基于分數階PID和重復控制的快速刀具伺服系統*

劉春芳， 劉 志

(沈陽工業大學 電氣工程學院， 沈陽 110870)

基于分數階PID和重復控制的快速刀具伺服系統*

劉春芳， 劉 志

(沈陽工業大學 電氣工程學院， 沈陽 110870)

針對永磁直線同步電機(PMLSM)驅動的快速刀具伺服系統在高頻輸入信號時的系統跟蹤精度問題，設計了一種分數階PID重復控制算法.由于系統的參考信號和干擾信號都具有周期性的特點，通過對系統參考信號的跟蹤和擾動的抑制研究，將改進型分數階PID控制和重復控制相結合，利用重復控制對周期性輸入或復雜干擾信號的跟蹤和抑制能力來補償分數階PID控制器，使系統有快速響應能力的同時具有較強的抗干擾性.仿真結果表明，所提出的控制策略有效地提高了伺服系統的跟蹤精度，并對周期性擾動有較好的抑制作用.

永磁直線同步電機； 快速刀具伺服； 分數階PID； 重復控制； 快速響應； 抗干擾性； 跟蹤精度； 周期性擾動

隨著現代制造技術的不斷提高，人們對產品的要求也越來越高.在精加工或輪廓曲面加工時，要求數控機床在短時間內達到進給速度，并具有較高精度.傳統的加工方法已無法滿足加工要求，而快速刀具伺服(FTS)[1]技術在重復加工復雜形狀器件以及光學曲面等方面的廣泛應用能夠滿足這些較高的加工要求.在FTS驅動器方面，國外學者對壓電陶瓷、洛侖茲力驅動器、麥克斯韋力驅動及其復合驅動方式都做過研究，并取得不少成果[2-3].為了滿足高頻響、大行程的要求，本文選用永磁直線同步電機(PMLSM)作為伺服進給系統驅動結構.采用永磁直線同步電機直接驅動，可充分發揮其響應快、精度高的特點，但是由端部效應引起的周期性波動和負載擾動都將影響加工精度[4].因此，在以永磁直線同步電機為驅動器的高性能伺服系統中，抑制擾動、提高跟蹤精度是關鍵.文獻[5]設計了一種長行程的FTS，采用PID控制方法獲得了較好的控制效果，但該方法對被控對象模型的參數變化比較敏感，影響系統的魯棒性和快速性，且頻率不高；文獻[6]提出了免疫重復控制的策略，使得控制精度大幅度提高，但由于控制策略本身的缺陷，使得系統在開始階段難以準確跟蹤給定信號；文獻[7]中采用模糊自抗擾技術，提高了系統抗擾動性能，跟蹤精度也得以保證，但其方法比較復雜，工程中難以實現.

本文針對直線電機的驅動特點以及系統周期性擾動和負載擾動對伺服系統的影響，基于分數階控制理論，引入重復控制回路，提出了一種基于重復控制的改進型分數階PID(FPID)控制策略.利用Oustaloup算法框圖化實現分數階PID控制器，通過MATLAB/Simulink仿真驗證了所提控制方案的可行性與有效性.

1 快速刀具伺服系統受力

永磁直線同步電機驅動的快速刀具伺服系統運動方程[8]為

(1)

式中：M為直線電機動子質量；x(t)為動子位移；Kf為電機電磁推力系數；iq為動子q軸電流；B為粘滯摩擦系數；d為外部擾動，d=Fripple+Ffric+FL；Fripple為端部效應產生的推力波動；Ffric為摩擦力；FL為切削力擾動.

端部效應產生的推力模型為

(2)

式中：Frpem為端部效應力波動的幅值；τ為極距；θ0為初始相位角度.

摩擦力的模型為

Ffric=[fc+(fs-fc)e(v/vs)2]sgn(v)

(3)

式中：fc為庫侖摩擦力系數；fs為靜摩擦力系數；v為動子速度；vs為臨界的Stribeck速度.

而加工時的切削力因為加工形狀的不同，所受的力也會有所不同.

2 控制器設計

對于快速刀具伺服系統來說，既要求系統對周期性指令輸入信號進行快速跟蹤，又要求系統對外部干擾有較強的抑制能力.為了滿足上述要求，引入分數階PID控制方法設計控制器，并利用重復控制理論對系統予以補償，以減小周期性或復雜性擾動對系統的影響.

2.1 分數階PID控制器

傳統的PID控制器由于其設計簡單，易于實現的優點，早已得到廣泛應用.但是數控加工機床在實現高精加工的過程中，由于受到電機自身以及各種外部擾動的影響，控制器很難達到所要求的控制效果，有時甚至會造成發散[9]，使得系統不穩定.分數階PID控制器[10]最早由Podlubny教授提出，相對于傳統PID控制器，增加了積分階次λ和微分階次μ兩個可調參數，參數整定范圍更大，控制能力更靈活，控制效果顯著提高.將積分階次λ和微分階次μ適當取值，即可變為PID、PI和PD等常規控制器，因此分數階PID控制器更具一般形式.

分數階PID控制器包含一個積分階次λ和一個微分階次μ，其傳遞函數描述為

(4)

式中，KP、KI、KD分別為比例、積分、微分系數.

由于存在分數階次，在仿真和實際運用中不能直接使用固有模塊，因此需要對分數階因子進行近似推導，即用整數階算子近似代替分數階.在文獻[11]中，Oustaloup等人利用相應算法對分數階因子進行逼近，在頻率段內，獲得了更高的擬合精度，提高了系統的控制效果.利用Oustaloup濾波算法實現分數階微積分的求解過程如下：

假設工作頻段為(ωb，ωh)，對分數階微積分算子sα用信號濾波器進行擬合，構造的連續濾波器的傳遞函數模型為

(5)

文獻[12]提出的改進Oustaloup濾波算法將分數階微積分算子用分數階傳遞函數表示為

(6)

式中：b>0；c>0.

在頻率段內用泰勒級數展開，并取一階近似得到

(7)

(8)

由于算法本身特點，工作頻率的上下限應選取ωbωh=1.分數階PID模型框圖如圖1所示.

圖1 分數階PID框圖模型Fig.1 Block diagram model for fractional order PID

2.2 重復控制器設計

重復控制(RC)是Inoue等人根據內模原理提出的一種控制理論，重復控制對周期性或重復性的參考或干擾信號具有較高的跟蹤能力和抑制能力[13].由于經典的重復控制器對系統未建模動態等非常敏感，所以本文采用改進型重復控制，對變化擾動有很好的抑制作用，能夠改善系統的穩定性.系統控制原理框圖如圖2所示，H(s)為改進型重復控制器，其中，B(s)為相位超前補償器，用來補償隨機干擾；而時滯部分前面的傳遞函數Q(s)為低通濾波器，它的選擇需要考慮兩個方面，即系統的控制精度和穩定性.具體而言，在|1-B(jω)Gc(jω)|<1的頻段內，使Q(jω)盡量接近于1，令重復信號誤差在該頻段內充分衰減以保證系統穩定；而在相應的|1-B(jω)Gc(jω)|≥1頻段內，需要Q(jω)迅速衰減到遠小于1，以保證系統穩定.

對系統的穩定誤差為零進行證明，假設系統的靈敏度函數為

Sr(s)= 1-Q(s)e-sTd/{1-Q(s)e-sTdGp(s)[1-

Q(s)e-sTd+B(s)Q(s)e-sTd]}

(9)

圖2 系統控制原理框圖Fig.2 Block diagram of control principle of system

跟蹤誤差E(s)=Sr(s)R(s)，等效為

(10)

根據式(10)可得閉環系統的特征方程為

(11)

(12)

那么跟蹤誤差定義為E(s)=E0(s)[1-Q(s)e-sTd].

如果找到Q(s)，滿足1-Q(s)e-sTd=0，則系統的穩態誤差收斂于零.

結合以上分析，低通濾波器的設計原則是在滿足系統穩態精度的前提下，盡量減小Q(s)的帶寬以提高系統的穩定性.本文取B(s)=eτbs，τb是非負常數，τb=0.02.選擇使用二階低通濾波器，其表達式為

(13)

式中，ωq為截止頻率，ωq=3 000 rad/s.

3 仿真結果與分析

本文以橢圓加工為例，根據文獻[14]中的分析，切削力表達式為

(14)

式中：k為比例系數；m、n分別為橢圓的長軸半徑和短軸半徑；θ為工件的回轉角度.

仿真實驗參數設置為：M=0.32 kg，B=0.001 N·s/m，Kf=28.5 N/A，τ=16 mm，θ0=0°，fc=3 N，fs=5 N，vs=0.5 m/s，m=40 μm，n=30 μm，k=1，期望輸入選為r=0.01sin(200πt) m.

主回路分數階PID控制器KP=300、KI=16、KD=3，積分階次λ和微分階次μ均為0.5，N=2，b=10，c=9，(ωb，ωh)=(0.001，1 000)，重復控制回路分數階PID參數KP=20、KI=5、KD=1，積分階次λ和微分階次μ均為0.5，仿真結果如圖3～5所示.

圖3 頻率為100 Hz時的位置跟蹤曲線Fig.3 Position tracking curve with frequency of 100 Hz

圖4摩擦力和端部效應力擾動下頻率為100Hz時的跟蹤誤差曲線

Fig.4Trackingerrorcurveunderdisturbanceoffrictionandendeffectwithfrequencyof100Hz

由圖3可以看出，位置跟蹤曲線與期望位移幾乎重合，說明系統的跟蹤性能好，且能快速準確地跟蹤給定輸入.由圖4和圖5可以看出，重復控制和分數階PID相結合的控制策略的效果要比分數階PID控制要好，且對周期性變化的擾動有較好的抑制作用，位置跟蹤誤差較小，在±1 μm以內，重復控制的引入增強了系統的抗擾性能，提高了跟蹤精度.

圖5 切削力擾動下頻率為100 Hz時的跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curve under disturbance ofcutting force with frequency of 100 Hz

為了進一步驗證刀具伺服系統在不同行程和不同頻率的跟蹤性能，給定的期望輸入設為r=0.001sin(1 000πt) m，提高了信號的輸入頻率，跟蹤結果如圖6～8所示.從圖6的位置跟蹤曲線可以看出系統對較高頻率的參考信號仍然有很好的跟蹤效果.圖7、8為加入擾動后的誤差曲線，可以看出，穩定后的誤差仍然在±2.5 μm以內，能夠滿足加工要求.以上的仿真結果驗證了系統在不同行程和頻率時控制器的有效性.

圖6 頻率為500 Hz時的位置跟蹤曲線Fig.6 Position tracking curve with frequency of 500 Hz

圖7摩擦力和端部效應力擾動下頻率為500Hz時的跟蹤誤差曲線

Fig.7Trackingerrorcurveunderdisturbanceoffrictionandendeffectwithfrequencyof500Hz

4 結 論

本文針對永磁直線同步電機驅動的快速刀具伺服系統，提出了分數階PID和重復控制相結合控制策略，該方法能夠對系統進行快速響應，且具有較強的抗干擾性能.仿真結果表明，所提出的控制方案有較好的效果，有效地實現了對周期性參考輸入信號的良好跟蹤，并且對干擾信號有良好的抑制作用，改善了系統的穩定性，提高了加工精度.

圖8 切削力擾動下頻率為500 Hz時的跟蹤誤差曲線Fig.8 Tracking error curve under disturbance ofcutting force with frequency of 500 Hz

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(責任編輯：景 勇 英文審校：尹淑英)

FasttoolservosystembasedonfractionalorderPIDandrepetitivecontrol

LIU Chun-fang, LIU Zhi

(School of Electrical Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China)

Aiming at the system tracking accuracy problem of fast tool servo system driven by permanent magnet linear synchronous motor (PMLSM) under the high frequency input signal, a fractional order PID repetitive control algorithm was designed.Due to the characteristics that both reference signal and disturbance signal of the system had the periodic feature, the modified fractional order PID control was combined with the repetitive control through the inhibiting study on the tracking and disturbance of reference signal.With the tracking and inhibiting ability of repetitive control to the periodic input or complex interference signal, the fractional order PID controller was compensated, which made the system have a quick response ability and a strong anti-interference ability at the same time.The simulated results show that the proposed control strategy can effectively improve the tracking accuracy of servo system, and has a better inhibition effect for the periodic disturbance.

permanent magnet linear synchronous motor (PMLSM); fast tool servo; fractional order PID; repetitive control; fast response; anti-interference; tracking accuracy; periodic disturbance

TP 273

： A

： 1000-1646(2017)05-0486-05

2016-09-06.

國家自然科學基金資助項目(51175349)； 遼寧省“百千萬人才工程”資助項目(2013921049).

劉春芳(1975-)，女，黑龍江齊齊哈爾人，教授，博士，主要從事伺服系統、魯棒控制及計算機仿真等方面的研究.

* 本文已于2017-08-01 12∶23在中國知網優先數字出版. 網絡出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20170801.1223.012.html

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.05.02