此選擇第一象限角是銳角的情況來研究任意角，體現了從特殊到一般的數學思想。

3.3概念呈現

教師：若角的終邊落在其他象限或坐標軸呢？初中借助直角三角形的邊之比已經無法研究了，但是我們發現：無論角的終邊落在哪里，其與單位圓的交點都存在，也就是說，任意角的三角函數值必然存在。

因此，任意角的正弦、余弦函數定義如下：

如下圖，設角是任意角，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，我們把點的縱坐標定義為角的正弦函數，記作；點的橫坐標定義為角的余弦函數，記作。

教師：提到函數，優先考慮定義域，那么正弦、余弦函數的定義域是什么呢？請大家觀察幾何畫板動態演示過程。

學生：定義域都是R。

教師：正弦、余弦函數的值域是什么呢？

學生：值域都是[-1，1]。

教師：《必修1》中函數的一般形式為y=f（x），所以正弦、余弦函數的一般形式可以記作：正弦函數：y=Asin（ωx+φ）

余弦函數：y=Acos（ωx+φ）+b

設計意圖：使新學習的三角函數與《必修1》學習的函數之間建立聯系，既是對舊知識的復習，又是對新知識的學習，使學生的認知得到統一。

3.4歸納總結

（1）知識：任意角的正弦、余弦函數值本質上是單位圓與角終邊交點的縱、橫坐標值。

（2）思想方法：借助直角坐標系，單位圓來研究三角函數，讓學生體會數形結合的思想；正弦、余弦函數的定義由第一象限的銳角推廣到任意角，讓學生體會由特殊到一般的思維過程。endprint

3.5結束語

唐詩宋詞是中華五千年文化的精髓，宋代詩人蘇軾的《題西林壁》相信大家耳熟能詳。“橫看成林側成峰，遠近高低各不同”這句詩告訴我們：觀察事物的角度不同，就會看到不一樣的結果。要想認清事物的本質，需學會從多角度去看，從不同的高度去看。

設計意圖：再用古詩，首尾呼應，使數學學習不再枯燥，與詩詞相輔相成，生活哲理不僅適用于生活，也適用于數學，揭示了本節課的知識是站在初高中不同的角度來學習的。

4.教學反思

4.1教學要注重自然生長

教學不僅是要教會學生知識，還要教會學生如何學習，教會學生認識數學規律方法的產生過程，即“知其然也知其所以然”。在本節課中，在初中是借助直角三角形來研究銳角三角函數的，它的本質是邊長之比。其次，用高中的函數概念來審視初中的銳角三角函數，讓學生體會到引入弧度制的必要性。之后，回顧了高中對角的概念的推廣及研究方法，引導學生借助直角坐標系研究任意角的三角函數，先借助直角三角形探究第一象限的銳角，并將該定義推廣到其他象限或坐標軸，讓學生體會從特殊到一般的數學思想。這樣，在新知識的學習過程中，既完成了教學任務，讓學生學會了知識，又教會了學生解決未知問題的方法，也培養了學生恰當使用數學方法的意識。因此，在教學中我們要做到：知識的引入要自然，知識的過渡要自然，知識的發生發展要自然，解題的方法也要自然。

4.2教學要關注學生主體

在課堂教學中，教師具有主導作用，而學生是課堂的主體，教師要積極調動學生的思考積極性，引導學生如何思考，如何解決問題。本節課，教師提出了一系列的問題，引導學生尋找思考的方向，通過師生互動，生生互動讓學生充分理解所學的知識，知識產生的過程以及研究的方法和思想，對任意角的正弦、余弦函數的定義形成完整的認知結構。

4.3教學要挖掘數學之美

三角函數是一類描述周期運動現象的數學模型，本節課中利用幾何畫板進行動態展示，讓學生能欣賞到數學之美，使學生能夠熱愛數學，激發學習數學的興趣。本節課中，教師引導學生體會數形結合的無限魅力，比如銳角三角形的定義借助的是直角三角形，任意角的三角函數定義借助了直角坐標系，當選取時，任意角的正弦、余弦函數值對應的點的軌跡是一個單位圓，它有著很好的對稱之美。在本節課的教學過程中，教師對學生積極、中肯的評價，學生自發的掌聲，都體現了人性之美和人文關懷，很好的提升了學生的學習熱情。

【參考文獻】

[1]莊炯林.螺旋探究 自然呈現——任意角的三角函數的教學設計[J].中學數學，2015（13）：13-15

[2]易中建.數學教學應堅持的“基本原則”[J].中學數學教學參考，2016（Z1）：34-37endprint