基于數(shù)學(xué)活動的抽象策略探析

江蘇南京市浦口區(qū)城東小學(xué) 趙瑞生

基于數(shù)學(xué)活動的抽象策略探析

江蘇南京市浦口區(qū)城東小學(xué) 趙瑞生

“抽象”是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，它既是數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的思維活動，也是數(shù)學(xué)活動中最基本的思維方法。針對具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在體驗中抽象、在操作中抽象、在比較中抽象、在探究中抽象、在創(chuàng)新中抽象等，長期訓(xùn)練，不僅有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、學(xué)會抽象的方法，還將有助于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

數(shù)學(xué)活動 抽象 創(chuàng)新 策略

“數(shù)學(xué)教學(xué)不能停留在直觀和操作的水平，必須發(fā)展到‘形式化’階段，在抽象的層次上思維。”數(shù)學(xué)中的抽象指的是 “抽取事物在量的關(guān)系和空間形式等方面的本質(zhì)屬性。”“抽象”是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，它既是數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的思維活動，也是數(shù)學(xué)活動中最基本的思維方法。不僅“數(shù)學(xué)知識”的形成依賴于抽象，從歷史的角度來看，數(shù)學(xué)的發(fā)展也是人類不斷抽象的結(jié)果。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合具體的內(nèi)容，設(shè)計體驗、操作、比較、探究、創(chuàng)新等活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象過程，不僅能獲取抽象的數(shù)學(xué)知識，還將學(xué)會如何抽象以及感悟數(shù)學(xué)抽象的基本特征，促進數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

一、在體驗中抽象

體驗是指學(xué)生在親身經(jīng)歷的活動中獲得的數(shù)學(xué)理解、情感體驗以及生成新意義的過程。長期以來，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)比較多地停留在知識教學(xué)的層面，數(shù)學(xué)知識只是作為一個符號留在學(xué)生的記憶深處，而沒有引起學(xué)生強烈的情感體驗和內(nèi)在感受。走進教室的學(xué)生不是一張白紙，他們在生活中已經(jīng)積累了一些關(guān)于數(shù)學(xué)的知識和初始經(jīng)驗。盡管這些“初始經(jīng)驗”可能“模糊、膚淺、零散、混亂”，甚至可能還沒有明確的數(shù)學(xué)意義，但卻是學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考不可或缺的基礎(chǔ)。設(shè)計數(shù)學(xué)體驗活動，可以嘗試從學(xué)生的“初始經(jīng)驗”入手。因為學(xué)生對熟悉的內(nèi)容會感到親切，接下來的學(xué)習(xí)就會覺得有趣并樂于接受挑戰(zhàn)。

如教學(xué) “分數(shù)的初步認識”（把一個蛋糕平均分為2份，每份是它的二分之一）時，可以先讓學(xué)生用圓片代替蛋糕折一折、畫一畫，接著讓學(xué)生演示。演示中，會出現(xiàn)兩份一樣大或者一份大一份小的情況。再讓學(xué)生解釋為什么這樣操作，你認為哪種折法是對的？在比較、辨別中，學(xué)生理解了“平均分成2份”的意思是分成的兩份要一樣大。這兩份分別叫作“一等份”“一等份”，合起來就是“兩等份”，其中的一等份占兩等份的二分之一。這就是把一個蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一的數(shù)學(xué)含義。

小學(xué)生由于受到年齡特征和知識水平的限制，往往不能參加“純抽象”的數(shù)學(xué)活動，通常要借助有趣和有數(shù)學(xué)味的已有經(jīng)驗，借助“直觀”進行“抽象”。本例中，學(xué)生經(jīng)驗中相等的“半個”“大半個”“小半個”是在生活中積累起來的。通過“折一折”，認識活動本身與學(xué)生的原始經(jīng)驗發(fā)生了關(guān)聯(lián)，在好奇心、求知欲的參與下，經(jīng)驗被激活，學(xué)生基于自己的理解表達出了心中的二分之一。在 “辯一辯”環(huán)節(jié)，學(xué)生的情感與思維更是介入了對這個知識的理解，有同學(xué)會發(fā)現(xiàn)自己的錯誤并及時改正，主動吸納別人的方法。活動的結(jié)果，除了收獲了對所學(xué)知識產(chǎn)生的情感體驗外，還生成了對二分之一的理解。錯誤的原始經(jīng)驗得到改造，成為同化新知的基礎(chǔ)。學(xué)生在新的基礎(chǔ)上，逐步理解了諸如三分之一、四分之一、五分之一等的含義，此時再抽象出“分子”“分母”的意義，初步認識分數(shù)。

二、在操作中抽象

“兒童的智慧集中在指尖上。”學(xué)生在操作時，手指間的觸覺產(chǎn)生的刺激能迅速傳遞給大腦，引起大腦的興奮，從而產(chǎn)生思考的愿望。操作后，要求學(xué)生離開具體的實物，腦中把剛才的操作過程回憶出來，根據(jù)操作中獲得的具體經(jīng)驗和形成的表象，進行分析、綜合、比較等思維活動，并及時抽象，獲取數(shù)學(xué)知識。

如學(xué)習(xí)“長方形的面積計算”時，我首先安排操作：用幾個1平方厘米的正方形擺出3個不同的長方形，并填寫下表。

長方形 長/cm 寬/cm 正方形/個 面積/cm21號2號3號

然后引導(dǎo)學(xué)生思考這樣幾個問題：長方形的長和寬與什么有關(guān)系？小正方形的個數(shù)與什么有關(guān)系？小正方形的個數(shù)與長方形的面積有什么關(guān)系？

接著，安排第二次操作：用1平方厘米的正方形量出下面長方形（長5cm、寬3cm）的面積并交流拼擺的方法。依次交流：全部擺滿，每行擺5個，擺了3行，一共擺了15個小正方形，面積是15cm2。不擺滿，第一行擺5個，擺3行，面積是15cm2。不用擺，直接在腦子里想擺的過程：長5cm，一行可以擺5個；寬3cm，擺3行；面積是15cm2。比較三種方法，可以得出：不用親自去擺，只要在腦子里想擺的過程，就可以推算出長方形的面積。

最后，讓學(xué)生推算長方形的面積。如長12分米，寬8分米；長8米，寬6米。交流推算過程。可以這樣想：根據(jù)長是（ ），知道每行擺（ ）個；根據(jù)寬是（ ），知道擺了（ ）行；面積單位的個數(shù)有（ ）個，長方形的面積是（ ）。在此基礎(chǔ)上，總結(jié)長方形的面積計算方法。

抽象是 “過程的內(nèi)化、壓縮到對象化的轉(zhuǎn)變過程”。“過程的內(nèi)化”是一個操作過程。本例中，通過第一次操作，發(fā)現(xiàn)三組關(guān)系：長方形的長和寬與每行擺的個數(shù)、擺的行數(shù)的關(guān)系；小正方形個數(shù)與長和寬的關(guān)系；長方形的面積與長和寬的關(guān)系。“壓縮”是把熟悉的操作過程轉(zhuǎn)化為一種心理操作，可以離開實物進行。通過第二次操作，發(fā)現(xiàn)可以“想擺的過程”：知道長是幾，就知道每行擺幾個；知道寬是幾，就知道可以擺幾行，求面積單位的個數(shù)可以借用“長×寬”算出來。“對象化”則是徹底擺脫具體實物的限制，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后隱藏的規(guī)律（即長方形的面積計算公式），從整體上把過程的實質(zhì)抽取出來。

三、在比較中抽象

有比較才有鑒別。比較是區(qū)別對象的相同和相異時常用的方法。運用比較的方法不能僅僅局限在同類對象或某一對象的不同側(cè)面，不同類對象之間也可以進行比較。教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性和探索性的問題或情境，引導(dǎo)學(xué)生進行比較，既可以促進學(xué)生深度理解和掌握知識，還能促進學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展。如教學(xué)“異分母分數(shù)的加減法”時，計算“”，可以安排三次比較。第一次比較，突出每種方法的特點以及它們之間的聯(lián)系。學(xué)生嘗試后通常會有三種方法。第一種：先折出，再折出，通過操作可以看出在比較中，學(xué)生明白了：第一種是折紙，后兩種是轉(zhuǎn)化。第二種是把分數(shù)化成小數(shù)，第三種是“通分”，這時讓學(xué)生閱讀教材，理解什么是通分。后兩種算法雖然不同，但相同之處都是把不同的單位化成相同的單位，然后再相加。第二次比較，體驗通分方法的普適性。可以安排學(xué)生計算類似的算式，并再次比較。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)折紙不方便，如果分數(shù)不能化成有限小數(shù)，化分數(shù)為小數(shù)結(jié)果不準確，而通分能適應(yīng)各種情況，既簡單又方便。第三次比較，體驗整、小數(shù)加減法與分數(shù)加減法之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)加、減法運算的本質(zhì)，是在單位相同的基礎(chǔ)上，單位個數(shù)的加與減。

學(xué)生通過自主探索得到的方法是個體的 “創(chuàng)造”，這樣的學(xué)習(xí)成果既包含個體對數(shù)學(xué)的理解，更體現(xiàn)了可貴的探索因子，但個體的成果還需在比較中優(yōu)化。第一次比較，各種算法在交流中顯現(xiàn)各自的特點。第二次比較，會發(fā)現(xiàn)各種算法的長處與不足，會發(fā)自內(nèi)心地覺得“通分”方便，自覺進行算法優(yōu)化。有了這樣的體驗過程，在計算中就會主動使用“通分”的方法。第三次比較，會發(fā)現(xiàn)各種加減法計算的本質(zhì)相同——都是 “相同單位的數(shù)相加減”。此時的例題教學(xué)已經(jīng)從單一的異分母分數(shù)計算深入到探索已學(xué)過的所有加減法之間的內(nèi)在聯(lián)系，在掌握新知的同時更加著力于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

四、在探究中抽象

“猜想—驗證是探究教學(xué)的核心成分。”探究有沒有方向以及能否持續(xù)進行，關(guān)鍵在于能不能提出假設(shè) (猜想)。如果能提出解決問題的假設(shè)，探究就會進行下去，否則，探究就無從進行或陷入盲目的“試錯”活動。因為有了假設(shè)，就會形成一種懸而未決但又必須解決的求知狀態(tài)，就能激發(fā)學(xué)生的認知沖動和創(chuàng)造性思維，學(xué)生就會針對假設(shè)搜集資料、尋找證據(jù)，開展驗證假設(shè)的活動，對各種假設(shè)做出合理解釋，直至找到問題的答案。

如教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”時，由于已經(jīng)學(xué)了2和5的倍數(shù)的特征，受思維定勢的影響，學(xué)生自然認為3的倍數(shù)的特征也和個位上的數(shù)字有關(guān)。因此，做出類比猜想：“個位上是0、3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)。”舉例驗證，發(fā)現(xiàn)猜想是錯誤的，同時也可以得出結(jié)論：不能僅憑個位上的數(shù)字來判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)。那又該從什么角度思考呢？學(xué)生產(chǎn)生了新的認知沖突。此時，可以安排如下的教學(xué)過程：（1）猜想。出示百數(shù)表，按順序找出3的倍數(shù)并圈出來，自己觀察，大膽猜想3的倍數(shù)有什么特征；（2）交流。組內(nèi)交流、小組匯報，得出結(jié)論：各個數(shù)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)；（3）驗證。百以內(nèi)3的倍數(shù)有這樣的特征，百以上的數(shù)呢？引導(dǎo)學(xué)生想出驗證的方法，在小組內(nèi)對猜想進行驗證；（4）辨析。不是3的倍數(shù)的數(shù)會不會也有這樣的特征；（5）總結(jié)。各數(shù)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)一定是3的倍數(shù)。經(jīng)歷上述過程，學(xué)生不僅學(xué)到了數(shù)學(xué)知識，還在不知不覺中學(xué)習(xí)了科學(xué)的探究方法，獲得類比可能無效、碰壁后需要改變策略等的寶貴經(jīng)驗。

“2和5的倍數(shù)”的特征和“3的倍數(shù)”的特征真的沒有聯(lián)系嗎？為什么判斷“2和5的倍數(shù)”只要看個位？而判斷“3的倍數(shù)”卻需要看各數(shù)位上數(shù)字之和呢？因為一個整十、整百、整千數(shù)一定是2和5的倍數(shù)，如一個三位數(shù)472，可以寫成：100×4+10×7+2，100×4+10×7一定是2和5的倍數(shù)，所以只要看個位上的數(shù)字。472=100×4+10×7+2=99×4+9×7+ (4+7+2)，99×4+9×7一定是3的倍數(shù)，而(4+7+2)就是各數(shù)位上數(shù)字之和。如果一個三位數(shù)用100a+10b+c表示(想想為什么)，你會推理嗎？如果是四位數(shù)呢？

根據(jù)“2和5的倍數(shù)”的特征類推出“3的倍數(shù)”的特征，原本容易產(chǎn)生負遷移，卻因深究其內(nèi)在本質(zhì)而聯(lián)系起來，這樣探究的價值在于引導(dǎo)學(xué)生透過表面看到知識的內(nèi)在規(guī)律，經(jīng)過這樣的感染與訓(xùn)練，將促進學(xué)生認識數(shù)學(xué)的理性特征。

五、在創(chuàng)新中抽象

“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。”學(xué)生與生俱來就有探究的興趣和愿望，因而結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新符合學(xué)生個體內(nèi)在的發(fā)展需要。數(shù)學(xué)學(xué)科特有的直觀與抽象、邏輯嚴密和廣泛運用，為學(xué)生發(fā)揮潛能、進行創(chuàng)新提供了廣闊的空間。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要喚醒學(xué)生固有的天性，以教學(xué)創(chuàng)新帶動師生關(guān)系、學(xué)習(xí)方式等方面的實質(zhì)性變革，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程，真正獲得富有生命活力的數(shù)學(xué)知識，將知識的獲得過程和生命的提升過程協(xié)調(diào)起來，讓每個學(xué)生的自由個性獲得可持續(xù)性發(fā)展。

如教學(xué)“兩位數(shù)乘一位數(shù)”，首先呈現(xiàn)情境：湖面上飛過3隊大雁，每隊12只。一共有多少只？學(xué)生列出算式12× 3后，讓學(xué)生先用小棒擺一擺，再說說可以怎樣算。因為小棒操作直觀形象，突出了計算原理，所以學(xué)生會有如下的算法。方法1：12+12+12=36；方法2：3個2是6，3個10是30，合起來是36；方法3：2×3=6，10×3=30，6+30=36。這三種不同的想法之間是相互聯(lián)系的，為接下來理解豎式計算的過程做好了鋪墊和準備。

接著，要求學(xué)生把這樣的想法寫成豎式。學(xué)生通常會這樣寫：

學(xué)生解釋了每個豎式的意義后，提出新的要求：計算是有一定速度要求的，寫三個豎式很麻煩，能不能把它們合并在一個豎式里？

解釋豎式2每一步的意義，著重討論“+”能不能省去不寫。因為寫“+”表示求和，“+”省去不寫，大家也明白算的是加法，所以“+”可以省去。

進一步指出：“0”也可以省去不寫。因為第二步算10× 3=30，可以看成1(個十)×3=3(個十)，所以“0”省去不寫。但是，“3”必須寫在十位上。這樣就把“兩位數(shù)乘一位數(shù)”變成了兩次“一位數(shù)乘一位數(shù)”，一次是2×3，另一次是1(個十)×3，方便計算。

這個豎式還可以簡化(見豎式4)。在這個豎式中，你能看出第一步算什么嗎？第二步呢？合起來是多少？

在此基礎(chǔ)上，觀察簡便豎式，抽象概括計算方法。先用一位數(shù)乘兩位數(shù)的個位，積的末尾寫在個位上；再用一位數(shù)乘兩位數(shù)的十位，積的末尾寫在十位上。按照這個步驟演算就能得到計算的結(jié)果。經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生不僅理解了兩位數(shù)乘一位數(shù)計算法則的推導(dǎo)過程，還經(jīng)歷了一次從已知到未知，從特殊歸納出一般的抽象體驗。

獲取數(shù)學(xué)知識需要抽象，學(xué)會抽象的方法更要融入具體的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)過長期訓(xùn)練，學(xué)生將逐步獲得“抽象”這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的法寶，實現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。?

[1]張奠宙，李士锜，李俊．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論［M］．北京：高等教育出版社，2003.

[2]侯正海，徐文彬．試論小學(xué)數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的時機把握［J］．課程·教材·教法，2013（09）．

[3]李士锜．PME:數(shù)學(xué)教育心理［M］．上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

[4]岳欣云，董宏建．探究式教學(xué)的“扶”“放”之度與層次性——由一則小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例引發(fā)的思考［J］．課程·教材·教法，2013（07）．