基于LPZ譜分析法的非高斯脈動風壓模擬

蔣磊,李春祥,鄧瑩

(上海大學土木工程系,上海200444)

基于LPZ譜分析法的非高斯脈動風壓模擬

蔣磊,李春祥,鄧瑩

(上海大學土木工程系,上海200444)

提出一種基于線性預測和Z轉換(linear prediction and Z-transform,LPZ)譜分析法的非高斯脈動風壓模擬算法.運用Johnson變換系統實現高斯隨機過程到非高斯白噪聲的轉換;再使用LPZ對其進行數字濾波,進而得到所需的非高斯脈動風壓.采用基于LPZ譜分析法對單變量非高斯隨機信號和非高斯脈動風壓進行了數值模擬.通過對模擬的非高斯信號和脈動風壓的統計參數(峰度和偏度)與目標統計參數,以及模擬的功率譜與目標功率譜進行比較,驗證了基于LPZ譜分析法的非高斯脈動風壓模擬算法的有效性.

非高斯脈動風壓模擬;線性預測和Z轉換譜分析法;Johnson變換系統;數字濾波

非高斯過程的模擬方法可以分為兩類:第一類是根據任意指定的高階特征統計參數(例如斜度與峰度)及其目標功率譜密度(power spectral density,PSD)函數來實現;第二類是通過任意指定的邊緣概率分布函數(probability density function,PDF)及其目標功率譜密度(PSD)函數來實現.Gurley等[1]、Seong等[2]和Suresh等[3]等在20世紀90年代就開始了第一類非高斯過程的模擬研究.Seong等[4]采用指數峰值模型進行了單變量和多變量非高斯風壓時程的模擬.Suresh等[3,5]基于快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)技術,采用參數較少的指數峰值模型模擬了一維單變量非高斯風壓時程,并用于大跨低矮屋蓋的風振分析.第一類模擬方法過于繁瑣,建立的轉換關系往往為非線性,且在建立過程中并沒有考慮PSD,因而轉換后的PSD可能出現負值.對于第二類非高斯模擬,主要有KLE(Karhunen-Loeve)法[6]和Hermite譜修正法[7-9]等.Yang等[9]通過Hermite PDF模型模擬出了多變量非高斯風壓.Ma等[10]提出了基于增強現實(augmented reality,AR)模型與Johnson逆變換的風壓模擬方法.第二類模擬通常需要采用迭代算法.然而,隨著迭代次數的增加,模擬數值不一定會逐漸逼近目標值,且當迭代到一定次數時,反而可能出現發散現象.針對第一類模擬算法,本工作提出一種基于線性預測和Z轉換(linear prediction and Z-transform,LPZ)譜分析法的非高斯脈動風壓非迭代模擬算法,簡化了已有算法,提高了運算效率與模擬精度.

1 LPZ譜分析法

根據隨機過程理論,表征隨機變量數學特征的統計參數如下:均值(一階)μ=w=表∫示隨機過程的擺動中心,其中p(w)表示隨機過程w的概率密度函數;方差(二階)表示隨機過程在某時刻對于其均值的偏離程度;偏度(三階)是定量描述獨立隨機過程與高斯分布偏離程度的基本量;峰表示分布曲線尖峭或平坦的程度.

高斯過程的偏度為0而峰度為3.偏度不為0或峰度不為3的隨機過程即為非高斯過程.偏度反映了以其平均值為中心的分布的不對稱程度,正偏度表示不對稱部分的分布更趨向正值,負偏度表示不對稱部分的分布更趨向負值.峰度能夠表明時域信號峰值的概率大小,描述了概率密度函數中間部分的尖銳度或平滑度以及尾部的窄度或寬度.當峰度K>3時,表示分布呈高峰度,具有相對多的高峰值和低谷值,此時的非高斯過程稱為超高斯隨機過程(softening non-Gaussian processes).當K<3時,表示分布呈低峰度,具有相對較少的高峰值和低谷值,此時的非高斯過程稱為亞高斯隨機過程(hardening non-Gaussian processes).

把離散的隨機脈動風壓序列{wr|r=0,1,2,···,N-1}作為研究的隨機過程,則表征該隨機脈動風壓的數學統計參數分別為

LPZ譜分析法是FFT的一種替代和改進[11].對于一個有限時間內無限數據序列的離散信號,運用LPZ譜分析法可以避免因FFT的局限性和數據截斷所造成的缺陷和誤差.盡管FFT被普遍認為是信號從時域轉換到頻域的最終機制,但LPZ譜分析法具有更為優良的頻率分辨率和靈敏度.此外,LPZ譜分析法可降噪且不損失分辨率,這是FFT算法無法達到的.正因為優良靈敏度和高分辨率,LPZ譜分析法替代FFT可獲得一些不容易獲得的頻譜信息,提高了模擬計算的準確性.

線性預測(linear prediction,LP)理論表明,每個復值數據點yn可由如下數值點yn+m的線性組合來求得其近似結果:

式中,am為未知線性系數,M為濾波長度,N為采樣點總數.

由式(1)可以推導出無限的數據序列以及由Z轉換定義的相應譜函數S(z):

式中,z=exp(-iωτ),1/τ為采樣率,ω/2π為頻率值.式(2)可以通過式(1)進行簡化,得到LPZ譜分析法公式:

同時,式(1)的PSD函數可表示為

2 Johnson變換系統

Johnson變換系統可將高斯過程轉變為擁有不同偏度和峰度的非高斯序列.基于統計參數算法,Johnson變換系統產生的頻率曲線可用于計算已知四階統計參數的隨機分布.在這一系統中,主要有3種不同形式的頻率曲線:無界系統(unbound system),即有界系統(bounded system),即為高斯隨機序列,η′′為給定偏度與峰度的非高斯隨機序列,γ,δ,ξ和λ為常數,可以通過擬合前四階參數得到.Hill等[12]給出了求解這些常數的公式.

3 基于LPZ譜分析法的非高斯脈動風壓模擬新算法

本工作采用LPZ數字濾波技術[13]和Johnson變換系統,建立基于LPZ譜分析法的非高斯脈動風壓模擬新算法.本算法屬于第一類模擬,即根據任意指定的高階特征統計參數(如斜度與峰度)及其目標功率譜密度(PSD)函數來實現非高斯隨機過程的模擬.

首先假設{ηr}為一組高斯隨機序列,則這組高斯序列可通過有限脈沖響應(finite impulse response,FIR)濾波器表示為

對式(5)的兩邊分別進行LPZ轉換,得到

式中,Ak為高斯序列{ηr}的LPZ轉換形式,Wk為wr的LPZ轉換形式,Hk為系統的轉換方程(或頻率特性),具體等式關系為

其中z=exp(-iωτ),r,k=0,1,2,···,N-1.Hk的逆LPZ轉換形式,即為濾波因子h:

這二者之間的PSD函數存在如下轉化關系:

式中,Sk為所求的非高斯隨機序列PSD函數,而Sη為非高斯白噪聲隨機序列的PSD函數,為常數.隨機生成的高斯序列{ηr},通過Johnson變換系統轉化成擁有一定偏度SSkη和峰度Kη的非高斯白噪聲輸入序列.最后輸出序列中的偏度SSk和峰度K與輸入序列中SSkη和Kη的關系為

綜上所述,為模擬指定偏度SSk、峰度K和PSD函數SSk的非高斯脈動風壓,整個模擬過程如下.

步驟1已知Sk,并令Sη=C(C為常數),使用式(9)求解濾波方程

步驟2使用式(8)求解濾波系數hr.

步驟3已知非高斯序列的峰度K和偏度SSk,使用式(10)和(11)求解原輸入序列,即求解非高斯白噪聲風壓時間序列η的偏度SSkη和峰度Kη.

步驟4通過Johnson變換系統,將隨機生成的高斯序列{ηr}轉換為具有指定偏度SSkη和峰度Kη的非高斯白噪聲隨機序列η.

步驟5已知η和hr,通過方程(5)對步驟4中求出的非高斯白噪聲隨機風壓η進行降噪處理,求出擁有指定偏度SSk、峰度K和PSD函數SSk的非高斯隨機風壓.

4 數值驗證

4.1 白噪聲非高斯信號模擬

首先,對一維單變量白噪聲非高斯信號進行模擬,以驗證上述方法的有效性.選圖1中的目標PSD曲線為所需模擬的非高斯信號目標功率譜密度函數Sk,該頻譜為200～500 Hz上的平直譜,均方根值σ約為5.96 g.由于fu=2 000 Hz,根據采樣定理確定fs= 5 120 Hz,N=4 096,Δf=1.25 Hz.模擬的目標PSD函數為Sk,目標峰度K=7.0,偏度SSk=-1.10.假設Sη=1,由式(10)得Hk=使用式(11)和(12),求得非高斯白噪聲隨機序列η的指定偏度SSkη=-2.33,峰度Kη=17.53.

圖1 濾波輸出后的非高斯白噪聲隨機序列PSD函數F ig.1 PSD function of the fi ltered non-Gaussian white noise randomsequences

通過Johnson變換系統,使隨機生成的高斯序列{ηr}轉換為具有指定偏度SSkη和峰度Kη的非高斯白噪聲隨機序列η,如圖2所示.圖3為非高斯白噪聲隨機序列η的PSD函數.

圖2 Johnson變換系統產生的非高斯白噪聲隨機序列F ig.2 Non-Gaussian white noise randomsequences generated by Johnson translator system

經過FIR濾波器的降噪過濾,輸出的非高斯脈動風壓如圖4所示,其偏度和峰度分別為-1.06與7.08,與目標偏度SSk=-1.10和峰度K=7.0相差很小.圖1為濾波輸出后的非高斯脈動風壓的PSD函數與目標PSD函數的對比,發現二者吻合很好.值得指出的是,該信號模擬過程中的功率譜屬于分貝頻率坐標設置下的形式,與線性頻率坐標下的PSD不為負數并不沖突.因此,本工作中非高斯脈動風壓模擬將使用線性坐標.

圖3 Johnson變換系統產生的非高斯白噪聲隨機序列PSD函數F ig.3 PSD function of the non-Gaussian white noise randomsequences generated by Johnson translator system

圖4 濾波輸出后的非高斯白噪聲隨機序列Fig.4 Filtered non-Gaussian white noise randomsequences

4.2 非高斯脈動風壓模擬與算法對比

下面進行一維單變量非高斯脈動風壓的模擬.使用李錦華等[14]推導出的脈動風壓功率譜方程模擬符合目標脈動風壓功率譜、偏度和峰度的非高斯風壓.Davenport水平脈動風速功率譜為

表1 相關模擬參數Tab le 1 Related simu lation parameters

圖5為通過Johnson變換系統轉換得到的非高斯白噪聲風壓.圖6為非高斯白噪聲隨機風壓的PSD函數.經過FIR濾波器的降噪過濾,輸出的非高斯脈動風壓如圖7所示,其偏度和峰度分別為-2.49與4.77,與目標偏度SSk=-2.4和峰度K=4.8非常接近.圖8為濾波輸出后的非高斯脈動風壓的PSD函數,與目標PSD函數吻合良好.

圖5 Johnson變換系統產生的非高斯白噪聲脈動風壓Fig.5 Non-Gaussian white noise fluctuating w ind pressure generated by Johnson translator system

圖6 Johnson變換系統產生的非高斯白噪聲脈動風壓PSD函數Fig.6 PSD function of the non-Gaussian white noise fluctuating w ind pressure generated by Johnson translator system

5 結束語

本工作提出了一種基于LPZ譜分析法的非高斯脈動風壓模擬新算法,即運用Johnson變換系統實行高斯隨機過程到非高斯白噪聲的轉換,再使用LPZ譜分析實現了非高斯白噪聲譜到目標譜的轉化.模擬譜與目標譜基本一致,偏度、峰度值與目標值近似,故而所模擬的非高斯脈動風壓與目標風壓趨于一致.

圖7 濾波輸出后的非高斯白噪聲脈動風壓Fig.7 Filtered non-Gaussian white noise fluctuating w ind pressure

圖8 模擬非高斯白噪聲脈動風壓PSD函數與目標PSD函數的比較Fig.8 Comparisons of the PSD function of the simulated and the target non-Gaussian white noise fluctuating w ind pressure

通過MATLAB編程,使用本算法分別對非高斯隨機信號和非高斯脈動風壓進行了模擬.通過比較模擬非高斯脈動風壓的統計參數(峰度與偏度)與目標統計參數,以及模擬功率譜與目標功率譜,驗證了本算法的有效性.

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Simu lation of non-Gaussian fl uctuating w ind pressu re based on LPZ spectral analysis

JIANG Lei,LIChunxiang,DENG Ying
(Department of Civil Engineering,Shanghai University,Shanghai 200444,China)

This paper presents an algorithmbased on linear prediction and Z-transform(LPZ)spectralanalysis to simulate non-Gaussian fluctuating w ind pressure.The Gaussian process is converted into a non-Gaussian white noise process by Johnson translator system. The non-Gaussian white noise process is then fi ltered with LPZ spectral analysis to obtain fluctuating w ind pressure.The univariate non-Gaussian randomsignals and non-Gaussian fluctuating w ind pressure are simulated using the algorithm.By comparing the statistical parameters including skewness,kurtosis and power spectral density of the non-Gaussian white noise process and fl uctuating w ind pressure with their target values,it is confi rmed that the algorithmbased on LZP spectral analysis can eff ectively simulate non-Gaussian fluctuating w ind pressure.

non-Gaussian fl uctuating w ind pressure simu lation;linear prediction and Z-transform(LZP)spectral analysis;Johnson translator system;digital fi lter

TU 311

A

1007-2861(2017)04-0600-09

DO I:10.12066/j.issn.1007-2861.1852

2016-09-30

國家自然科學基金資助項目(51378304)

李春祥(1964—),男,教授,博士生導師,博士,研究方向為結構振動控制、結構風工程、結構抗震.

E-mail:Li-chunxiang@vip.sina.com