恒定電流密繞橢球形線圈磁場的空間分布

林佩珠，劉家明，江俊勤

(廣東第二師范學院 物理與信息工程系，廣東 廣州 510303)

恒定電流密繞橢球形線圈磁場的空間分布

林佩珠，劉家明，江俊勤

(廣東第二師范學院 物理與信息工程系，廣東 廣州 510303)

從畢奧-薩伐爾定律出發，推導出密繞在旋轉橢球面上載流線圈磁場的積分計算式. 利用Mathematica-10先對方位角φ積分并將結果表達為第一類和第二類完全橢圓積分的線性組合, 進而繪制出形象直觀、高精確度的磁場三維分布圖. 數值結果直觀地表明:橢球內部全空間的磁場是均勻的，磁感應強度處處大小相等、方向相同；當nI值一定時，長軸與短軸的比值b/a越大, 橢球內磁場越強.

磁場；線圈；空間分布;橢圓積分；Mathematica-10

勻強磁場在物理學的理論分析和實驗儀器中都起著重要的作用，如何有效地產生勻強磁場一直是人們關心的問題[1-7].亥姆霍茲線圈和共軸三線圈的結構簡單[1-4]，但磁場的均勻性較差；有限長恒定電流圓柱形螺線管磁場的均勻性有了較大改善，但在比較接近端口處均勻性仍然不好[5]. R.P.費恩曼在其物理學講義[6]中提及在旋轉橢球面上沿著軸線方向均勻纏繞線圈可以在其內部產生均勻磁場,但由于數學的復雜性，至今未見有文獻全面準確地分析該磁場的空間分布，例如文獻[7]雖然進行過研究，但只限于討論球形線圈(并非文獻[5]所述的一般旋轉橢球形線圈)，其結果表達式已經十分復雜而且是近似的、未能繪制出磁場的空間分布圖.

本文將文獻[8]提出的研究帶電圓環片電場空間分布的方法推廣應用于研究載流橢球形線圈磁場的空間分布. 從畢奧-薩伐爾定律出發，利用Mathematic10的符號運算和數值計算能力及繪圖功能，先把對方位角的積分表達為第一類和第二類完全橢圓積分，然后用數值分析的方法全面、高精度地研究密繞在旋轉橢球面上載流線圈磁場的空間分布，包括:在橢球內空間的磁場是否處處均勻，橢球內空間的磁感應強度與橢球幾何形狀的關系．

1 橢球形密繞線圈磁場的積分計算式

線圈纏繞在旋轉橢球面上，沿著z軸單位長度的匝數為n，橢球面方程為

(1)

圖1 橢球形線圈

由于具有軸對稱性，只需研究xoz平面上任一點P(x,0,z)的磁場分布，即xoz平面上磁場的分布代表了任何過z軸平面上的磁場分布情況.

在柱坐標系中，電流元Idl′的位矢可寫為

r=ρcosφi+ρsinφj+z′k，

φ為方位角，0≤φ≤2π，觀測點P(x,0,z)相對于電流元Idl′的位矢R和距離R分別為

R=(xi+zk)-r=(x-ρcosφ)i-ρsinφj+(z-z′)k,

而

dl′=(-ρsinφi+ρcosφj)dφ，

所以

[ρcos φ(z-z′)i+ρsin φ(z-z′)j+

把R和dl′×R代入畢奧-薩伐爾定律，z′～z′+dz′內包含的匝數為dN=ndz′，先對φ積分得

(2)

式中

(3)

(4)

(5)

(6)

式(2)顯示，xoz平面內的磁場沒有y分量，這是因為

由式(2)～(6)得到的是位于z′～z′+dz′內ndz′匝圓形線圈所產生的磁場，再對z′積分就得到載流橢球形線圈產生的總磁場

通過監測分析石化企業中一臺驅動離心壓縮機組的汽輪機，設計工作轉速6 500r/min，一階臨界轉速：4 020r/min，二階臨界轉速：8 150r/min，多塊可傾滑動軸瓦，迷宮密封，入口蒸汽壓力：3.8MPa，出口蒸汽壓力：0.008MPa，振動報警值—峰峰值38μm，振動停機值-峰峰值65μm。

(7)

(8)

(5)～(8)可以確定空間任一點的磁場.

2 橢圓積分、數值分析、磁場的空間分布

磁感應強度計算式(7)～(8)是十分復雜的二重積分，無法做解析計算. 本文使用Mathematica進行數值計算和繪圖，用直觀形象的方式研究磁場的空間分布，但是如果直接使用二重數值積分，因其計算量過于龐大而難以進行. 經研究發現：可以把式(5)和式(6)的2個積分α和β表達為第一類和第二類完全橢圓積分(對z′才使用數值積分):

(9)

(10)

用人工方法把α和β化為橢圓積分，其過程將十分繁瑣，故使用Mathematica-10進行計算，可得：

(11)

(12)

式中EllipticK(ξ)和EllipticE(ξ)為式(9)和式(10)所定義的第一類和第二類完全橢圓積分.

1)當b=2a時，B的分布如圖2所示,|Bz|的分布如圖3所示.

圖2 當b=2a時B的分布圖

圖3 當b=2a時|Bz|的分布圖

圖4 當b=1.5a時B的分布圖

圖5 當b=1.5a時|Bz|的分布圖

3)當b=a時，B的分布如圖6所示,|Bz|的分布如圖7所示.

圖6 當b=a時B的分布圖

圖7 當b=a時|Bz|的分布圖

3 結 論

從畢奧-薩伐爾定律出發，推導了密繞在旋轉橢球面上載流線圈磁場的積分計算式. 利用Mathematica-10符號運算和數值計算能力及數字繪圖功能，先把對方位角的積分結果表達為第一類和第二類完全橢圓積分的線性組合,進而繪制了磁場的三維分布圖，直觀呈現了磁場的性質.

1) 橢球內部全空間的磁場是均勻的. 圖2～7中，橢球內部磁感應強度處處大小相等;橢球內部B的分布與|Bz|的分布完全相同，這說明橢球內部的磁場全部來自z分量的貢獻，即磁場方向全部為旋轉對稱軸方向.

2) 當nI一定時，長軸與短軸的比值b/a越大, 橢球內磁場越強. 詳細的數值結果為:

a.當b=2a時，

(13)

b.當b=1.5a時，

(14)

c.當b=a時，

(15)

由此可見,長旋轉橢球形線圈優于球形線圈，它不但在制作上易于纏繞，而且在相同的nI值情況下長旋轉橢球形線圈的磁場大于球形線圈和扁旋轉橢球形線圈的磁場.

[1] 王森，羅成． 亥姆霍茲線圈磁場的均勻性分析[J]． 大學物理，1998,17(3)：17-20.

[2] 曾曉英. 亥姆霍茲線圈磁場的均勻性分析及誤差估

算[J]. 物理實驗，2000，20(5)：38-39.

[3] 江俊勤. 亥姆霍茲線圈磁場均勻性的研究[J]． 廣東教育學院學報,2006,26(5)：61-66.

[4] 陳俊斌,朱霞,張甫治. 用等均勻性曲面研究共軸三線圈磁場的均勻性[J]． 大學物理，2007，26(3)：18-21.

[5] 江俊勤. 基于Mathematica的數字化物理學[M]. 北京：科學出版社，2015:78-104.

[6] 費恩曼R P，萊登R B，桑茲M. 費恩曼物理學講義(第2卷)[M]． 李洪芳，王子輔，鐘萬蘅,譯. 上海：上海科學技術出版社，2013:397.

[7] 于鳳軍． 球形線圈磁場均勻性的研究[J]． 大學物理，2012，31(6)：13-16.

[8] 江俊勤. 帶電薄圓環片電場的空間分布[J]． 安徽師范大學學報，2016，39(4)：434-436.

[9] 郭玉川，庹晏斌，文小輝，等. 改進型赫姆霍茲線圈磁場均勻性及實用性分析[J]. 物理實驗，2015，35(11):42-46.

[責任編輯：尹冬梅]

Magneticfieldofsteadycurrenttightlywoundellipsoidalcoil

LIN Pei-zhu, LIU Jia-ming, JIANG Jun-qin

(Department of Physics and Information Engineering, Guangdong University of Education, Guangzhou 510303, China)

Based on the Biot-Savart law, an integral expression of the magnetic field induced by steady current tightly wound ellipsoidal coil was derived. Using the Mathematica-10, an integral result for the azimuth angle was expressed as the linear combination of the first and the second kinds of complete elliptic integral, and then three-dimensional maps of the distribution of the magnetic field were plotted. The results showed：1) Inside the ellipsoidal coil, the magnetic field was uniform; 2) The bigger the ratio of the long axis and the short axis, the stronger was the magnetic field.

magnetic field; coil; spatial distribution; elliptic integral; Mathematica-10

2016-10-31

廣東省高等學校物理專業綜合改革試點項目(No.XM060012物理學9010-15281)

林佩珠(1968-)，女，廣東揭陽人，廣東第二師范學院物理系實驗師，學士，主要從事大學物理實驗教學與研究工作.

O441

：A

：1005-4642(2017)09-0012-04