基于隨機(jī)微分方程的含風(fēng)電電力系統(tǒng)研究綜述

孫元存+劉三明+劉劍+曹天行

摘 要：隨著大規(guī)模風(fēng)電與其他新能源廣泛接入電網(wǎng)，由于風(fēng)電功率或其他分布式電源功率的隨機(jī)波動(dòng)，帶來(lái)的一系列的隨機(jī)性問(wèn)題不可忽視。為此，文章首先概括分析了基于隨機(jī)含風(fēng)電電力系統(tǒng)分析的研究現(xiàn)狀，進(jìn)而總結(jié)了含風(fēng)電電力系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型的構(gòu)建，隨后概括了一些隨機(jī)積分的數(shù)值解法用于求解電力系統(tǒng)隨機(jī)模型動(dòng)態(tài)響應(yīng)，最后對(duì)于數(shù)值解作電力系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定性分析。

關(guān)鍵詞：風(fēng)電；電力系統(tǒng)；隨機(jī)激勵(lì)；穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)：TM74 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2017）24-0034-02

引言

隨著風(fēng)電等大規(guī)模新能源并網(wǎng)，傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)的特性在高階、非線性特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，隨機(jī)性也變得不可忽略。傳統(tǒng)電力系統(tǒng)確定性的模型也不能適用隨機(jī)電力系統(tǒng)，而又由于隨機(jī)微分方程理論的擴(kuò)展，使得隨機(jī)電力系統(tǒng)領(lǐng)域的發(fā)展有了十足的進(jìn)步。本文從電力系統(tǒng)隨機(jī)性、電力系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型、電力系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)及求解和電力系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定等4個(gè)方面做出相關(guān)說(shuō)明。

1 電力系統(tǒng)隨機(jī)性

隨著電力電子技術(shù)，新能源，隨機(jī)負(fù)荷等不斷加入，現(xiàn)代電力系統(tǒng)表現(xiàn)出來(lái)的特點(diǎn)越來(lái)越復(fù)雜多樣，而在復(fù)雜動(dòng)態(tài)的隨機(jī)系統(tǒng)中，隨機(jī)因素的影響不能忽略。根據(jù)隨機(jī)因素的來(lái)源的不同，將電力系統(tǒng)的隨機(jī)性主要分為3類[1]：

1.1 初值的隨機(jī)性

初值的隨機(jī)性是指系統(tǒng)進(jìn)行了最后一次操作之后的初值，因?yàn)楣收系脑颍绷饔?jì)算前需要確定初值。初值的隨機(jī)性可以用概率論方法來(lái)解決，可以假設(shè)參數(shù)服從某一分布，計(jì)算電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的概率。

1.2 參數(shù)的隨機(jī)性

參數(shù)隨機(jī)性主要指設(shè)備參數(shù)的變化，往往因?yàn)橄到y(tǒng)運(yùn)行方式的改變或者是系統(tǒng)模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)的改變。參數(shù)隨機(jī)性可以用概率論方法來(lái)解決，可以假設(shè)參數(shù)服從某一分布，分析求解出對(duì)應(yīng)的軌跡。

1.3 外部激勵(lì)的隨機(jī)性

外部激勵(lì)的隨機(jī)性產(chǎn)生的原因比較復(fù)雜，用戶側(cè)的隨機(jī)負(fù)荷，風(fēng)電等新能源大規(guī)模并網(wǎng)以及互聯(lián)系統(tǒng)中受到外部干擾等。外部激勵(lì)隨機(jī)性可用隨機(jī)微分方程來(lái)解決，而且此種情況比較普遍，但研究成果卻不多，因此具有極大的研究意義。

2 電力系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型

傳統(tǒng)的Riemann積分是確定性的微分方程，要想將傳統(tǒng)的微積分?jǐn)U展到隨機(jī)過(guò)程，此時(shí)需要借助于伊藤積分，這樣常微分方程就擴(kuò)展到隨機(jī)微分方程。其表述為[14]：

dX（t）=f（X（t），t）dt+G（X（t），t）dB（t） （1）

2.1 系統(tǒng)模型

目前有學(xué)者在一般假設(shè)情況下，假設(shè)隨機(jī)波動(dòng)為高斯型過(guò)程，建立了單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)機(jī)電暫態(tài)隨機(jī)過(guò)程模型；而對(duì)于兩機(jī)模型和多機(jī)模型，在一般假設(shè)情況下，隨機(jī)過(guò)程模型可表示為在電機(jī)搖擺方程右側(cè)加上隨機(jī)激勵(lì)，在強(qiáng)假設(shè)情況下，隨機(jī)過(guò)程模型可表示為單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)電機(jī)搖擺方程右側(cè)加上多個(gè)隨機(jī)激勵(lì)，并且利用仿真算例進(jìn)行應(yīng)用計(jì)算[2]。

對(duì)于不同的發(fā)電機(jī)模型，可以選擇不同電氣量作為狀態(tài)變量，帶入到隨機(jī)微分方程模型中，文獻(xiàn)[3]選擇了簡(jiǎn)單的2階同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程，選取了同步發(fā)電機(jī)功角和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速作為狀態(tài)變量，在單機(jī)和多機(jī)系統(tǒng)模型中分別做仿真驗(yàn)證。

2.2 風(fēng)電系統(tǒng)模型

對(duì)于隨機(jī)風(fēng)機(jī)模型的建立，目前起步于異步機(jī)的建模，慢慢擴(kuò)展到雙饋異步機(jī)的建模，文獻(xiàn)[4]將異步機(jī)簡(jiǎn)化成3階線性狀態(tài)方程，選取3個(gè)狀態(tài)變量，并結(jié)合經(jīng)典3階同步機(jī)狀態(tài)方程，組成了6階線性隨機(jī)微分方程組做求解。文獻(xiàn)[5]將風(fēng)機(jī)的機(jī)械功率作為隨機(jī)激勵(lì)源，建立含風(fēng)電電力系統(tǒng)的隨機(jī)微分代數(shù)方程模型，選取了6個(gè)變量作為狀態(tài)變量，并且模擬故障下系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)。文獻(xiàn)[6]建立了含雙饋異步機(jī)的電力系統(tǒng)模型，通過(guò)分析軸系模型、感應(yīng)異步機(jī)模型、變流器模型、變流器控制模型以及接口方程等，建立含雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)15階的電力系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型。

3 電力系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)及求解

對(duì)于大多數(shù)的隨機(jī)微分方程，其解析式是不能求得的，只能通過(guò)數(shù)值積分的方法獲得解過(guò)程的軌跡，從而逼近精確解。常見(jiàn)的數(shù)值積分法有Euler-Maruyama（EM）法、Milstein法、Heun法和Runge-Kutta（RK）法[6]。EM算法是目前最簡(jiǎn)單的求解隨機(jī)微分方程的數(shù)值解法，但EM算法的穩(wěn)定性比較差，相對(duì)而言其他幾種算法的穩(wěn)定階數(shù)比較高，收斂性較高。

3.1 線性系統(tǒng)

一般地，不同的計(jì)算步長(zhǎng)、激勵(lì)強(qiáng)度和激勵(lì)步長(zhǎng)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量的穩(wěn)定性影響各不相同，合理的選擇這些量的值對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著極其重要的影響。文獻(xiàn)[7]將電力系統(tǒng)中的隨機(jī)因素看作是隨機(jī)激勵(lì)，并進(jìn)一步近似為高斯白噪聲。分別分析了計(jì)算步長(zhǎng)、激勵(lì)強(qiáng)度和激勵(lì)步長(zhǎng)對(duì)系統(tǒng)功角的影響，給出了合適的計(jì)算步長(zhǎng)的值，提出將功角的平均值作為判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的標(biāo)準(zhǔn)，并得到不同激勵(lì)步長(zhǎng)下系統(tǒng)自然振蕩頻率一致的結(jié)論。

還有一些學(xué)者仿真得到臨界激勵(lì)強(qiáng)度，不同的系統(tǒng)對(duì)應(yīng)著不同的臨界激勵(lì)強(qiáng)度，如文獻(xiàn)[8]得到臨界的隨機(jī)激勵(lì)為0.77，

超過(guò)臨界的隨機(jī)激勵(lì)，系統(tǒng)就會(huì)失穩(wěn)。

3.2 非線性系統(tǒng)

非線性隨機(jī)系統(tǒng)比線性隨機(jī)系統(tǒng)復(fù)雜的多，一般的數(shù)值解法無(wú)法直接求解，這時(shí)候需要將其線性化，再借助數(shù)值解法。還有一些學(xué)者從能量的角度出發(fā)，文獻(xiàn)[9]借助擬哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法，將多機(jī)電力系統(tǒng)的隨機(jī)模型借助系統(tǒng)的能量函數(shù)，構(gòu)建電力系統(tǒng)擬哈密頓方程，然后通過(guò)隨機(jī)平均法求解析式。文獻(xiàn)[10]分析無(wú)法合理的構(gòu)建Lyapunov函數(shù)，判斷Lyapunov原理難以解決隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故借助Hamilton原理，構(gòu)建包括隨機(jī)激勵(lì)的Hamilton函數(shù)，通過(guò)Hamilton動(dòng)態(tài)方程來(lái)分析系統(tǒng)的解。

4 電力系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定

傳統(tǒng)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到擾動(dòng)后，恢復(fù)到原來(lái)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)，或者達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)的能力。但是傳統(tǒng)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析都是在確定性條件下進(jìn)行的，進(jìn)一步的電力系統(tǒng)概率穩(wěn)定性分析考慮了系統(tǒng)中的故障擾動(dòng)的隨機(jī)性，補(bǔ)充了傳統(tǒng)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的不足，但卻忽略了隨機(jī)激勵(lì)等隨機(jī)因素。endprint

而隨機(jī)穩(wěn)定性對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)是極其重要的，它不能僅僅像確定性微分方程選一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)作為判定標(biāo)準(zhǔn)，目前基于隨機(jī)穩(wěn)定性指標(biāo)有很多[11]，這里給出一些。

特別注意的是，當(dāng)P=1時(shí)，代表系統(tǒng)均值穩(wěn)定；當(dāng)P=2時(shí)，代表系統(tǒng)均方差穩(wěn)定。

文獻(xiàn)[12]研究了隨機(jī)激勵(lì)擾動(dòng)下非線性電力系統(tǒng)中功角和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的軌跡曲線，證明了在小干擾穩(wěn)定下，非線性電力系統(tǒng)的均值和均方穩(wěn)定性，并研究了在不同激勵(lì)強(qiáng)度下發(fā)電機(jī)功角曲線。文獻(xiàn)[13]推導(dǎo)證明了電力系統(tǒng)在高斯型隨機(jī)小激勵(lì)下的穩(wěn)定性，只要保證合適計(jì)算步長(zhǎng)的取值，數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性就可以保證。該論文又進(jìn)一步證明了均值和均方穩(wěn)定性，表明只要系統(tǒng)是處于小干擾穩(wěn)定的狀態(tài)，那么在高斯型小激勵(lì)的作用下，系統(tǒng)是均值穩(wěn)定和均方穩(wěn)定的。

5 結(jié)束語(yǔ)

隨機(jī)電力系統(tǒng)的研究具有重要的理論和實(shí)踐意義，本文從4個(gè)方面總結(jié)了其研究?jī)?nèi)容，電力系統(tǒng)隨機(jī)性、電力系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型、電力系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)及求解和電力系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定。電力系統(tǒng)的隨機(jī)性不能忽略，需要深入研究。

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