科學運用反例教學，提高學生解題能力

吳義洪

在數學教學中，我們要判斷某個命題是假命題，只要列舉一個符合命題的條件、但結論不成立的例子，從而輕易地否定這個命題，這樣的例子就是反例。要判斷某個命題是錯誤的，用舉反例的方法能起到事半功倍的效果。這一方法對于培養學生的思維的縝密性、提高學生思維的全面性、促進學生思維的發散性及創新性等都有較好的實用意義。

反例教學和運用反例證明題目應遵循以下幾個方面：

1 構造反例的要求

1.1 反例的引入要符合學生的認知水平

不同年齡段學生的學習生理、心理特征和所學知識結構不同。初中階段的學生有時還不具備獨立復雜推理論證的能力，推理思維還有很大程度的局限性，得到的結論還考慮不夠全面。教師在平時的教學過程中適當適時引入反例，這符合學生的認識水平，并且是合理可行的。

例如，在講解“‘在四邊形ABCD中，有一組對邊平行，而另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形這結論是否正確”時，如果要從正面來證明它是錯的，受學生的知識結構和認知能力限制，是很難辦到的。而舉例等腰梯形來說明這個結論是錯的，對學生來說容易接受和理解。這樣就能言簡意賅地把問題講清楚，也易于學生消化吸收。

又如，“兩個三角形中，如果有兩邊及其一邊的對角對應相等，這樣的兩個三角形全等”。要說明這個結論的錯誤性，只需畫圖，畫出符合已知條件的兩個三角形，能得到兩個三角形的形狀可能相同，也可能不同。由此進一步發揮：什么情況下一定全等？這就引出了直角三角形“HL”的判定。同時也能清楚判斷兩個三角形是否全等，沒有“SSA”這一判定，且“HL”是“SSA”的特殊情況。這使得知識更加系統化。

1.2 反例的構建要有利于深化學生的理解、應用能力

在日常教學過程中，教師不但要適時適當舉出反例、應用反例，還要引導學生構建反例，深刻認識到深化理解應用反例對部分題目的理解和證明，起到事半功倍的意義。

例如，在講解運用“等腰三角形三線合一”的性質時，有的學生沒注意成立的前提是“等腰三角形”，有的學生對“三線”是哪三線沒記清。教學時可以讓學生相互舉反例來說明錯誤運用的嚴重性，增強學生考慮問題的嚴密性和深度。

1.3 反例的構建要體現有梯度

在平時的教學過程中，反例的構建要根據學生知識層面、解題能力、認知能力的逐步提高由淺入深、由易到難逐漸引入和開展。

如，當|a|=a時a>0，到|a+3|=a+3時a>-3，再到|2a+3|=2a+3時a>- ，其中答案不完整、不嚴密，可以通過反例來步步深入體現例子由簡單到復雜、由易到難，讓學生體會到深層次構建反例的必要性。

2 幾種有利于培養學生數學思維的教學反例構建法

（1）把學生容易犯錯誤的知識點或做法設置成例題或習題，在解題過程中感受反例的魅力，從而培養學生考慮問題的縝密性。

如，“任何數的平方都是正數”。對于這一結論，很多學生認為是對的。確實對于無數的數，這個結論是正確的，唯獨當這個數是零時，這個結論不成立。這樣，題目一做，反例一舉，學生就會恍然大悟，體會深刻。

又如，任意實數a的絕對值都是正數，任意實數a的倒數是。這些都具有異曲同工之效。

（2）為了防止學生出現知識漏洞而構建反例，有利于提高學生考慮問題的全面性。

如，“角平分線上的點到角兩邊距離相等”。有不少學生沒理解清楚“距離”是指垂直距離，誤用為只要是角平分線的點與角兩邊的連線就會相等。這個問題要說明清楚并不難，只要畫圖舉反例就可以讓學生心服口服，以后就會少犯這樣的錯誤。

又如，“線段中垂線上的點到線段兩端距離相等”。有些同學沒有注意到“垂直”和“平分”應同時具備。我們可以舉缺少一個條件的例子，使得結論不成立，這樣學生就會感受深刻，就能理解到位。

（3）利用題目已知條件的開放性構建反例。

通過分情況討論法、窮舉法，發現在現有的已知條件下，結論不一定成立。這其中就有構建反例的功勞，這樣做有利于培養學生的發散性思維。

如，“任何數的零次冪都是1”對嗎？不少同學沒記好條件限制，很容易認為是對的。其實反例很容易找到，就是當a為零時，a的零次冪沒有意義。在這基礎上可以把a換成（2a+1），它的零次冪又是多少？如何作答？

又如，兩個無理數的積是否一定是無理數？我們可以舉出幾個反例來說明兩個無理數的積不一定都是無理數。如與 -，與。結論是：只要是化成最簡二次根式后被開方數相同的兩個無理數的積都是有理數。這樣就把這個題目提升到一個更高的層面。同時我們還可以推而廣之：兩個無理數的和是否一定是無理數？兩個無理數的差是否一定是無理數？兩個無理數的商是否一定是無理數……

這樣，學生發散性思維就能得到很好的鍛煉。

3 注重反例在考試中的實戰意義

目前學生的學業成績還是以考試分數來衡量，這勢必要求學生所學知識、方法有利于考試，為考試服務。所以就必須講究所學“構建反例”方法在考試中的作用。

（1）通過舉反例可以防止出錯。“當什么情況下時命題不成立”，多培養鍛煉學生這種思維模式，讓學生形成一種自然的解題思路和注意事項，這樣就可以防止考試時因為考慮不周而丟分。平時老師還可以引導學生把類似的題目做歸納整理，方便記憶。

（2）利用舉反例輕松證明命題是錯誤的。由于學生知識面和能力的限制，有些命題要從正面去證明它是錯誤的，難度很大，很復雜，若利用反例來證明，只要列舉一個符合命題的條件、但結論不成立的例子，就可以輕松解決問題。這對于提高應試能力具有重要意義。

總之，舉反例說明一個命題的錯誤性，是一種常用的解題方法，掌握好它，應用好它，可以起到事半功倍的效果，值得大家探討和掌握。

（作者單位：福建省詔安縣懷恩中學）