執(zhí)行器和和傳感器同時發(fā)生隨機(jī)故障的 網(wǎng)絡(luò)切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制

劉永慧， 蘇慶堂

(1. 上海電機(jī)學(xué)院 電氣學(xué)院, 上海 201306; 2. 魯東大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院， 山東 煙臺 264025)

執(zhí)行器和和傳感器同時發(fā)生隨機(jī)故障的 網(wǎng)絡(luò)切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制

劉永慧1， 蘇慶堂2

(1. 上海電機(jī)學(xué)院 電氣學(xué)院, 上海 201306; 2. 魯東大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院， 山東 煙臺 264025)

考慮了狀態(tài)不可測時一類網(wǎng)絡(luò)切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制。 控制系統(tǒng)的執(zhí)行器和傳感器同時故障，且每個通道的數(shù)據(jù)丟失概率由區(qū)間[0,θ](θ≥1)上滿足隨機(jī)分布的一個隨機(jī)變量來描述, 因此，故障模型更具有一般性。 設(shè)計(jì)一個基于狀態(tài)觀測器的反饋控制器； 運(yùn)用平均駐留時間方法, 給出了系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定并滿足給定H∞性能的充分條件。 數(shù)值仿真驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方法的有效性。

切換系統(tǒng)；H∞控制； 執(zhí)行器/傳感器故障； 平均駐留時間

伴隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展, 越來越多的信息采用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳輸, 這是由于網(wǎng)絡(luò)傳輸具有成本低、安裝維護(hù)簡易等優(yōu)點(diǎn)。 然而, 控制系統(tǒng)中網(wǎng)絡(luò)的介入也帶來了丟包、時間滯后以及數(shù)據(jù)量化等問題。 因此, 網(wǎng)絡(luò)控制一直備受關(guān)注[1-3]。 需要注意的是，上述結(jié)果是在系統(tǒng)完全實(shí)現(xiàn)的條件下得到的, 即所有元件正常工作， 但是，由于元件磨損老化等原因, 執(zhí)行器或傳感器故障不可避免, 從而破壞系統(tǒng)的性能甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。 因此, 設(shè)計(jì)一個能夠承受執(zhí)行器和傳感器故障以及數(shù)據(jù)丟包的容錯控制器很有必要。

過去10年中, 沒有網(wǎng)絡(luò)介入的系統(tǒng)的可靠控制已經(jīng)得到了深入研究[4-6]。 需要注意的是，上述結(jié)論中考慮的故障模型都是靜態(tài)的且僅考慮了執(zhí)行器故障, 對傳感器故障的研究則相對較少[7-8]。 然而, 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中執(zhí)行器/傳感器故障大都是隨機(jī)動態(tài)的[9-12]。 文獻(xiàn)[9-10]中在傳感器故障滿足0～1分布的情況下研究了離散系統(tǒng)的數(shù)據(jù)丟失問題； 之后, 文獻(xiàn)[11]中進(jìn)一步討論了隨機(jī)離散系統(tǒng)的魯棒H∞濾波控制，并將隨機(jī)變量的分布推廣到區(qū)間[0,1]； 文獻(xiàn)[12]中對故障模型作了進(jìn)一步的推廣, 同時考慮了執(zhí)行器和傳感器故障，并且每個通道的隨機(jī)故障由滿足[0,θ](θ≥1)分布的一個隨機(jī)變量給出。

另一方面, 在過去20年中, 切換系統(tǒng)備受關(guān)注。這主要有兩個原因：① 很多實(shí)際系統(tǒng)模型，如電機(jī)、航空系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)等[13]可以由切換系統(tǒng)來描述；② 為了克服傳統(tǒng)的單一控制器的缺點(diǎn), 很多基于切換思想的智能控制方法得到廣泛應(yīng)用。 近期, 沒有網(wǎng)絡(luò)介入的切換系統(tǒng)的可靠控制開始受到研究人員的關(guān)注[14-17]。 然而, 上述結(jié)果中也僅考慮了執(zhí)行器故障。 此外, 由于切換系統(tǒng)的特殊結(jié)構(gòu)以及執(zhí)行器和傳感器同時發(fā)生隨機(jī)故障, 現(xiàn)有的結(jié)論不能簡單地推廣到網(wǎng)絡(luò)切換系統(tǒng)。

基于上述考慮, 本文考慮了一類網(wǎng)絡(luò)切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制。 本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要有以下兩方面: ① 假設(shè)隨機(jī)故障在執(zhí)行器和傳感器中同時發(fā)生， 此外, 每個通道的數(shù)據(jù)丟失概率由區(qū)間[0,θ](θ≥1)上滿足隨機(jī)分布的隨機(jī)變量θ描述;θ既表示執(zhí)行器/傳感器故障，還表示丟包現(xiàn)象。 ② 運(yùn)用多Lyapunov函數(shù)以及平均駐留時間方法, 分析了切換系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性和H∞控制問題。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下離散切換系統(tǒng):

(1)

式中，x(k)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)；u(k)∈Rm為控制輸入；y(k)∈Rp為可測輸出；z(k)∈Rr為控制輸出；w(k)∈Rq為外部擾動； {Aσ,Bσ,Gσ,Cσ,Dσ,Eσ,Fσ}為一組取決于指標(biāo)集Γ={1,2,…,s}的已知矩陣,σ:Z+→Γ是分段常值函數(shù), 稱作切換信號。

當(dāng)σ(k)=i,i∈Γ時, 系統(tǒng)的參數(shù)簡記為

實(shí)際系統(tǒng)中, 由于物理?xiàng)l件的限制或成本問題, 系統(tǒng)狀態(tài)通常不可測。 因此，本文將針對系統(tǒng)式(1)設(shè)計(jì)基于狀態(tài)觀測器的控制器保證其H∞性能。 為此, 引入以下假設(shè)條件和引理。

假設(shè)1矩陣Bi列滿秩, 即rank(Bi)=m。

注1對于列滿秩矩陣Bi, 存在正交矩陣Ui和Vi，使得

(2)

式中，Hi=diag(hi1,hi2,…,him),hij(i=1,2,…,si;j=1,2,…,m)為Hi的非零特征值,其中，diag(·)為對角矩陣；Ui1、Ui2為正交矩陣Ui的分塊矩陣。

引理1[18]對于列滿秩矩陣Bi, 若滿足矩陣

其中，Pi1>0,Pi2>0, 則存在非奇異矩陣Xi，使得PiBi=BiXi。

為便于推導(dǎo), 給出以下定義。

定義1[19]對于任意的T2>T1>0, 若σ在區(qū)間(T1,T2)上的切換次數(shù)為

Nσ≤N0+(T2-T1)/Tσ

則Tσ稱作平均駐留時間；N0為初始的切換次數(shù)。

不失一般性, 本文亦假設(shè)N0=0。

定義2考慮隨機(jī)系統(tǒng)為

xk+1 =Axk+Cwk

(3)

式中，A為系統(tǒng)矩陣；C為擾動系數(shù)；x(k)為系統(tǒng)狀態(tài)；wk為一維的白噪聲。 系統(tǒng)式(3)的平衡點(diǎn)x*=0是均方指數(shù)穩(wěn)定的, 其解x(k)滿足

E{‖x(k)‖2}≤εe-ρ(k-k0)‖x(k0)‖2

其中, 參數(shù)ε≥1，ρ>0；x(k0)為初始狀態(tài)。

定義3系統(tǒng)式(3)稱為帶有擾動衰減指數(shù)γ魯棒H∞穩(wěn)定, 滿足以下兩個條件:

(1) (均方指數(shù)穩(wěn)定)對于切換信號σ, 式(3)的平衡點(diǎn)x*=0在w(k)=0的條件下滿足均方指數(shù)穩(wěn)定。

(2) (H∞性能)對于切換信號σ, 在零初始條件下，有

(4)

2 控制器設(shè)計(jì)

系統(tǒng)傳感器故障描述為

(5)

式中Λi=diag(αi1,αi2,…,αil,…,αip),αil(i=1,2,…,s；l=1,2,…,p) 為p個不相關(guān)的隨機(jī)變量。 假設(shè)隨機(jī)變量αil(i=1,2,…,s;l=1,2,…,p) 在區(qū)間[0,θ]上滿足隨機(jī)分布, 其中，θ≥1；

為估計(jì)式(1)的狀態(tài), 引入狀態(tài)觀測器為

(6)

帶有隨機(jī)故障的執(zhí)行器描述為

(7)

式中，Ωi=diag(βi1,βi2,…,βij,…,βim),βij(i=1,2,…,s；j=1,2,…,m)為m個不相關(guān)的隨機(jī)變量, 且

注2值得注意的是隨機(jī)故障在傳感器到控制器式(5)以及控制器到執(zhí)行器式(7)中同時發(fā)生。 另外, 執(zhí)行器/傳感器每個通道的故障由區(qū)間[0,θ](θ≥1)上滿足隨機(jī)分布的一個隨機(jī)變量進(jìn)行描述； 隨機(jī)變量θ不僅表示執(zhí)行器/傳感器發(fā)生的故障，且表示了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的丟包現(xiàn)象, 因此，故障模型更為一般。 系統(tǒng)式(1)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(1)的結(jié)構(gòu)圖

將式(7)代入系統(tǒng)式(1)，得到

(8)

誤差估計(jì)系統(tǒng)為

(9)

記η(k)=[xT(k)eT(k)]T, 得如下閉環(huán)系統(tǒng):

(10)

式中，

注3由于執(zhí)行器和傳感器中的隨機(jī)故障的影響，閉環(huán)系統(tǒng)式(10)是一個隨機(jī)切換系統(tǒng)。 然而,由于切換系統(tǒng)的特殊結(jié)構(gòu), 本文的結(jié)果不是文獻(xiàn)[15]中的簡單推廣。

3 主要結(jié)論

3.1H∞性能分析

本文運(yùn)用平均駐留時間方法分析閉環(huán)系統(tǒng)式(10)的穩(wěn)定性。

定理1考慮滿足假設(shè)1的系統(tǒng), 給定矩陣Ki、Li以及參數(shù)γ>0,μ≥1, 0<ζ<1, 若存在矩陣Pi>0,Qi>0，滿足以下線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequalities, LMIs):

(11)

Pi≤μPj,Qi≤μQj,i,j∈Γ

(12)

式中，*表示矩陣中對稱部分；

其中，I為單位矩陣。則當(dāng)平均駐留時間滿足

(13)

時, 閉環(huán)系統(tǒng)式(10)在衰減指數(shù)γ下滿足魯棒H∞穩(wěn)定，且系統(tǒng)狀態(tài)滿足

E{‖η(k)‖2}≤ερ(k-k0)‖η(k0)‖2

(14)

式中,

證明(1) 在初始狀態(tài)η(0)=0時，分析閉環(huán)系統(tǒng)式(10)的均方指數(shù)穩(wěn)定性。 假設(shè)w(k)=0，并選擇第i個子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

Vi(x(k))=xT(k)Pix(k)+eT(k)Qie(k)

故由式(10)得

(15)

注意到

(16)

(17)

式中，d=1,2,…,p;t=1,2,…,m。

因此, 由式(16)、(17)可知, 有以下公式成立:

(18)

(19)

將式(18)、(19)代入式(15)，可得

(20)

式中，

Σi<0可由式(11)推導(dǎo)得到, 結(jié)合式(20)可進(jìn)一步得

E{Vi(x(k+1))}≤ζE{Vi(x(k))}

因此, 對于任意的k∈[kj,kj+1),有

E{Vσ(k)(x(k))}≤ζ(k-kj)E{Vσ(k)(x(kj))}

(21)

由式(12)、(21)可得到

(22)

由式(13)可進(jìn)一步得到

(23)

由式(14)可知

(24)

成立。結(jié)合式(22)～(24)可得

E{‖η(k)‖2}≤a-1E{Vσ(k)(η(k))}≤

a-1bρ(k-k0)‖η(k0)‖2

因此, 閉環(huán)系統(tǒng)式(10)均方指數(shù)穩(wěn)定。

(2) 分析閉環(huán)系統(tǒng)式(10)的H∞性能

為便于推導(dǎo), 引入以下定義:

綜上, 可得到

式中，

由Shur’s引理[21]可知，Πi<0可由式(11)推導(dǎo)得到, 式(11)等價于J<0, 故可知

E{zT(k)z(k)-γ2wT(k)w(k)}

(25)

假設(shè)切換序列為{(i0,k0),(i1,k1),…,(ij,kj),…∣ij∈Γ},由式(25)易知

(26)

將式(26)由0～kn依次累加，可得

因此, 當(dāng)零初始條件η(0)=0時,

成立。證畢。

3.2H∞控制器設(shè)計(jì)

定理2考慮滿足假設(shè)1的式(1), 給定參數(shù)γ>0,μ≥1,ζ>0, 若存在矩陣Pi1>0,Pi2>0,Qi>0,Mij,Nil>0,εi>0,γ>0, 滿足下列LMIs:

(27)

Pi≤μPj,Qi≤μQj,i,j∈Γ

(28)

式中，

Ui1和Ui2的定義如引理1, 則在切換信號式(13) 作用下, 閉環(huán)系統(tǒng)式(10)魯棒穩(wěn)定且滿足給定的H∞性能。 此外,

(29)

證明由引理1可知存在矩陣Pi1>0,Pi2>0,Xi>0,使得

成立, 并且

PiBi=BiXi

這意味著

(30)

式(30)可重新寫為

故可得到

由定理1可見，若存在矩陣Pi、Qi、Ki和Li滿足式(11)和式(12), 則閉環(huán)系統(tǒng)(10)關(guān)于參數(shù)γ魯棒H∞穩(wěn)定。 另外, 需要注意的是

(31)

(32)

(33)

將式(31)～式(32)代入式(11), 由Schur’s引理可進(jìn)一步得到

(34)

式中，

令Mij=XiKij,Ni=QiLi。 可見式(34)可以由式(27)推出。 證畢。

注4定理2中分析了系統(tǒng)(1)的魯棒H∞控制。 在隨機(jī)執(zhí)行器/傳感器故障以及外部擾動的情況下, 設(shè)計(jì)了基于狀態(tài)反饋的控制器，使得系統(tǒng)滿足給定的H∞性能。 可見, 只要式(27)、(28)可解, 則控制器設(shè)計(jì)問題可解。

4 數(shù)值仿真

考慮含有兩個模態(tài)的切換系統(tǒng)式(1), 系統(tǒng)參數(shù)如下:

(1) 子系統(tǒng)1

G1=[0.5 0.2 -0.2]T

F2=[0.2 -0.5 -0.4]T

G2=[0.5 -0.4 -0.4]T

假設(shè)外部擾動為w(k)=0.01sin(0.01k), 傳感器故障式(5)和執(zhí)行器故障式(7)中的隨機(jī)變量αil和βij滿足如下的隨機(jī)分布:

選定參數(shù)γ=5.5,μ=1.2,ζ=0.65, 解式(27)和(28)可得

由定理1可知, 滿足

因此, 設(shè)計(jì)取Tσ=0.5 s。

(a) 切換信號σ(k)

(c) 誤差估計(jì)e(k)

(d) 控制信號u(k)

圖2仿真結(jié)果

Fig.2 Simulation result

5 結(jié) 語

本文在系統(tǒng)狀態(tài)不可測的情況下研究了一類網(wǎng)絡(luò)切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制, 建立了更一般的隨機(jī)執(zhí)行器/傳感器故障模型, 其中, 控制系統(tǒng)的執(zhí)行器和傳感器同時故障而且每個通道的數(shù)據(jù)丟失概率由區(qū)間[0,θ](θ≥1)上滿足隨機(jī)分布的一個隨機(jī)變量來描述. 運(yùn)用平均駐留時間方法設(shè)計(jì)切換信號, 基于線性矩陣不等式方法給出了系統(tǒng)魯棒H∞控制的充分條件。

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RobustH∞Control for Networked Switched System with Simultaneous Random Faults in Sensor and Actuator

LIUYonghui1，SUQingtang2

(1. School of Electrical Engineering， Shanghai Dianji University， Shanghai 201306， China; 2. School of Information and Electrical Engineering, Ludong University, Yantai 264025, Shandong, China)

In this paper, robustH∞control is considered for a class of networked switched systems with unknown state. The random faults are assumed to occur from the sensor to the controller and from the controller to the actuator, simultaneously. Moreover, the missing probability of each channel is governed by a random variable satisfying certain probabilistic distribution in the interval [0,θ] (θ≥1), which is a more general form of the fault model. An observer-based feedback controller is first designed. By using the average dwell time method, a sufficient condition for the mean-square exponential stability and a guaranteedH∞performance of the system are obtained. An example of the numerical simulation is given to show effectiveness of the proposed method.

switched systems；H∞control； sensor/actuator fault； average dwell time

TP 273

A

2017 -06 -06

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(61771231)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(ZR2017MF010)

劉永慧(1986-)，女，講師，博士，主要研究方向?yàn)榍袚Q系統(tǒng)、滑模變結(jié)構(gòu)控制和容錯控制等， E-mail：liuyh@sdju.edu.cn

2095 - 0020(2017)04 -0187 - 09