初中數學教材中的演繹推理

劉麗

演繹推理在數學學習和教學中起著至關重要的作用，推理能力也是數學核心素養之一。根據課標要求，以北師大版初中數學教材“圖形與幾何”領域為研究對象，通過內容分析法，進行內容編碼、統計、分析和比較，探究教材中不同知識類目、不同演繹推理形式的數量和難度，發現教材中呈現的演繹推理，以三段論形式為主；在不同主題類目里，演繹推理的數量和難度不同。

演繹推理北師大版數學教材圖形與幾何內容分析法一、問題提出

史寧中教授曾在書中提出，至今為止，數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型。通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系。推理對數學本身的發展起重要的作用，當然，推理作為數學的基本思維方式，推理能力的培養和發展對學生的思維發展也起關鍵作用。

一般認為，演繹推理是由普通性的前提推出特殊性結論的推理，即從一般到特殊。數學課程標準（2011年版）中則這樣定義：演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。

本研究意在探究初中數學教材中不同知識類目，出現不同演繹推理形式的數量和難度，以北師大版初中數學教材“圖形與幾何”領域為研究對象。

二、研究方法

1.研究法與研究對象

本研究主要采用內容分析法，針對研究目的選定分析單位與建構類目，而后依照定義進行內容編碼與統計。最后，針對不同知識類目中出現不同演繹推理形式的數量和難度進行比較與分析。本研究采用立意取樣法，選擇發行量和影響度較大的北師大版初中教材中“圖形與幾何”內容為研究對象。

2.類目分析與資料處理

本研究進行內容分析時，先以章為區分單位，再以出現次數作為分析單位。在分析類目上，根據課標，本研究將主題類目分為“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個方面進行分析。而目標類目則主要根據北師大版初中教材的編排，本研究將目標類目依次按教材中圖形與幾何部分從七年級至九年級分為“豐富的圖形世界”“基本平面圖形”，“相交線與平行線”等共16個向度。在演繹推理形式類目上，參考李俊秀在《數學中的推理和論證》一書中的分類方式，將形式類目分為“三段論”“假言推理”“選言推理”和“關系推理”四類。

在進行出現次數計數時，只統計相應教材內容的節名稱至例題（包括例題）之間的內容，對應形式類目出現的次數。

三、結果與發現

根據概念界定對教材相應內容進行分析和統計，可以發現，整體趨勢上，不同演繹推理形式類目在不同主題類目以及不同目標類目中的數量和難度都存在較大的差異，就不同年級，演繹推理的數量和難度也存在差異。由此，對統計的分析如下：

1.同一主題類目不同演繹推理形式數量之比較

根據課程標準及北師大版初中數學教材的編排方式，可將各目標類目歸類至三個主題類目中，如下：“圖形的性質”包括豐富的圖形世界、基本平面圖形、相交線與平行線、三角形、勾股定理、平行線的證明、三角形的證明、平行四邊形、特殊平行四邊形、圓；“圖形的變化”包括生活中的軸對稱、圖形的平移與旋轉、圖形的相似、投影與視圖、直角三角形的邊角關系；“圖形與坐標”包括位置與坐標。

由此可得各主題類目對應形式類目的統計如下表：

縱向觀察表1，整體而言，三段論形式的演繹推理出現的數量最多，關系推理次之，而選言推理則出現得最少。針對同一主題類目，在“圖形的性質”中，三段論出現最多，依次為關系推理、假言推理及選言推理；在“圖形的變化”中，情況與整體及“圖形的性質”類目相似；而在“圖形與坐標”中，各種演繹推理形式出現都較少，時而會出現三段論及關系推理的推理形式。這與三段論是演繹推理的一般模式這一結論一致。

2.不同主題類目間演繹推理數量及難度之比較

每一主題類目中包含的目標類目種類數量有相差較大，根據課標可知每一類目的目標及課程內容要求不同，而其中對圖形的性質中的相關知識有更多演繹推理方面的要求，因此，針對不同主題類目，對演繹推理的數量及難度進行比較。

橫向觀察表1，無論對各類推理形式還是演繹推理的整體情況，出現次數都是圖形的性質多于圖形的變化，多于圖形與坐標，這與每一主題類目本身所含內容多少及課標要求都有關系，并且都有較為合理的結論。而對于難度，一般而言，“圖形的性質”中出現的演繹推理比其他兩個主題類目中的更難些，如下教材中的兩個例子：

如上兩個例子，例1比例2整體出現了較多三段論，需要較多定義、定理等的支撐，相對來說會更難些。

四、研究結論

通過上述分析，較之課標要求及學生的思維水平發展，可得出以下幾個結論：在初中“圖形與幾何”領域中，北師大版教材出現和呈現的演繹推理，大部分為三段論形式，其中伴隨一些其他形式，如關系推理等，根據課標要求，要注重學生思考的條理性，不要過分強調推理的形式，在這點上，事實上教材體現得較好，但也可適當的增加一些其他形式的演繹推理，讓學生了解演繹推理形式的多樣性；在不同主題類目里，演繹推理的數量和難度不同，也較符合課標要求，這也要求了教師在教學過程中要做好內容和學情分析，把握好授課的難易和精細程度。

參考文獻：

[1]史寧中.數學思想概論（數量與數量關系的抽象）[M].長春：東北師范大學出版社，2008.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]李俊秀.數學中的推理和論證[M].陜西：陜西科學技術出版社，1984.

[4]王曉輝，赫曉玲.兩類教材對初中生數學推理技能影響的比較研究[J].課程·教材·教法，2007，（11）：41-45.endprint