導數幾種問題的解題分析

趙星舒

導數在幾種問題，尤其在求函數的極值、單調性等方面，求解非常方便、簡潔。同時，衍生出的拉格朗日算法為解決最優(yōu)化問題提供了幾乎無可取代的作用，不僅拓寬了解題方法，而且加快了解題速度。以導數在函數極值、單調性中的綜合應用與拉格朗日乘數法為例，通過幾個問題總結導數的解題思路與方法。

導數極值單調性拉格朗日乘數法導數是中學乃至大學數學中微積分部分的基礎知識，譬如復變函數、泛函等都是以導數作為基礎。導數是具有研究功能和解決實際問題的有力工具。通常來說，導數可以從不同的角度靈活考察知識的綜合運用和解決數學問題的能力。所以，導數問題是高考數學的重頭戲，與此同時，導數與不等式、數列、函數等知識的交集命題，應用數學知識解決綜合能力問題已成為今后命題的趨勢和特點。本文試圖以導數在函數最值及單調性中的應用與拉格朗日乘數法為例，通過幾個問題總結導數的解題思路與方法。

一、導數在求函數極值中的應用

高中數學中一個核心的問題就是函數中的最值問題，與此同時，也是一個判斷學生數學優(yōu)劣的分界點。在高中課本引入導數以前，存在許多種求函數最值的方法，但是高中課本引入導數后，不僅對于許多求最值類型的題目來說多了一種解題的思路與方法，更是成為了一種解決問題的簡便方法。

二、導數在求函數單調性中的應用

導數可以判斷函數的增減性，在函數的一階導數為零的點為增減分界點，一階導數大于零，函數在有效區(qū)間內單調遞增；反之，一階導數小于零，函數在該區(qū)間內單調遞減。利用函數的單調性可以很明了的繪畫出函數的大致圖像，對函數的增減性有很強的直觀性，能夠很簡便的求出函數的單調性。下面列舉以下題目進行解答以說明導數在求增減性中的作用。對于這種超越函數求單調性一般比較復雜，尤其在引入參數后會使問題變得極其復雜。

問題分析：（1）對于給定求函數單調性問題，看清題目所給條件，一般來說，若給條件是函數存在極值，則可推得導數存在零點，且零點非駐點。（2）本題中，不僅需要求函數的單調性，還需要求參數的取值范圍。同理，根據所給條件，可確定函數存在零點，后求出極值點對應的x值，進行分類討論即可。本題也與上一節(jié)聯系緊密，說明導數的應用穿插于各類問題當中，用途廣泛。

三、總結

總之，導數作為大學課程《高等數學》中微積分的學習基礎，在新課標的課程大綱中，將導數移至高中數學的學習，雖然，高中數學課程的學習內容增加了，但由于導數本身具有極強的實際應用性，能夠非常好地解決一些例如極值問題、最值問題，在單調性問題、不等式證明等問題，并且在這類問題中具有突出的實際運用性，是高中數學學習過程中的一個很好的學習工具。與此同時，導數是在各類考試中重點的考試內容，霸占非常大的分數比例，一般試卷壓軸題出導數的題目概率及其之高。因此，在學習導數過程中要注意理解導數的一些常規(guī)運用并且理解導數的意義，在基礎問題方面勤加練習，做到舉一反三，同時熟練的掌握導數的運用，才能在考試中發(fā)揮出理想的實力。

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