旋轉矢量在光的干涉和衍射中的應用

陳學文 姚 雪 張家偉 陳震亞

(重慶科技學院數理學院，重慶 401331)

旋轉矢量在光的干涉和衍射中的應用

陳學文 姚 雪 張家偉 陳震亞

(重慶科技學院數理學院，重慶 401331)

旋轉矢量在討論兩個及兩個以上簡諧振動合成的問題時，是一種很方便的工具。利用旋轉矢量分析計算光的干涉和衍射光強分布十分簡潔直觀，而無需涉及復雜的積分計算，且得到的結果與利用菲涅爾衍射積分公式得到的結果一致。利用旋轉矢量討論光的干涉和衍射問題可加深同學對振動合成、干涉和衍射相關知識的整體理解。本文利用旋轉矢量具體討論了光的干涉和單縫衍射的條紋分布和光強分布。

旋轉矢量；光的干涉；光的衍射；光強分布

光的干涉和光的衍射是工科大學物理課程中十分重要的組成部分。然而，由于光的干涉和光的衍射涉及到知識點多且抽象，以及工科大學物理學時的限制，目前大多數大學物理課程中關于單縫夫瑯禾費衍射條紋分布，一般采用菲涅爾半波帶法定性討論，對衍射光強的分布，一般只給出光強分布公式I=I0sin2β/β2；而在討論光柵衍射時，對于多縫干涉的討論，也僅僅討論主明條紋產生條件(光柵方程)，并以結論的形式說明兩條相鄰的主明條紋之間有N-1條暗條紋和N-2條次級明條紋。所以在實際教學中，學生普遍感到內容分散且抽象，公式多且容易混淆，于是很難區分光的干涉和衍射現象產生明暗條紋的條件和條紋分布特點。因此，若能采用一種較為簡潔的方法分析計算多縫干涉和單縫衍射條紋和光強分布，對于工科大學生較為深入理解光的多縫干涉、單縫衍射和光柵衍射(多縫干涉和單縫衍射總效應)大有幫助。針對如何在大學物理課堂上講好光的干涉和衍射相關知識，學術界從不同方面對此做了研究與探討。文獻[1]探討了啟發式教學在物理光學課堂教學中的應用；文獻[2]也探討了如何改善波動光學教學方法；文獻[3]結合馬文蔚主編的《物理學》(5版)教材探討了大學物理中光學教學的探究與思考。文獻[4-7]分別從不同方面探討了光的干涉與光的衍射之間的區別于聯系。

“旋轉矢量”是一種描述簡諧振動較為直觀的幾何方法。從坐標原點O(平衡位置)畫一矢量，使它的模等于諧振動的振幅A，并令t=0時A與x軸的夾角等于諧振動的初相位φ0，然后使A以等于角頻率ω的角速度在平面上繞O點作逆時針轉動，這樣作出的矢量稱為旋轉矢量。旋轉矢量任一時刻在x軸上的投影x=Acos(ωt+φ0)就描述了一個簡諧振動。它在討論波(光)的干涉和衍射時十分方便。利用旋轉矢量討論光的干涉和衍射光強條紋分布時十分方便而無需涉及復雜的積分計算，并且得到的結果與利用菲涅爾衍射積分公式得到的結果一致。基于此，本文利用旋轉矢量法具體討論光的多縫干涉和夫瑯禾費單縫衍射的條紋分布和光強分布，以期以一種較為簡潔直觀的方法使學生掌握光的干涉衍射相關知識，并加深同學對振動合成、干涉和衍射相關知識的整體理解。

1 利用旋轉矢量討論光的多縫干涉

對于由N個狹縫構成的多縫干涉，其裝置簡圖如圖1所示。狹縫中的光傳播到P點時，相鄰兩條狹縫傳播到光屏上P點的光程差為Δ=dsinθ，則相鄰兩束光在P點振動的相位差

(1)

圖1 多縫干涉示意圖

相應的旋轉矢量合成(疊加)如圖2所示。根據幾何關系可得，每一個分振動的振幅為Ai=2r(sinΔφ/2)，N個旋轉矢量的合振幅為A=2rsin(NΔφ/2)。

圖2 多縫干涉旋轉矢量疊加

P點合振動的振幅

(2)

其中，A0=NAi。光的強度與振幅的平方成正比，定義光的強度I=A2。則P點光強為

(3)

對于N=2的特例(此時為楊氏雙縫干涉)，根據式(2)可得

(4)

次級明條紋對應的條件式為

(5)

在Δφ≠2kπ的條件下(根據上文討論Δφ=2kπ對應著主極大值條件)，可得，

(6)

圖3 N個旋轉矢量干涉相長相消的示意圖

圖4根據多縫干涉光強分布公式(3)給出了3縫、6縫、10縫和20縫干涉光強分布。可以看出，相鄰兩主明條紋之間有N-1條暗條紋，有N-2條次級明條紋，且次級明條紋比主明條紋強度小很多，隨著縫數的增加，次級明條紋的強度逐漸減小。對于N很大的多縫干涉，在屏上看到的條紋是很細很亮的條紋中間有寬闊的暗區域。

圖4 多縫干涉光強分布(a) N=3; (b) N=6; (c) N=10; (d) N=20

圖5 夫瑯禾費單縫衍射示意圖

2 利用旋轉矢量法討論光的衍射

關于夫瑯禾費衍射，文獻[8]討論了雙縫、單縫和多縫的干涉和衍射光強分布曲線的計算；文獻[9]針對處理菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式進行了討論；文獻[10]分析了衍射屏上光波相位分布對單縫衍射光強的影響；文獻[11]討論了菲涅爾半波帶法、振幅矢量疊加法和積分定量計算法3種方法；文獻[12]討論了單縫衍射條紋公式及其條紋級次。利用菲涅爾半波帶法討論夫瑯禾費衍射時，可以較為簡潔地得到明暗條紋條件，但是不能給出光強分布；菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式超出了工科大學物理要求。而利用旋轉矢量法計算光的夫瑯禾費單縫衍射不僅可以完整給出明暗條紋條件和光強分布，而且可以使學生較為容易理解。

根據惠更斯-菲涅爾原理，衍射是無數列子波疊加的結果，因此單縫衍射可以看成是無窮多縫(N→∞)干涉問題。圖5給出了縫寬為a的夫瑯禾費單縫衍射示意圖：一束光強為I0(振幅為A0)的光在狹縫a處的波振面上分割成N(N→∞)個相干子光源，每個子光源的振幅為A0/N，這個相干子光源在空間相干疊加。

(7)

P點(即屏幕上任意一點)合振動光波強度表達式為

(8)

(9)

光強的極值條件可由上式求導等于零得到

(10)

極值條件為： (1)β=0；(2)sinβ=0；(3)βcosβ-sinβ=0。

對于β=0：根據關系式β=πasinθ/λ可得到sinθ=0，則圖4中“相鄰兩縫”傳到P點的相位差Δφ=0。因此，β=0對應著中央極大值的位置及光強，根據式(9)可得

(11)

在此情況下也可借鑒圖3(a)所示的旋轉矢量疊加來計算此時P點的合振幅。在此情況下

(12)

(13)

對于βcosβ-sinβ=0：對應單縫衍射光強次級極大值的位置，此時有β=tanβ。解此超越方程可得β1=1.430π，β2=2.461π，β3=1.471π等。

由此可得分列于中央主最大兩邊的其他最大值(稱為次最大)的位置為

(14)

表1給出了夫瑯禾費單縫衍射中央主明條紋和次級明條紋的位置，并與菲涅爾半波帶法給出的結果做了比較，兩者的差別在于由本方法所獲得結果與菲涅爾半波帶法相比，次級極大值的位置稍微向中心偏移，當衍射級數增大時，兩者結果趨于一致。同時,表1也給出了次級明條紋與中向明條紋的相對強度。可以看出，各次級明條紋的強度比中央明條紋小很多，且隨著衍射級數的增加，條紋強度迅速降低。圖6根據式(9)繪出了單縫衍射光強分布曲線。

表1 單縫衍射極大值位置及相對光強

圖6 單縫衍射光強分布

對于光柵夫瑯禾費衍射，其條紋效果是單縫衍射對多縫干涉的調制作用。此時，要考慮從每一個狹縫發出來的光的單縫衍射效應。在此情況下，將單個狹縫的光強I0替換成式(8)中的I，再代入多縫干涉光強分布公式(3)時，即可得到光柵衍射光強分布：

(15)

圖7 光柵衍射光強分布(N=20,a=b)

圖7以20縫的光柵衍射為例，并假定光柵常數a+b=2a(依據式(15)，并取N=20，d=2a)，繪出了光柵衍射光強分布。圖7中虛線表示縫寬為a的單縫衍射，實線表示光柵衍射。從中可以看出，光柵衍射是單縫衍射和多縫干涉的總效果，多縫干涉受到單縫衍射的調制作用。

3 結論

從以上討論可以看出，在討論光的多縫干涉和單縫衍射問題時，利用旋轉矢量法分析計算光強分布十分簡潔，對于工科專業的學生而言比較容易理解。因此，針對工科專業學生而言，在講授楊氏雙縫干涉知識時，可利用旋轉矢量分析楊氏雙縫干涉的條紋和光強分布，再推廣到多縫干涉(N>2)情況；在講授光的衍射(單縫衍射和光柵衍射)相關知識時，可按教材中先講單縫衍射再講光柵衍射的順序進行，先用菲涅爾半波帶法對單縫衍射做半定量討論，再利用旋轉矢量法來分析計算單縫衍射(N→∞的多縫干涉)條紋及光強分布，最后講授光柵衍射，循序漸進的講授。一方面可以比較容易地引導學生總結出干涉和衍射這兩個概念的區別與聯系：從本質上來說，光的干涉和衍射都是光波相干疊加的結果，這是兩者之間的共性；若不考慮每個狹縫的衍射調制效應，干涉是有限數量的光束之間由于光程差的變化而形成疊加效應，衍射是光波在傳播中由于波陣面受到限制，光的傳播偏離了原來直線傳播的方向，使無窮多個次波之間產生了光程差而形成疊加效應，這是兩者之間的主要差別；在實際中，干涉和衍射是同時存在的，在干涉條紋的計算過程中，通常是需要考慮縫的寬度不為零而造成的衍射調制效應，這樣才能得到最為準確的干涉條紋分布，干涉和衍射的計算都是由惠更斯-菲涅爾原理為基礎的，這是兩者之間的聯系。另一方面也可使學生對振動合成和光的干涉、衍射相關物理知識形成一脈相承的知識體系。

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THE APPLICATION OF ROTATIONAL VECTOR IN INTERFERENCE AND DIFFRACTION OF LIGHT

Chen Xuewen Yao Xue Zhang Jiawei Chen Zhenya

(Department of Math and Physics, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 401331)

The rotational vector is a very convenient tool for discussing the combination of two or more than two harmonic vibrations. It is very simple, intuitive to analyze and calculate the intensity distribution of light interference and diffraction by using rotational vector, without needing to calculate the complex integral calculation, and the results obtained are consistent with the Fresnel diffraction integral formula’s results. At the same time, it is able to help the students to deepen their overall understanding of the harmonic vibration combination, interference and diffraction by using the rotational vector to discuss the interference and diffraction of light. In this paper, we use the rotational vector to discuss the fringe distribution and intensity distribution of light interference and single slit diffraction.

rotational vector; interference of light; diffraction of light; intensity distribution

2016-12-27；

2017-03-13

國家自然科學基金(11347024)；重慶市教育委員會2105年度高等教育教學改革研究立項項目(153151)；重慶市科委基金(2016jcyjA0336)；重慶市教委基金(KJ1401313)；重慶科技學院博士教授啟動基金(CK2014B21)；重慶科技學院重點項目培育基金(CK2015128)。

陳學文，男，副教授，主要從事物理教學與科研工作，研究方向為理論物理，kat820810@163.com。

陳學文，姚雪，張家偉，等. 旋轉矢量在光的干涉和衍射中的應用[J]. 物理與工程，2017，27(5)：56-60.