一類二階拋物型方程初邊值問題解的存在定理

馮艷青,王忠英,姚俊,文傳軍

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院,江蘇常州213000)

一類二階拋物型方程初邊值問題解的存在定理

馮艷青,王忠英,姚俊,文傳軍

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院,江蘇常州213000)

本文研究了一類二階非線性拋物型方程解的存在唯一性問題.利用非線性分析中的吸引盆理論和同胚理論,獲得了相應(yīng)的二階非線性拋物型方程初邊值問題解的大范圍存在唯一性定理.

二階拋物型方程;初邊值問題;吸引盆;全局同胚

1 引言

二階拋物型方程

也被稱為熱傳導(dǎo)方程,其中Δ表示n維拉普拉斯算子.由于在物理、幾何中的廣泛應(yīng)用,許多數(shù)學(xué)工作者都研究過方程(1)解的存在性問題,也得到很多結(jié)果(見文獻(xiàn)[1-5]).

在拋物型偏微分方程解的存在性問題的研究中,一般是先建立一個(gè)可能的解的先驗(yàn)估計(jì),然后利用一些非線性分析的方法證明解的存在性.如Elcart和Sigillito在文[1]中先推導(dǎo)出了拋物算子Lau

的一個(gè)先驗(yàn)估計(jì)kuk2,1≤CkLuk0,進(jìn)而得到了解存在唯一性定理.受到上述思想的啟發(fā),我們將對(duì)二階拋物型算子

建立一個(gè)優(yōu)先估計(jì)

然后利用非線性分析的方法討論方程(1.1)解的存在性問題,并推導(dǎo)出一類二階拋物型方程初邊值問題解的存在唯一性的一個(gè)充分條件.我們的證明不同于Elcart和sigillito給出的證明.一個(gè)有趣的工具,吸引盆,在我們的主要定理2.1的證明中起著重要的作用,下面先給出有關(guān)吸引盆理論的相關(guān)知識(shí).

引理1.1[6]設(shè)E,F為Banach空間,H為E中連通開集.f：H?E→F在H上是局部同胚的C1映射.設(shè)x0∈H,對(duì)于任何x∈H,路徑提升問題有唯一一個(gè)定義在最大開區(qū)間Ix=(t-x,t+x),-∞≤t-x,t+x≤+∞上的連續(xù)解t→γx(t),并且集合{(x,t)∈H×R：t∈Ix}是H×R上的開集,映射(x,t)→γx(t)是連續(xù)的.

定義1.1[6]在引理1.1的假設(shè)條件下,x0的吸引盆是指集合B={x∈H：t+x=+∞}.

定理1.1[8]設(shè)連續(xù)映射f：H?E→F是局部同胚的,則f是全局同胚的充要條件是對(duì)所有的x∈B,γx(t)都定義在實(shí)數(shù)R上,即γx(t)可以向-∞延伸.

2 一些不等式

在這一部分,將推導(dǎo)一些重要的不等式,它們?cè)谥饕ɡ淼淖C明中起著重要作用.考慮二階拋物算子

其中a(x)是t,x1,···,xn的有界函數(shù).設(shè)W0(D)是以

為范數(shù)的Hilbert空間,其中梯度是相對(duì)于空間變量,并且u∈W0(D)意味著u是定義在D=Ω×[0,T]中的;Ω是緊的有界集,其邊界分段光滑且處處有非負(fù)平均曲率;|D2u|2表示關(guān)于空間變量的所有二階導(dǎo)數(shù)的平方和.

記

(2.1)式可以寫為

根據(jù)上述假設(shè)可得L0是一個(gè)由W0(D)映入L2(D)的線性算子.

3 主要定理

下面給出方程

滿足初始條件u(x,0)=0,(x,t)∈?Ω×(0,T)的解的存在性和唯一性的充分條件.

設(shè)?Ω∈C2,對(duì)于所有的(x,t),h關(guān)于u連續(xù),且對(duì)于所有的u,h關(guān)于(x,t)可測(cè),且有直到三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

將式(3.1)改寫為算子形式

于是式(3.1)等價(jià)于

求Frechet導(dǎo)數(shù),于是對(duì)一切u,φ∈W0(D),有

定理3.1假設(shè)

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A EXISTENCE THEOREM FOR SOME SECOND ORDER PARABOLIC INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS

FENG Yan-qing,WANG Zong-ying,YAO Jun,WEN Chuan-jun
(School of Mathematics and Chemical Engineering,Changzhou Institute of Technology, Changzhou 213000,China)

In this paper,an a priori estimate for a second order linear parabolic operators is established.By using the basin of attraction and homeomorphism,a new sufficient condition of the existence and uniqueness of an initial boundary value problem for a second order parabolic equations is proved.This idea can be applied some semi-linear partial dif f erential equations.

second order parabolic equation;initial-boundary value problem;the basin of attraction;homeomorphism

O175

A

0255-7797(2017)05-1075-06

2016-12-01接收日期：2017-03-08

馮艷青(1969-),女,浙江義烏,教授,主要研究方向：微分方程及數(shù)值解.

2010 MR Subject Classif i cation：35K05;35K20