時(shí)間模上四-點(diǎn)邊值問題的三個(gè)正解

喬世東

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

時(shí)間模上四-點(diǎn)邊值問題的三個(gè)正解

喬世東

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

多點(diǎn)邊值問題至少有一個(gè)正解、兩個(gè)正解的存在性研究較多，研究非線性邊值問題至少有三個(gè)正解的存在性。

時(shí)間模；邊值問題；正解；錐；不動(dòng)點(diǎn)定理.

在最近幾年，我們的前期工作[1-3]研究了一些多-點(diǎn)邊值問題如

至少有三個(gè)正解的存在性。

本文研究下面的四-點(diǎn)邊值問題

至少有三個(gè)正解的存在性。設(shè)T是一個(gè)時(shí)間模, a＜ξ＜η＜b。

引理1設(shè)條件是方程（2）的唯一解當(dāng)且僅當(dāng)

引理2設(shè)條件Λ≠0,?≠0,則

故，引理2成立。

下面假設(shè)

引理3設(shè)條件（A1）、（A2）成立,則方程（2）的解u(t)滿足

引理4設(shè)u∈P，則

證明由引理1和引理2，

由引理2和（7）

邊值問題(2)有解u=u(t)，當(dāng)且僅當(dāng)u是下列算子方程的解。

定理1[4](Legget-Williams)設(shè)P是實(shí)巴拿赫空間E的一個(gè)錐,

（2）當(dāng)‖u‖≤p時(shí)，有‖Φu‖≤p；

定理2設(shè)條件(A1)～(A2)成立,又設(shè)存在常數(shù)0＜p＜q≤r滿足:

則邊值問題 (2)至少有三個(gè)正解 u1,u2,u3,滿足u1(ξ)＜p,u2(η )＞q,p＜u3(ξ)當(dāng)u3(η )＜q。

證明定義非負(fù)連續(xù)的凸函數(shù)滿足其中P,λ,μ如同(6),(8),(9),對(duì)所有的。設(shè),則‖u‖≤r,由假設(shè)條件(B1)知

所以，有

定理1的條件（1）滿足。

如果‖u‖≤p,則f(u)＜pm,由條件(B3),

定理1的條件（2）滿足。

定理1的條件（3）滿足。

所以邊值問題(2)至少有三個(gè)正解u1,u2,u3,滿足

[1]張英.時(shí)間模上二階4-點(diǎn)邊值問題的三個(gè)正解的存在性[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，32（2）：1-3.

[2]張英，喬世東.時(shí)間模上一階非線性邊值問題的三個(gè)正解[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010,26（5）：1-3.

[3]張英.時(shí)間模上二階3-點(diǎn)邊值問題的三個(gè)正解[J].北京工商大學(xué)學(xué)報(bào)，2009（5）：15-18.

[4]LEGGET R W,WILLIAMS L R.Multiple Positive Fixed Points of Nonlinear Operators on Ordered Banach Spaces[J].Indiana Univ. Math.,1979（28）:673-688.

Existence of Three Positive Solutions to a Four-point Boundary Value Problems on Time Scales

QIAO Shi-dong
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi，037009)

Some results are obtained for the existence of at least one,two positive solutions of mul-point boundary value problem. In this paper,we study the existence of at least three positive solutions.

time scales;boundary value problem;positive solution;cone;fixed point theorem

175.14

A

〔責(zé)任編輯 高海〕

1674-0874(2017)04-0001-03

2017-03-16

喬世東（1963-），男，山西左云人，碩士，教授,研究方向:代數(shù)與方程。