導(dǎo)數(shù)幾種問題的解題分析

趙星舒

導(dǎo)數(shù)在幾種問題，尤其在求函數(shù)的極值、單調(diào)性等方面，求解非常方便、簡潔。同時(shí)，衍生出的拉格朗日算法為解決最優(yōu)化問題提供了幾乎無可取代的作用，不僅拓寬了解題方法，而且加快了解題速度。以導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值、單調(diào)性中的綜合應(yīng)用與拉格朗日乘數(shù)法為例，通過幾個(gè)問題總結(jié)導(dǎo)數(shù)的解題思路與方法。

導(dǎo)數(shù)極值單調(diào)性拉格朗日乘數(shù)法導(dǎo)數(shù)是中學(xué)乃至大學(xué)數(shù)學(xué)中微積分部分的基礎(chǔ)知識，譬如復(fù)變函數(shù)、泛函等都是以導(dǎo)數(shù)作為基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)是具有研究功能和解決實(shí)際問題的有力工具。通常來說，導(dǎo)數(shù)可以從不同的角度靈活考察知識的綜合運(yùn)用和解決數(shù)學(xué)問題的能力。所以，導(dǎo)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)的重頭戲，與此同時(shí)，導(dǎo)數(shù)與不等式、數(shù)列、函數(shù)等知識的交集命題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決綜合能力問題已成為今后命題的趨勢和特點(diǎn)。本文試圖以導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值及單調(diào)性中的應(yīng)用與拉格朗日乘數(shù)法為例，通過幾個(gè)問題總結(jié)導(dǎo)數(shù)的解題思路與方法。

一、導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中一個(gè)核心的問題就是函數(shù)中的最值問題，與此同時(shí)，也是一個(gè)判斷學(xué)生數(shù)學(xué)優(yōu)劣的分界點(diǎn)。在高中課本引入導(dǎo)數(shù)以前，存在許多種求函數(shù)最值的方法，但是高中課本引入導(dǎo)數(shù)后，不僅對于許多求最值類型的題目來說多了一種解題的思路與方法，更是成為了一種解決問題的簡便方法。

二、導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的增減性，在函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為增減分界點(diǎn)，一階導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)在有效區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；反之，一階導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。利用函數(shù)的單調(diào)性可以很明了的繪畫出函數(shù)的大致圖像，對函數(shù)的增減性有很強(qiáng)的直觀性，能夠很簡便的求出函數(shù)的單調(diào)性。下面列舉以下題目進(jìn)行解答以說明導(dǎo)數(shù)在求增減性中的作用。對于這種超越函數(shù)求單調(diào)性一般比較復(fù)雜，尤其在引入?yún)?shù)后會使問題變得極其復(fù)雜。

問題分析：（1）對于給定求函數(shù)單調(diào)性問題，看清題目所給條件，一般來說，若給條件是函數(shù)存在極值，則可推得導(dǎo)數(shù)存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)非駐點(diǎn)。（2）本題中，不僅需要求函數(shù)的單調(diào)性，還需要求參數(shù)的取值范圍。同理，根據(jù)所給條件，可確定函數(shù)存在零點(diǎn)，后求出極值點(diǎn)對應(yīng)的x值，進(jìn)行分類討論即可。本題也與上一節(jié)聯(lián)系緊密，說明導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用穿插于各類問題當(dāng)中，用途廣泛。

三、總結(jié)

總之，導(dǎo)數(shù)作為大學(xué)課程《高等數(shù)學(xué)》中微積分的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在新課標(biāo)的課程大綱中，將導(dǎo)數(shù)移至高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，雖然，高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容增加了，但由于導(dǎo)數(shù)本身具有極強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用性，能夠非常好地解決一些例如極值問題、最值問題，在單調(diào)性問題、不等式證明等問題，并且在這類問題中具有突出的實(shí)際運(yùn)用性，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)很好的學(xué)習(xí)工具。與此同時(shí)，導(dǎo)數(shù)是在各類考試中重點(diǎn)的考試內(nèi)容，霸占非常大的分?jǐn)?shù)比例，一般試卷壓軸題出導(dǎo)數(shù)的題目概率及其之高。因此，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)過程中要注意理解導(dǎo)數(shù)的一些常規(guī)運(yùn)用并且理解導(dǎo)數(shù)的意義，在基礎(chǔ)問題方面勤加練習(xí)，做到舉一反三，同時(shí)熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，才能在考試中發(fā)揮出理想的實(shí)力。

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