基于分段線性非飽和隨機共振的機械早期故障診斷方法研究

段佳雷

（西安工程大學，陜西西安710600）

基于分段線性非飽和隨機共振的機械早期故障診斷方法研究

段佳雷

（西安工程大學，陜西西安710600）

針對大型機械設備運行環境惡劣、故障特征難以提取的問題，提出一種基于分段線性雙穩態勢函數模型的非飽和隨機共振方法。該方法通過分段線性化的勢函數代替經典的雙穩態勢函數，然后利用頻移尺度變換實現機械設備振動信號的小參數化，使其滿足隨機共振系統的輸入條件；最后，將系統輸出信號的信噪比作為遺傳算法的目標函數，優化非飽和隨機共振系統參數，實現機械設備早期故障特征的增強與提取。仿真分析表明該方法可以有效地提取淹沒在強噪聲背景下的微弱故障沖擊特征，而且軸承實驗證明提出的方法能夠有效增強與提取故障特征頻率。仿真與實驗結果進一步表明提出的方法優于經典雙穩態隨機共振方法，不僅能夠獲得高的輸出信噪比，而且在特征頻率處具有更高的幅值。以上優點歸功于提出方法不僅克服經典雙穩態隨機共振系統的內在輸出飽和問題，而且利用遺傳算法實現系統與輸入信號之間的最佳匹配。

非飽和隨機共振；故障特征提取；信噪比；早期故障診斷

0 引言

隨著科學技術的發展，機械設備朝著高、精、尖方向發展，致使設備結構愈來愈復雜，而且其惡劣的運行環境，導致故障特征遭受傳遞路徑影響極其微弱，通常被淹沒在強背景噪聲中，因此機械設備故障難以提取與診斷。于是，早期故障特征提取一直是大型機械設備故障診斷中的關鍵難題[1-2]。

信號處理作為故障特征提取的一把利器，廣泛應用于機械故障診斷。然而，大多數信號處理方法以消除信號中的噪聲為目的，從而實現早期故障特征的提取[3]；而意大利學者Benzi等[4]發現的隨機共振方法能夠利用噪聲實現微弱特征的增強與提取，從而廣泛應用于通信信號處理[5]、圖像增強[6]、機械故障診斷等[7]領域。焦尚彬等[8]應用經典雙穩態隨機共振，實現了多頻微弱特征的增強與提取；潘崢嶸等[9]基于經典雙穩態隨機共振系統輸出信號的符號序列熵指標作為優化算法的目標函數，實現了軸承早期故障診斷；Lei等[10]基于頻移尺度變換利用經典雙穩態隨機共振方法實現了行星齒輪箱太陽輪斷齒、缺齒的故障類型判別；Klamecki[7]利用經典雙穩態隨機共振增強與提取旋轉機械的故障特征；Barbini等[11]基于耦合的經典雙穩態隨機共振系統，實現了噪聲的再次利用和微弱正弦信號的深度增強與提取；Qiao等[12]表明經典雙穩態隨機共振系統存在內在飽和問題，從而限制了隨機共振的增強性能，為了解決該問題，通過對經典雙穩態勢函數的勢阱壁進行線性等效，擴展了粒子運動路徑，并基于該模型提出了非飽和隨機共振方法實現了軸承和齒輪箱的故障診斷。

綜上所述，已有隨機共振方法主要聚焦在經典隨機共振的改進和應用上，其經典雙穩態勢函數的陡峭勢阱壁限制了布朗粒子的運動路徑，致使系統輸出陷入局部飽和狀態，從而使經典雙穩態隨機共振系統的增強性能受限。受到文獻[12]的啟發，針對這一問題，建立了一個新的分段雙穩態勢函數模型，并基于絕熱近似理論推導了其輸出信噪比表達式；其次，基于建立的模型提出了非飽和隨機共振新方法，該方法利用遺傳算法優化非飽和隨機共振的系統參數，獲得最佳隨機共振系統并實現機械早期故障特征的增強與提取。仿真和實驗結果表明，提出的方法優于經典隨機共振方法，能夠獲得較大的輸出信噪比而且在故障特征頻率處擁有更高的幅值。

1 經典雙穩態隨機共振

受隨機噪聲和周期外力激勵的布朗粒子在經典雙穩態勢阱中的躍遷運動可以由郎之萬方程描述[13]為

其中A，Ω分別表示微弱周期信號的幅值和角頻率；η（t）是高斯白噪聲，且滿足以下統計特性：

其中D是噪聲強度。U（x）是經典雙穩態勢函數：

其中a和b都是大于0的系統參數。

為了直觀地解釋經典雙穩態隨機共振系統的輸出飽和問題，當a=b=1時圖1給出了在不同輸入信號幅值A情況下經典雙穩態隨機共振系統的輸出，可以看出隨著系統輸入幅值A的增加，系統輸出信號的幅值變化緩慢，逐漸陷入局部飽和狀態，表明經典隨機共振系統的增強能力遭受經典雙穩態勢函數的陡峭勢阱壁限制。因為陡峭的勢阱壁使布朗粒子運動到某側勢阱壁時受到較大的反向勢力，促使粒子快速向另一側勢阱壁運動，如此往復，則布朗粒子的運動路徑被完全限制在勢阱的局部范圍內，難以實現較大幅度的躍遷。

2 分段非飽和雙穩態隨機共振

受文獻[12]的啟發，為了進一步避免經典雙穩態隨機共振的輸出飽和問題，經典雙穩態勢函數被線性化為分段雙穩態勢函數：

圖1 經典雙穩態隨機共振系統的輸出信號

式中：x——系統響應，其本質是布朗粒子在隨機力η（t）和周期外力AcosΩt激勵下，在勢函數U（x）中的運動軌跡；

U0、L0——分段雙穩態隨機共振系統參數，且其均大于0。

為了合理對比，取U0=L0=1使得分段雙穩態勢與經典雙穩態勢具有相同的阱寬和壘高，圖2呈現了在不同幅值的周期激勵下分段雙穩態隨機共振系統的輸出信號，可以看出隨著周期激勵的幅值逐漸增加，分段雙穩態隨機共振系統輸出信號的幅值成倍放大。對比圖1與圖2可以發現分段雙穩態隨機共振系統具有更好的信號增強與放大能力，不會陷入飽和狀態。這是因為分段雙穩態勢函數具有線性化的勢阱壁，隨著系統輸入的增大，勢阱壁的陡度保持為±U0/L0，且其與系統響應x的變化無關；相反由于經典雙穩態勢中x4的存在，當系統響應x＞1時經典雙穩態勢的勢阱壁的陡峭度成倍增大，致使粒子運動陷入局部飽和狀態。

假設ρ（x，t）是分段雙穩態隨機共振系統響應x的統計概率密度函數，則分段雙穩態隨機共振系統對應的福克-普朗克方程[14]為

圖2 分段雙穩態隨機共振系統的輸出信號

假定初始的概率分布滿足絕熱近似理論，即假定t=0時刻概率分布集中于某一勢阱時：

式中xs=L0是勢函數U（x）的極值點。

假設概率流不隨時間變化，即?ρ（x，t）/?t=0，對方程式（5）進行積分可得穩定解：

其中J表示定態流的強度。對于式（7），它的定態解為

式中N為歸一化常數。

同理，式（5）的齊次解為

取ρ（x，t）=N·exp（-U（x）/D），則得：

那么在t時刻處于（-∞，A）區間內的總概率為

由于J為概率流出這一區域的速率流，所以在穩態下，再結合式（11）得到：

式中M（t）=M（0）exp（-Rt），而且：

式中R表示概率流入不穩定區的速率，該速率被稱為Kramers逃逸速率[15]。由于D〈〈1，式（14）中的兩個積分均可求出，前一積分的貢獻主要來自穩定點的鄰域，而后一積分的主要貢獻來自不穩定點的鄰域。因此，分段線性系統中兩勢阱之間的概率躍遷速率為

在A〈〈1，D〈〈1的條件下，可以求得：

分段雙穩態勢函數具有對稱性，故R--1（t）=R+-1（t），從而分段雙穩態隨機共振系統的Kramers逃逸速率為

通常采用輸出信噪比SNR來衡量系統的隨機共振效果，其定義為輸出噪聲功率與信號功率之比。因此分段雙穩態隨機共振系統輸出信噪比表達式為

圖3展示了分段雙穩態隨機共振系統輸出信噪比與周期激勵力幅值、系統參數以及噪聲強度之間的關系。從圖3（a）可以看出，隨著噪聲強度的增加，輸出信噪比呈現單峰結構，這一特點表明了隨機共振現象的發生。此外，較大的周期激勵力幅值有助于系統輸出信噪比的改善。而圖3（b）和圖3（c）呈現了輸出信噪比與系統參數L0和U0之間的關系，可以發現通過調節系統參數能夠控制隨機共振系統的輸出，從而最佳地增強微弱信號或機械早期故障特征，這是因為系統參數決定了勢壘的高度和勢阱的寬度，而這些參數決定了周期外力與噪聲之間的協同程度。

基于以上理論分析，提出了一個分段線性非飽和隨機共振機械故障診斷方法，具體步驟如下：

1）信號預處理。由于軸承等故障特征通常受轉速信息的調制，因此希爾伯特變換被用于解調故障信號，求取相應的包絡信號。然后，采用頻移尺度變換壓縮求得的包絡信號，使其滿足隨機共振的小參數輸入條件。

2）目標函數計算。將步驟1）中經過頻移尺度變換后的包絡信號輸入分段雙穩態隨機共振系統，并利用四階龍格庫塔方法求解郎之萬方程，獲得隨機共振系統的響應，依據式（19）計算系統輸出信噪比作為遺傳算法的目標函數[16]。

圖3 分段雙穩態隨機共振系統輸出信噪比與周期激勵、系統參數之間的關系

式中：Ad——分段雙穩態隨機共振系統輸出信號在特征頻率處的幅值；

Ai——輸出信號頻譜中每根譜線的幅值；

N——系統輸入尺度變換后包絡信號的長度。

3）優化更新。初始化系統參數的搜索范圍為L0∈（0，10]和U0∈（0，10]，并初始化遺傳算法參數，具體參見文獻[17]。依據每個搜索節點的信噪比大小進行更新、優化，最終將公告板最佳記錄輸出，即最佳輸出信噪比SNRbest和最佳系統參數對（L0，U0）best。

4）機械故障特征提取。將最佳系統參數對（L0，U0）best代入分段雙穩態隨機共振系統形成最后的優化系統，并將移頻尺度變換后的機械故障振動信號包絡輸入該優化系統，利用四階龍格庫塔算法求解該分段雙穩態隨機共振系統的輸出信號，對該輸出信號進行傅里葉變換提取微弱特征，并實現機械設備的早期故障特征提取。

3 仿真分析

為了驗證提出方法的有效性，一個頻率65 Hz、沖擊幅值為1的單邊衰減沖擊信號被淹沒在的高斯白噪聲中，采樣頻率為10kHz，采樣時間為1s。圖4（a）給出了沖擊特征和噪聲混合信號的時域波形，可以看出模擬的軸承外圈故障沖擊特征被強噪聲所淹沒，難以辨別；圖4（b）和圖4（c）分別展示了該混合信號的頻譜和包絡譜，從頻譜可以看出在1 000 Hz頻率處存在微弱的共振頻帶，而包絡譜中很難發現65Hz故障特征頻率。同時，根據信噪比公式（19）計算得到其包絡信號的信噪比為-28.9764dB，可見信噪比極低。

圖4 待檢混合信號

首先，經典雙穩態隨機共振方法被用于處理圖4（a）所示的混合信號，設置高通濾波器的通帶截止頻率和阻帶截止頻率分別為56Hz和60Hz，頻移尺度變換的頻移因子為56 Hz，尺度因子為200，壓縮后的特征頻率為（65-56）/200=0.045〈〈1 Hz，滿足絕熱近似下隨機共振的小參數限制。利用遺傳算法優化得到的最佳增強與提取結果如圖5所示，可以看出特征頻率65Hz在整個頻譜中被突出，而且時域特征具有明顯的周期特性。但是，在時域波形和頻譜中仍然存在很強的噪聲干擾，計算得到特征頻率幅值和增強后信號的信噪比分別為0.07352mV和-15.3735dB。此外，在特征頻率65Hz周圍存在很強的噪聲干擾頻率。

圖5 經典雙穩態隨機共振方法的增強提取結果

圖6 提出的分段線性非飽和隨機共振方法的增強提取結果

同樣，當L0=0.0983，U0=0.0218時獲得最佳的分段線性非飽和隨機共振方法增強與提取結果如圖6所示，可以看出噪聲基本被消除，時域波形具有明顯的周期特性，而且頻譜中特征頻率65Hz完全在整個頻譜中處于主導地位，干擾頻率幅值非常微弱。輸出信號特征頻率的幅值和信噪比分別為0.1574mV和-12.9449dB。對比兩種方法的增強結果，可以看出提出的方法不僅在特征頻率處獲得了最大的幅值，而且也獲得了較高的輸出信噪比，同時在特征頻率65Hz周圍有較少的噪聲干擾頻率。這一結果歸功于分段線性雙穩態勢函數克服了經典雙穩態勢的內在飽和特性，從而能最大程度地增強與提取故障特征頻率。

4 實驗驗證

滾動軸承作為旋轉機械的重要部件之一，其故障信號表現出典型的微弱沖擊特征，且通常被強烈的背景噪聲所淹沒，難以檢測與提取，尤其是軸承外圈極易發生損壞。因此，凱斯西儲大學軸承實驗數據[1]被用于驗證提出的分段線性非飽和隨機共振機械故障診斷方法。采用采樣頻率為48kHz，采樣時間為2 s，軸承轉速為1 750 r/min的驅動端深溝球軸承外圈故障數據驗證提出方法的有效性，其故障大小為0.007in（1in=2.54cm），根據軸承參數計算得到外圈故障特征頻率的理論值為fouter=104.5567Hz。含有噪聲強度為6的軸承外圈故障振動信號的時域波形、頻譜、包絡譜如圖7所示，可以看出在圖7（a）中時域波形被強噪聲所淹沒，很難發現周期性沖擊，而在圖7（c）的包絡譜中可以看到微弱的軸承外圈故障特征頻率fouter=105Hz，與理論值相差0.4433Hz小于頻率分辨率0.5 Hz，因此105 Hz是實際軸承外圈故障特征頻率，但是在整個頻譜中顯得比較微弱，且周圍分布較多的噪聲干擾頻率，難以判定是否發生早期故障，若判定無故障，可能導致漏診，甚至造成重大事故。

圖7 含噪軸承外圈故障信號

圖8 提出的分段線性非飽和雙穩態隨機共振方法增強提取結果

圖9 經典雙穩態隨機共振方法增強提取結果

首先，高通濾波器的通帶截止頻率和阻帶截止頻率分別為82Hz和100Hz、頻移因子為82、尺度因子為200，利用提出的分段線性非飽和雙穩態隨機共振方法處理圖7的含噪軸承故障信號，其隨機共振系統輸出信號的時域波形和頻譜分別如圖8（a）和圖8（b）所示。可以看出，頻譜中有清晰的軸承外圈故障特征頻率105Hz，而且其在整個頻譜中占主導地位，增強與提取結果在故障特征頻率處的幅值和信噪比分別為1.322mV與-10.0590dB。為了對比，同樣地經典雙穩態隨機共振方法被利用處理圖7的軸承外圈故障信號，其增強結果的時域波形和頻譜分別如圖9（a）和圖9（b）所示。從頻譜圖可以看出，軸承外圈故障特征頻率在整個頻譜中被突出，但周圍存在較小的噪聲干擾頻率，其增強提取結果在故障特征頻率處的幅值和信噪比分別為0.2143mV與-15.0849dB。對比增強提取結果可以發現，提出的分段線性非飽和隨機共振方法在故障特征頻率處具有更高的幅值，而且具有更高的輸出信噪比。這是因為提出的分段線性非飽和隨機共振方法克服了經典隨機共振方法的內在飽和問題，展現出更好的增強能力。軸承外圈故障實驗進一步證明了提出方法的有效性。

5 結束語

隨著機械設備朝著高精尖方向發展，其工作環境也越來越惡劣，導致獲取的信號不僅復雜多變，且信噪比極低。經典雙穩態隨機共振方法遭受內在飽和的限制，難以彰顯隨機共振的潛在增強性能。為了改善隨機共振增強能力，提出了自適應分段線性非飽和雙穩態隨機共振方法，該方法通過線性化經典雙穩態勢，獲得克服飽和問題的分段線性雙穩態勢函數，基于該勢函數模型利用遺傳算法自適應的優化系統參數，實現了參數之間的協同作用，從而能夠實現早期故障的微弱特征增強與提取。通過仿真和軸承故障實驗，表明提出的方法相比經典的隨機共振方法具有更好的增強與提取能力，有益于更低信噪比環境的微弱特征增強。然而，提出的方法難以定量描述故障的發展程度，只能定性判斷故障的有無，因此下一步工作將主要研究基于隨機共振的定量故障診斷方法，實現故障發展程度的趨勢預測。

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（編輯：劉楊）

Study on incipient fault diagnosis of machinery based on piecewise linearity and unsaturated stochastic resonance

DUAN Jialei
（Xi’an Polytechnic University，Xi’an 710600，China）

An unsaturated stochastic resonance method based on piecewise linear bistable potentials function model is proposed aiming at the problem that fault signature of large-scale mechanical equipment is hard to be extracted in hostile operation environment.Initially，the method replaces classical bistable potentials function with piecewise bistable potentials function.Second，frequencyshifted scale transform was used to transfer the vibration signals of machinery into small parameters for satisfying the input conditions of stochastic resonance.Finally，the system parameters of unsaturated stochastic resonance were optimized by using SNR of system output signal as objective function of genetic algorithms to strengthen and extract incipient fault of mechanical equipment.Simulation analysis shows that the proposed method was able to effectively extract weak fault impact characteristics overwhelmed by strong noise background，and the bearing test proves that it can be used to strengthen and extract the fault characteristics frequency.In addition，the simulation and test results further indicate that the proposed method is superior to classical bistable potentialsstochastic resonance method and it can not only obtain higher input signal-to-noise ratio but also possess higher amplitudes at the fault characteristic frequencies of bearings.The proposed method can not only overcome the inherent output saturation problem of classical bistable potentials stochastic resonance system but also achieve moreover can achieve the optimal matching between the system and input signals based on genetic algorithm.

unsaturated stochastic resonance；fault characteristic extraction；signal-to-noise ratio；incipient fault diagnosis

A

1674-5124（2017）08-0106-07

2017-02-09；

2017-03-25

段佳雷（1987-），男，陜西富平縣人，助理工程師，碩士，研究方向為基于嵌入式的信號與圖像處理、機械故障診斷、助老機器人等。

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.08.022