OFDM系統下基于阻尼LSQR的低復雜度檢測算法研究*

趙曉君，曹琲琲

OFDM系統下基于阻尼LSQR的低復雜度檢測算法研究*

趙曉君1，曹琲琲2

（1.河北農業大學信息科學與技術學院，河北 保定 071001；2.西安電子科技大學通信工程學院，陜西 西安 710071）

為了解決OFDM系統隨著檢測符號規模的增大，檢測算法（如經典的MMSE檢測算法）復雜度過高的問題，采用迭代方法替代經典算法中矩陣的相乘運算。研究了阻尼LSQR迭代算法，并提出一種改進的低復雜度檢測算法，即通過使用特殊預處理矩陣去處理阻尼LSQR迭代算法中的迭代矩陣，使算法迭代速度加快，從而降低了算法的復雜度。通過理論驗證與算法仿真可知，改進的算法與MMSE算法相比，可在不引起明顯性能損失的前提下顯著降低算法復雜度。

正交頻分復用 阻尼LSQR 雙選信道 低復雜度檢測

1 引言

OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，正交頻分復用）是一種廣泛應用于高速數據傳播的無線通信系統的調制技術。OFDM系統在雙選信道模型下，子載波的正交性遭到破壞，導致了嚴重的ICI（Inter-Carrier Interference，子載波間干擾）。因此，在高多普勒頻移條件下，接收端檢測性能會產生不可忽略的錯誤平層。

針對這一問題，研究者們提出了諸多檢測算法[1-6]，文獻[1]中提到的匹配濾波檢測方法由于無法抑制ICI，因而其頻域檢測性能很差且算法復雜度高。文獻[2]提出了基于MMSE（Minimum Mean Squared Error，最小二乘均方誤差）濾波的迭代軟干擾抵消算法，但是算法復雜度隨著子載波個數呈指數倍增長。文獻[3]提出一種應用于基擴展信道模型的LSQR（Least Squares QR Decomposition，最小二乘QR分解）迭代算法，復雜度相對于MMSE有所降低，但是模型應用具有局限性。文獻[4]實質上采用的是一種基于概率的硬干擾抵消算法，因此在性能上未能超越經典的MMSE算法。

本文的貢獻在于提出了一種基于阻尼LSQR算法的低復雜度檢測算法，即通過使用加窗的方式用特殊預處理矩陣去處理阻尼LSQR算法中的迭代矩陣，達到減少迭代次數的效果，從而降低算法復雜度，且不帶來明顯的性能下降。

2 系統模型

假設OFDM系統下子載波個數為N，則頻域雙選信道模型如下：

H ∈?N×N表示頻域信道矩陣，分別表示頻域發送信號向量與頻域接收信號向量，ùω∈?N×1表示加性高斯白噪聲向量。

3 信號檢測

3.1 LSQR檢測算法

假設忽略公式(1)中的噪聲部分，則得到常見的線性系統模型[7]：

LSQR算法可以通過迭代的方式近似求解公式(2)描述的線性問題，其本質是一種krylov子空間算法。迭代i次后，LSQR算法構成的krylov近似子空間如下：

為了降低計算復雜度，LSQR算法通常包含兩步：Golub-Kahan二對角化和二對角最小二乘問題的求解。

第一步Golub-Kahan二對角化是為了將信道矩陣H轉化為(i+1)×i的二對角矩陣Bi， 這樣利用LSQR算法近似求解就可以轉化為求如下的最小二乘問題：

二對角陣Bi可以通過對信道矩陣H進行特征值分解得到，假設U=[u1, u2, …, ui]，V=[v1, v2, …, vi]均為酉矩陣，則

因此Golub-Kahan二對角化的主要步驟如下所示[8]：

（1）初始化：β1=||y||2，u1=y/β1，α1=||HHy||2，v1=HHy/α1。

（2）循環：

For i=1, 2, ... , set

End

第二步是求解二對角化最小二乘問題。由于矩陣U，V均為酉矩陣，因此公式(2)可以變為UHHVVHs=UHy，根據公式(5)可知UHHV=Bi，又由初始化知UHy=[β1, 0, 0, …, 0]T，因此有VHs=ci，從而得到：

以上分析均為基于公式(2)描述的線性模型。前面提到，為了簡化運算該模型忽略了噪聲部分，但是實際系統中噪聲是必須考慮的因素，因此需要將公式(2)恢復為公式(1)所描述的考慮噪聲的線性模型：

3.2 預處理矩陣設計

根據上文分析，LSQR算法是通過迭代的方式減小殘量誤差的，迭代次數過小會導致殘量誤差相對放大，但是考慮到復雜度因素，迭代次數也不能趨于無限。實際上，LSQR算法復雜度會隨著迭代次數增加而增加，因此需要選擇最優迭代次數以實現復雜度與性能的均衡。LSQR算法中的迭代矩陣HHH的特征值越聚集，算法收斂越快，即用較少的迭代次數即可達到相同最小殘量誤差水平[9]。因此，引入預處理矩陣的設計，采用加窗的方式，使迭代矩陣的特征值更加收斂，即處理后迭代矩陣為PHHHHP。

預處理矩陣的設計與相關系統矩陣R=HHH+σ2IN有關[10]，其中參數σ的定義與3.1中的定義相同。構造預處理矩陣如下：

其中，主對角線上元素的參數{γk}（k=0, 1, …, N-1）表示相關系統矩陣R降序排列的特征值，qk表示與第k個特征值γk對應的特征向量。傳統預處理矩陣通常取值為，但經過這種方法處理后迭代矩陣的特征值會集中于一點，對于存在模型誤差的系統容易引起有效信號子空間與噪聲信號子空間的完全混淆。因此，本文采用文獻[10]提出的修正預處理矩陣，即取值，其中ρ≥0表示修正參數，取值為ρ=trace(R)/(2N)時性能最佳[9]。采用修正預處理矩陣構造方法可以只實現與有效信號子空間有關最大特征值的收斂，從而有效避免了上述傳統預處理矩陣構造方法造成的混淆問題。

3.3 改進的阻尼LSQR算法

根據上文分析，在阻尼LSQR算法中迭代矩陣變為：

用3.2節中提到的預處理矩陣設計方法處理公式(9)所示的迭代矩陣，則迭代i次后，改進的阻尼LSQR算法構成的近似子空間如下：阻尼LSQR算法情況下時，相關系統矩陣變為：

根據公式(8)可構造出用于處理阻尼LSQR算法的預處理陣P。因此，改進的算法經過i次迭代后，得到的檢測信號可表示為：

其中，矩陣Γ的列向量即公式(10)所示向量集合中的元素。???

3.4 復雜度分析

針對檢測一個OFDM塊所需的復乘數對算法復雜度進行分析。根據3.1節的討論，參數αi，βi均為實數，且矩陣Bi具有二對角特性，因此算法復乘數主要體現在迭代過程中矩陣的變換部分。如表1所示，初始化過程復乘數為N2+4N，而在后面的每次迭代中需要的復乘數為4N2+8N，總復乘數為(i-1)× (4N2+8N)+(N2+4N)。因此，LSQR算法復雜度為O(iN2)，而MMSE經典算法的復雜度高達O(N3)[1-2]。由于迭代次數i通常遠遠小于子載波個數N，因此LSQR算法復雜度明顯低于MMSE算法。

4 仿真結果與分析

本文模擬的是高速移動的通信系統。設定系統工作在3.5 GHz頻帶，帶寬為6.4 MHz，并且無線信道具有三條徑，相對時延分別為：0μs、9.9 μs、17.1 μs和36.9μs。接收器速度為300 km/h，每條單徑信道均為瑞利信道，循環前綴（Cyclic Prefix，CP）等于多徑數減1，從而消除多徑信道對系統的影響，并假設：在接收端信道信息完全已知，且已得到正確的同步。信道編碼采用（7, 5）Turbo編碼，交織長度為12，譯碼采用MAP譯碼。

在算法性能與復雜度評估方面，本文選擇經典的MMSE算法作為參考對象，這樣的選擇是基于性能與復雜度兩個方面的考慮。在性能方面，由于MMSE算法是基于MMSE濾波的迭代軟干擾抵消算法的第一次迭代（即初始迭代），而迭代算法最終所能達到的性能由初始迭代的性能確定，因此只要初始迭代不損失性能，就能確保不降低迭代算法的最終性能。在復雜度方面，基于MMSE濾波的迭代軟干擾抵消算法的復雜度集中在初始迭代，即MMSE濾波的計算。而隨后的迭代可以利用逆矩陣更新來避免MMSE濾波計算的過高復雜度，因此用本文算法替代MMSE濾波即可在不引入明顯性能損失的前提下顯著降低迭代軟干擾抵消算法的整體復雜度。

圖1比較了傳統的預處理矩陣設計方法、修正后的設計方法以及不加預處理矩陣三種情況下，算法迭代次數對性能影響的比較。仿真時，子載波個數為64，歸一化最大多普勒頻移為0.1，多徑數為3，16QAM調制，接收端檢測算法統一為LSQR算法。其中，圖1（a）、圖1（b）、圖1（c）分別給出了信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）在20 dB、25 dB、30 dB下性能隨迭代次數變化的曲線圖，而圖1（d）以加修正后預處理矩陣為例給出了不同信噪比下性能隨迭代次數變化的曲線圖。仿真曲線圖表明，誤比特率（Bit Error Rate，BER）呈現出凸函數特性，即存在最佳迭代次數。例如，根據圖1（a）、圖1（b）可知，加修正后預處理矩陣時，最小BER落在了迭代8次處，圖1（c）中最佳迭代次數是12，然而根據圖1（d）所示，三種信噪比情況下迭代次數在8至14范圍內，性能趨于平穩并不會產生急劇變化。因此為了降低復雜度，選擇8作為加修正預處理矩陣情況的最佳迭代次數。同理可知在不加預處理矩陣的情況下，在迭代14次時性能最佳。傳統的預處理矩陣設計方法隨著迭代次數的增加性能反而下降，甚至在相同迭代次數下性能比未加預處理矩陣的方法還要差，這印證了上文分析：傳統預處理矩陣設計方法混疊了有效信號子空間與噪聲信號子空間，存在缺陷。

圖1 迭代次數對誤比特性能的影響

表1 LSQR算法復雜度分析

圖2給出了最佳迭代次數下經過修正預處理矩陣處理后的阻尼LSQR算法，即本文提出的算法的BER性能。與最佳迭代次數下不加任何預處理矩陣處理的阻尼LSQR算法相比，提出的算法在性能上提升了約5 dB。而與經典的MMSE算法相比，性能接近，甚至在高SNR下性能優于MMSE。因此，本文提出的算法可以實現復雜度降低而不引起明顯的性能損失。

圖2 改進的阻尼LSQR算法性能曲線仿真圖

5 結束語

針對高速移動的通信系統，本文提出一種低復雜度檢測算法：用修正預處理矩陣對阻尼LSQR迭代算法的迭代矩陣進行加窗處理，從而加快收斂速度。選擇MMSE算法作為參考對象，這是因為MMSE是并行迭代軟干擾抵消的基礎（第1次迭代），而迭代算法的最終性能是由初始算法的性能決定的。仿真結果表明，本文所提方法與經典MMSE檢測算法相比，能實現算法復雜度與性能的折衷。

[1] YANG-SEOK C, VOLTZ P J, CASSARA F A. On channel estimation and detection for multicarrier signals in fast and selective Rayleigh fading channels[J]. IEEE Transactions on Communications, 2001,49(8)： 1375-1387.

[2] SCHNITER P. Low-complexity equalization of OFDM in doubly selective channels[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2004,52(4)： 1002-1011.

[3] HRYCAK T, DAS S, MATZ G, et al. Low Complexity Equalization for Doubly Selective Channels Modeled by a Basis Expansion[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2010,58(11)： 5706-5719.

[4] A SEPTIMUS Y K, AND I BERGEL. A Spectral Approuach to Inter-Carrier Interference mitigation in OFDM Systems[J]. IEEE Transactions on Communications, 2014,62(8)： 2802-2811.

[5] 王薇,殷勤業,穆鵬程. 高移動環境下利用無線信號空域特征實現OFDM系統的ICI消除[J]. 通信學報, 2015(8)：76-82.

[6] 韓華,吳樂南. 基于LSQR算法和加窗技術的判決反饋均衡器[J]. 電路與系統學報, 2010(6)： 117-121.

[7] Paige, Christopher C, Saunders, et al. LSQR： An algorithm for sparse linear equations and sparse least square problems[J]. ACM Trans. Math. Software, 1982(1)： 43-71.

[8] G Golub, C F Van Loan. Matrix Computations[M]. 3rd. Baltimore： The Johns Hopkins University Press, 1996.

[9] TONG J, SCHREIER P J, WELLER S R. Design and Analysis of Large MIMO Systems With Krylov Subspace Receivers[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012,60(5)： 2482-2493.

[10] JUN T, SCHREIER P J. Regularized Preconditioning for Krylov Subspace Equalization of OFDM Systems over Doubly Selective Channels[J]. IEEE Wireless Communications Letters, 2013,2(4)： 367-370.★

趙曉君：助教，碩士畢業于西安電子科技大學，現任職于河北農業大學信息科學與技術學院，主要從事通信信號處理與信號檢測的研究。

曹琲琲：副教授，博士畢業于西安電子科技大學，現任職于西安電子科技大學通信工程學院，主要從事無線通信信號檢測與處理方面的研究工作。

Research on Low-Complexity Detection Algorithm Based on Damped LSQR in OFDM System

ZHAO Xiaojun, CAO Feifei
(1. College of Information Science and Technology of Hebei Agricultural University, Baoding 071001, China; 2. School of Telecommunications Engineering of Xidian University, Xi'an 710071, China)

With the increased scale of the detected symbol in OFDM system, the detection algorithm such as the classic MMSE algorithm suffers from the very high complexity. In order to overcome the drawback, the iterative method is used to replace the matrix multiplication operation in the classic algorithm. The LSQR iterative algorithm was studied and an improved low-complexity detection algorithm was proposed, in which the specifically preprocessed matrix is used to handle the iterative matrix in the damped LSQR iterative algorithm to accelerate the iterative speed and reduce the algorithm complexity. Both the theoretical proof and the simulation results demonstrate that the proposed algorithm can highly reduce the algorithm complexity in the premise of less performance loss compared with MMSE algorithm.

OFDM damped LSQR doubly selective channel low-complexity detection

10.3969/j.issn.1006-1010.2017.16.015

TN919

A

1006-1010(2017)16-0075-06

趙曉君,曹琲琲. OFDM系統下基于阻尼LSQR的低復雜度檢測算法研究[J]. 移動通信, 2017,41(16): 75-80.

國家自然科學基金項目（61102058）

2017-05-25

責任編輯：劉妙 liumiao@mbcom.cn