正則動量面面觀

徐 湛

(清華大學物理系，北京 100084)

教學研究

正則動量面面觀

徐 湛

(清華大學物理系，北京 100084)

對于帶電粒子在磁場中的運動，一個很重要的概念是粒子的正則動量不同于它的機械動量，而這一點經常被忽視或者被混淆。本文從正則動量的基本定義出發，從經典的和量子的兩方面分析了正則動量和機械動量的關系，指出正則動量才是基本的動力學變量。最后以磁鏡裝置為例說明了如何應用正則動量簡明地給出問題的答案。

磁場；矢量勢；正則動量；規范變換；磁鏡裝置

1 經典力學： 帶電粒子在磁場中的3種動量

對于帶電粒子在磁場中的運動，首先想到的當然是它的運動方程。假設粒子的質量是m，電荷是q，空間中的穩恒磁場是B(r)，那么熟知它的運動方程是

(1)

(2)

其中A(r)是磁場B(r)的矢量勢[2]，它的旋度給出了磁場

(3)

通常還假設它滿足規范條件(橫場條件)

(4)

證明如下。現在歐拉方程是

其中i,j=1,2,3(=x,y,z)并且對j求和。在此式中取i=1，那么

對于i=2,3也類似，這表明歐拉方程是

再注意到式(3)，它正是方程(1)。現在問題來了：這時的正則動量p是什么？按照分析力學的正則動量的定義[1]，它是

(5)

再過渡到分析力學的哈密頓形式(亦稱正則形式)，系統的哈密頓量是拉格朗日量的勒讓德變換，即

(6)

注意： 哈密頓量要以正則坐標和正則動量為獨立自變量。用這個哈密頓量寫出的正則運動方程

從正則運動方程很容易看出系統的對稱性與守恒量之間的關系：如果哈密頓量和某個正則坐標qi無關(這樣的坐標被稱為循環坐標)，那么與qi共軛的正則動量pi就是守恒量，因為

這里必須避免兩個誤解。第一個是把系統的對稱性認為是磁場的對稱性(比如磁場在平移、旋轉等等操作下不變)，但事實上哈密頓量里出現的不是磁場而是矢量勢，所以系統的對稱性指的是矢量勢的對稱性，不是磁場的對稱性。第二個是把守恒量當成機械動量，但事實上守恒的是正則動量，它在機械動量之外還要再加上電磁動量。實踐表明，這兩個誤解經常出現，有時候連學過高等物理的人也難以避免。

最后一個問題是規范變換不變性。熟知若矢量勢A受到規范變換

(7)

其中α是任意函數，那么磁場B并不改變：

(8)

所以運動方程也不改變。從拉格朗日量的角度說，在A的規范變換下它增加了一項對時間的全導數項，與原來的拉格朗日量雖然不相等但卻是等價的，而從哈密頓量的角度說，它在A的規范變換下完全不變。這就是理論的規范變換不變性。但是必須注意，這時正則動量是要變的，因為它的變換是

(9)

也就是說正則動量并不是規范不變量，所以它不是可觀察量。這使我們處在一個微妙的境地：當粒子在磁場中運動時，機械動量是我們實際觀察的，而正則動量雖然是基本的動力學變量卻不是可觀察的。這是理解正則動量概念的困難所在。

2 帶電粒子在勻強磁場中的平面運動

現在考慮一個最簡單的例子。設沿著+z軸方向有一個勻強磁場

(10)

而帶電粒子被限制在xy平面內運動。熟知這時粒子的運動是勻速圓周運動(同步回旋運動)。假設圓的半徑是R，粒子運動的角速度(圓頻率)是ωc，那么運動方程就是

所以

(11)

也就是說，ωc只取決于粒子的荷質比|q|/m和磁場強度B，這個頻率稱為同步回旋頻率。當然，粒子運動軌道的半徑R、圓心位置C和運動速度v是由初始條件決定的。至于粒子在軌道上的轉動方向，用矢量叉積的右手螺旋法則不難定出：從xy平面的上方向下看，q>0時粒子順時針旋轉，q<0時逆時針旋轉。

為了更深入地理解這個運動，讓我們看看粒子的3種動量。首先要為磁場B選擇一個矢量勢。不難證明可選

(12)

這是因為

而且

這稱為矢量勢的對稱規范。因而哈密頓量成為

(13)

這個哈密頓量顯然是繞z軸旋轉(也就是在xy平面上繞原點旋轉)不變的，所以粒子角動量的z分量是守恒的。問題是哪個角動量？是機械角動量嗎？不是。應該是正則角動量。注意，粒子運動軌道的圓心可能在平面上的任何一點，而如果圓心不在原點，它的機械角動量的z分量顯然不是常數。下面我們來證明：無論粒子的運動軌道的圓心在哪一點，粒子的正則角動量的z分量是守恒的。為確定起見，假設粒子就是電子即q=-e(e>0)，因而是逆時針旋轉的，軌道的圓心在rc，半徑是R，那么根據前面的分析，電子的運動是

x(t)=xc+Rcosωct,

y(t)=yc+Rsinωct

所以機械動量的分量是

電磁動量的分量是

因而正則動量的分量是

由此可知正則角動量的z分量是

它的確是常數。此外還有一件有趣的事情：按照通常的理解，當粒子做逆時針轉動時，它的角動量的z分量是大于零的，但是現在我們發現：如果rc>R，lz是小于零的。其原因在于：粒子的機械角動量的平均值總是大于零的，并且與rc的位置無關，但電磁角動量的平均值總是小于零的，并且隨著rc離開原點而變得越來越大，到后來就會壓過機械角動量而成為正則角動量的主要成分。這向我們提示了正則動量和機械動量有重要區別，在某些條件下，它們甚至可能有完全相反的特征。

前面還提到：正則動量依賴于規范的選擇。所以，“正則角動量的z分量守恒”這個結論，其實只在對稱規范下才成立，如果換一個規范的話，守恒量就是別的量了。比如我們重新選擇所謂的朗道規范

(14)

(15)

顯然，這個哈密頓量不再具有旋轉不變性，而是變為具有x方向的平移不變性(哈密頓量與坐標x無關)，因而正則動量(不是機械動量)的x分量是守恒的。驗證如下。粒子的運動仍然如前，所以它的機械動量還是一樣，然而電磁動量變為

-eAx(t)=eByc+eBRsinωct

因而正則動量的x分量是

eByc+eBRsinωct=eByc

它的確是常數。在粒子的圓周運動中卻存在著守恒的線動量，不能不說是非常新奇的事，而這也來自于正則動量不同于機械動量。

通常來說人們習慣的認識是：確定的運動有確定的守恒量。然而這個例子告訴我們：對于磁場中的帶電粒子，盡管粒子的運動是完全確定的，守恒量卻會隨著規范勢的不同選擇而改變。這使我們運用守恒定律時必須特別小心。

3 量子力學： 正則動量算符和幾率流

(16)

所以哈密頓量也變成了算符(仍然是對電子)

(17)

如果矢量勢A滿足規范條件(4)，則哈密頓量算符也可以寫成

(18)

問題是： 在經典力學里，我們是通過機械動量和電磁動量來理解正則動量，而量子力學的情況卻倒過來了：我們的出發點就是正則動量，那么機械動量體現在哪里？為了回答這個問題，我們先寫下相應的薛定諤方程：

(19)

其中Ψ(r,t)是波函數，所以

取復共軛得

根據玻恩對波函數的幾率解釋，ρ=|Ψ|2=Ψ*Ψ是坐標幾率密度，從以上兩式可得ρ對時間的變化率為

若記

j=

(20)

就有方程

(21)

這表達了幾率守恒，其中j應理解為坐標幾率流密度。眾所周知，在電荷守恒的情況下，如果空間電荷密度是ρ，電荷平均速度是，那么電流密度就是j=ρ。把這里的情況與之對照，可以把式(20)重寫為

(22)

(23)

對于前面所舉的例子即電子在勻強磁場中的運動，在對稱規范的情形下，哈密頓量算符是

(24)

不難發現

(25)

(26)

(27)

其中ωc=e B/m就是同步回旋頻率，但是這些能級是無窮度簡并的(對于無限大平面)，比如對于基態(n=0)，就有無窮多個波函數

(28)

對稱規范的矢量勢在xy平面內也可以寫為

所以對于式(28)的波函數，(22)式的坐標幾率流密度j的正則動量部分是

由于M≤0，所以它是逆著eφ方向的，而電磁動量部分是

它是順著eφ方向的，二者之和是

盡管M≤0，足夠大的u總可以使u2+M >0，即粒子的幾率流順著eφ的方向。這和粒子的經典運動圖像是一致的。

如果取朗道規范，那么哈密頓量算符是

(29)

這時

(30)

(31)

(32)

這正是在y軸上固有頻率為ωc的線性諧振子的薛定諤方程，只不過勢能曲線的對稱軸是y=y0，所以我們仍然得到式(27)給出的能譜，但能級的簡并變成了不同的px值。現在基態(n=0)的波函數變為

(33)

(C′是歸一化因子)，因而幾率流密度j的正則動量部分只有x分量，其值為

j的電磁動量部分也只有x分量，其值為

二者相加給出

當y>y0時jx<0，粒子的坐標幾率流朝左，而y0，坐標幾率流朝右，這也和粒子的經典運動圖像是一致的。

4 量子力學理論的規范不變性

在量子力學里，正則動量的算符表示總是-i，與矢量勢的選擇無關，但我們不能因此就說量子力學里的正則動量是規范不變量。事實上，在量子力學里，物理量的測量結果不僅僅與代表它的算符有關，而且和波函數也有關。所以我們還要問：在規范變換下，波函數怎么變？可以證明，為了保證理論的規范不變性，當規范勢受到變換A→A′=A+α的時候，波函數要受到變換

(34)

(35)

對這個方程進行規范變換，即是把其中的Ψ和A換成Ψ′和A′，則左方變為

右方變為

因此仍然有

(36)

即是薛定諤方程在規范變換下不變，所以量子力學理論是規范不變的理論。

5 關于磁鏡裝置的討論

磁鏡是利用磁場對等離子體的運動進行約束的裝置[3]，圖1(取自文獻[3])是一種比較典型的磁鏡。兩個同樣的通電圓線圈同軸地放置，因而產生了兩頭強中間弱的磁場，這種磁場就可以把在其中運動的離子在強磁場處反射回去，如同鏡子反射光線一樣，所以被稱為磁鏡。利用正則動量的概念，我們對它的工作原理分析如下。

圖1 磁鏡裝置示意圖

由圖1可知在磁鏡裝置的軸線(z軸)附近，采用柱坐標系(ρ,φ,z)，磁場B是

(37)

由此可知

因而磁場的分布是

(38)

其中B(z)(>0)是已知函數(文獻[3]中有式(37)但并未給出式(38))。那么什么樣的A可以給出這樣的B？利用柱坐標系中的旋度公式

不難證明可以取

(39)

由于這個A與時間t無關，也與角度φ無關，所以離子的動能和它的正則角動量的z軸分量都是守恒的，即有

(40)

和

(41)

其中離子的運動由ρ(t),φ(t),z(t)描寫，vρ≡dρ/dt,vφ≡ρ(dφ/dt),vz≡dz/dt，離子的電荷q>0。在分析力學中，這樣的守恒方程被稱為運動方程的一次積分。其實，即便不引入正則動量的概念，式(41)也可以藉運動方程m(d/dt)=q×B的柱坐標形式

(42)

(43)

(44)

直接導出(文獻[3]沒有引入矢量勢A，也沒有寫出完整的離子運動方程，因而沒能給出式(41))。由于離子在磁場中的回旋運動非常之快，當它完成一周的回旋運動時在z方向上只移動了很小的距離，所以我們可以對它應用絕熱近似，即假設離子的回旋頻率(參見式(11))完全由當地的磁場所決定，這樣就有

(45)

把它代入式(42)中，就得到

(46)

由此可知vρ=常數。但文獻[3]的式(2)未說明理由就取了vρ=0，未免過于武斷。實際上，從圖1也可以看出vρ是不等于零的。與此同時，兩個一次積分也分別變為

(47)

(48)

(49)

(50)

的時候，離子運動到那一點就有vz=0，因而不再向前運動了。這就是磁鏡裝置的基本工作原理。式(50)和文獻[3]的最后結果(即它的式(10))是一致的，但這里的分析更嚴格，補充了一些它沒給的式子，還指出了它的某些式子實際上是錯的。

[1] 周衍柏. 理論力學教程[M]. 3版. 北京,高等教育出版社,2009.

[2] 郭碩鴻. 電動力學[M]. 3版. 北京,高等教育出版社,2008.

[3] 張琳,蔡莉莉. 磁鏡原理及其在磁約束中的應用[J]. 物理與工程,2013,23(3): 16-18.ZhangLin,CaiLili.Principleofmagneticmirroranditsapplicationinmagneticconfinement[J].PhysicsandEngineering, 2013, 23(3): 16-18. (inChinese)

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MANY FACES OF CANONICAL MOMENTUM

For movement of a charged particle in a magnetic field, a very important concept is that the canonical momentum of the particle is different from its mechanical momentum, which is often overlooked or confused. Based on the fundamental definition of canonical momentum, this paper analyzes the relationship between canonical momentum and mechanical momentum from classical and quantum aspects, and emphasizes that the basic dynamic variable is the canonical momentum. Finally, as an example, the magnetic mirror device is studied to illustrate how the canonical momentum concisely gives the answer to a problem.

magnetic field; vector potential; canonical momentum; gauge transformation; magnetic mirror device

2017-05-26

徐湛，男，教授，主要從事物理科研和教學工作，研究方向為理論物理，zx-dmp@tsinghua．edu．cn。

徐湛. 正則動量面面觀[J]. 物理與工程，2017，27(5)：3-9.

Xu Zhan

(Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084)