基于點(diǎn)云幾何約束的仿真安裝探討

黃 楠，岳建平

（1.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 211100）

基于點(diǎn)云幾何約束的仿真安裝探討

黃 楠1，岳建平1

（1.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 211100）

面向工業(yè)檢測(cè)領(lǐng)域進(jìn)行了基于點(diǎn)云幾何約束的工業(yè)仿真安裝探討。以4個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)約束作為誤差方程，有效避免了由于初始值與實(shí)際參數(shù)偏差較大而出現(xiàn)的迭代不收斂情況。將特征點(diǎn)云幾何約束參數(shù)化表達(dá)，并附加到旋轉(zhuǎn)矩陣的正交條件中作為限制條件，采用附有限制條件的間接平差迭代求解未知參數(shù)，從而構(gòu)建了工業(yè)仿真安裝中基于幾何約束的完整數(shù)學(xué)模型。通過(guò)對(duì)中隔板兩幅點(diǎn)云影像附加共面約束進(jìn)行配準(zhǔn)，并分析相應(yīng)特征面的配合質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)了仿真安裝探討。

幾何約束；仿真安裝；特征點(diǎn)云

大型工業(yè)鋼結(jié)構(gòu)交付前需進(jìn)行大規(guī)模的試組裝，并對(duì)構(gòu)件配合質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)。傳統(tǒng)的試組裝通常單純依靠人力來(lái)完成，從而導(dǎo)致其組裝周期長(zhǎng)﹑成本高以及自動(dòng)化程度低，無(wú)法滿足工業(yè)需求[1]。隨著三維激光掃描技術(shù)的快速發(fā)展和逆向工程技術(shù)的日益成熟，工業(yè)檢測(cè)領(lǐng)域開(kāi)始研究將三維激光掃描技術(shù)應(yīng)用于工業(yè)仿真安裝的可能性[2]。

工業(yè)構(gòu)件的仿真安裝中涉及大量的幾何約束，如孔軸約束﹑面面耦合﹑點(diǎn)面約束等。建立統(tǒng)一有效的數(shù)學(xué)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)幾何約束的完整表達(dá)是工業(yè)仿真安裝迫切需要解決的問(wèn)題。目前，仿真安裝的基本思路是建立工業(yè)構(gòu)件特征面﹑孔軸之間的幾何約束關(guān)系，實(shí)現(xiàn)幾何約束的參數(shù)化表達(dá)，進(jìn)而將幾何約束條件方程化，通過(guò)求解約束方程得到安裝構(gòu)件之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)。

1 點(diǎn)、線、面幾何約束條件及方程化

在工業(yè)仿真安裝中，工業(yè)構(gòu)件特征面之間的幾何約束是非常復(fù)雜且難以表達(dá)的。本文將復(fù)雜的幾何約束歸結(jié)為點(diǎn)面約束﹑線面約束﹑面面約束和點(diǎn)線約束，實(shí)現(xiàn)了幾何約束的完整表達(dá)。以兩個(gè)空間平面共面約束為例，闡述幾何約束條件及其方程化。

設(shè)p1和p2為具有共面約束的兩個(gè)平面，其中p1方程為t1x+t2y+t3z+t4=0，法線向量為n1=(t1, t2, t3)，已知點(diǎn)為A(x1, y1, z1)；p2方程為e1x+e2y+e3z+e4=0，法線向量為n2=(e1, e2, e3)，已知點(diǎn)為B(x2, y2, z2)。

令H為齊次坐標(biāo)變換矩陣，其形式為：

式中，R為姿態(tài)變換矩陣，即旋轉(zhuǎn)矩陣且為正交矩陣；D為平移向量。

1.1 點(diǎn)在平面內(nèi)

設(shè)B(x2, y2, z2)經(jīng)坐標(biāo)變換[3]后得到B′(x′2, y′2, z′2)，由共面約束可知點(diǎn)B′在p1上。

1）對(duì)B′進(jìn)行坐標(biāo)變換。

2）將B′帶入p1平面方程得到約束方程，即

1.2 法線平行

設(shè)p2的法線向量n2=(e1, e2, e3)經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后得到n2′=(e1′, e2′, e3′)，由法線平行約束可得到約束方程為：

其矩陣形式為：

由于旋轉(zhuǎn)矩陣R的9個(gè)參數(shù)中只有3個(gè)是獨(dú)立量，且旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣，所以9個(gè)方向參數(shù)應(yīng)滿足式（7）。

2 幾何約束模型的建立及求解

幾何特征約束模型[4]以4個(gè)公共點(diǎn)約束作為誤差方程，將幾何約束方程加入?yún)?shù)方程中構(gòu)成附有限制條件的間接平差[5]，通過(guò)迭代計(jì)算求解未知參數(shù)。其通用數(shù)學(xué)模型為：

2.1 附有限制條件的間接平差模型線性化

附有限制條件的間接平差的一般方程為：

令l=L0- F(X0)，得到線性化方程組V=B- l。

同理將約束方程組按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，取至一次項(xiàng)為：

將誤差方程組按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，取至一次項(xiàng)為：

令Wx=φ(X0)，得到相應(yīng)線性化方程組C+Wx=0。

2.2 幾何約束模型的求解

將式（10）﹑（11）聯(lián)立，按附有限制條件的間接平差迭代求解，令NBB=BTB，W=BTl，解得：

本文運(yùn)用Matlab 2012實(shí)現(xiàn)該算法，過(guò)程中涉及到的矩陣求逆運(yùn)算矩陣均采用廣義逆矩陣函數(shù)pinv( )，以避免因矩陣條件數(shù)過(guò)大而無(wú)法得到精確解。由于本模型將4個(gè)公共點(diǎn)作為誤差方程，可有效避免出現(xiàn)迭代不收斂的情況。迭代閾值設(shè)置為≤10-6，最終求得未知參數(shù)。通常初始值可按如下設(shè)置：

3 仿真安裝實(shí)驗(yàn)

3.1 點(diǎn)云數(shù)據(jù)的采集

為驗(yàn)證本文算法在工業(yè)仿真安裝中的應(yīng)用效果，采用三維激光掃描儀對(duì)一中隔板獲取兩幅點(diǎn)云影像。由于兩幅點(diǎn)云影像拼接面之間存在幾何約束，本文以幾何約束配準(zhǔn)來(lái)模擬仿真安裝。第一幅點(diǎn)云影像中包含605 066個(gè)點(diǎn)；第二幅點(diǎn)云影像中包含491 459個(gè)點(diǎn)。點(diǎn)云影像中紅色部分為特征面點(diǎn)云，第一幅點(diǎn)云中包含特征點(diǎn)云365 478個(gè)，第二幅中包含60 060個(gè)。實(shí)驗(yàn)中以第一幅點(diǎn)云影像為基準(zhǔn)，以第二幅影像為配準(zhǔn)影像。

圖1 第二幅點(diǎn)云影像

圖2 第一幅點(diǎn)云影像

3.2 點(diǎn)云影像中4個(gè)公共點(diǎn)的提取

將兩幅點(diǎn)云影像分別導(dǎo)入Geomagic Qualify 2012[6]中，利用分析功能的點(diǎn)坐標(biāo)提取4個(gè)公共特征點(diǎn)。特征點(diǎn)坐標(biāo)如表1所示。

表1 兩幅點(diǎn)云影像公共特征點(diǎn)

3.3 特征面約束參數(shù)的提取

將掃描數(shù)據(jù)導(dǎo)入Geomagic Studio 2010中，分別截取圖1﹑圖2中的特征面點(diǎn)云影像即圖中紅色部分作為基準(zhǔn)面影像和配準(zhǔn)面影像。采用平面擬合理論擬合兩 個(gè)空間約束平面方程，具體參數(shù)如表2所示。

表2 特征面約束參數(shù)

3.4 約束模型的建立及解算

為驗(yàn)證幾何約束對(duì)求解參數(shù)的影響，本文在求解過(guò)程中分別考慮未加入幾何約束﹑只加入法線平行約束﹑加入法線平行和點(diǎn)在平面內(nèi)約束3種情況[7]。圖3﹑ 4分別為加入法線和點(diǎn)在平面內(nèi)約束后的俯視圖和正視圖。具體求解參數(shù)見(jiàn)表3。

圖3 基于幾何約束配準(zhǔn)俯視圖

圖4 基于幾何約束配準(zhǔn)正視圖

表3 約束參數(shù)

3.5 結(jié)果分析

將配準(zhǔn)影像中的特征點(diǎn)云影像導(dǎo)入Geomagic Qualify 2012中，通過(guò)統(tǒng)一重采樣（設(shè)置采樣間隔為5 mm）使特征點(diǎn)云由60 060個(gè)縮減為431個(gè)。利用本模型求解的參數(shù)將特征點(diǎn)云轉(zhuǎn)換到基準(zhǔn)影像坐標(biāo)系下，并計(jì)算配準(zhǔn)影像特征面點(diǎn)云經(jīng)轉(zhuǎn)換后到基準(zhǔn)影像特征面的距離，如圖5所示。

圖5 配準(zhǔn)后影像到基準(zhǔn)影像特征面的距離

由圖5可知，配準(zhǔn)影像經(jīng)轉(zhuǎn)換后各點(diǎn)到基準(zhǔn)影像特征面的距離均小于3.5 mm，平均距離為1.414 6 mm，鑒于三維激光掃描儀的儀器誤差和噪聲點(diǎn)對(duì)結(jié)果的影響，實(shí)際精度應(yīng)高于實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)將工業(yè)仿真安裝中涉及的特征面之間的幾何特征約束方程化，實(shí)現(xiàn)了幾何特征約束的統(tǒng)一數(shù)學(xué)表達(dá)。以幾何約束和參數(shù)正交條件作為限制條件構(gòu)建幾何約束數(shù)學(xué)模型，采用附有限制條件的間接平差進(jìn)行迭代求解，實(shí)現(xiàn)了工業(yè)構(gòu)件仿真安裝的模擬實(shí)驗(yàn)。通過(guò)對(duì)配合特征面配合距離分析來(lái)衡量仿真安裝結(jié)果，達(dá)到了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，能滿足一定的工業(yè)檢測(cè)要求。

實(shí)驗(yàn)中由于未考慮掃描儀精度和點(diǎn)云噪聲點(diǎn)對(duì)模型計(jì)算精度的影響，尚不能完整地對(duì)工業(yè)仿真安裝質(zhì)量做出結(jié)論。同時(shí)由于本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)模型不具代表性，無(wú)法對(duì)仿真安裝中的裝配面間隙﹑貼合面貼合率和孔軸對(duì)齊關(guān)系做出定量比較。

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B

1672-4623（2017）09-0019-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2017.09.006

2016-07-12。

項(xiàng)目來(lái)源：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（41174002）。

黃楠，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榫芄こ虦y(cè)量。