基于卡爾曼濾波的地表移動變形預測*

許哲明

(南昌大學 建筑工程學院， 南昌 330031)

基于卡爾曼濾波的地表移動變形預測*

許哲明

(南昌大學 建筑工程學院， 南昌 330031)

針對傳統卡爾曼濾波模型在地表變形預測中依賴于噪聲和數學模型而導致的運行發散問題，提出了一種基于方差補償自適應卡爾曼濾波的建筑地表移動變形預測分析方法.提出的自適應卡爾曼濾波主要是通過適當的估算和修正系統模型的不確定參數以及噪聲的統計特性，來彌補濾波過程中噪聲方差的不足.建立了自適應卡爾曼濾波的數學模型，并在Matlab軟件上對地表移動變形預測進行了仿真分析，其結果驗證了所提卡爾曼濾波方法在地表移動變形預測應用中的可行性，表明該方法有效提高了實時預測的可靠性和預測精度.

地表變形； 卡爾曼濾波； 方差補償； 自適應； 預測； 數學模型； Matlab仿真； 可靠性

建筑物的大量開發會破壞周圍巖體的原始應力狀態，從而引起地表巖層的移動變形，為地表建筑帶來較大的安全隱患.如果能夠準確實時地對地表建筑物上任意點的移動變形數據進行預測，則可以進行有計劃的維護和防御，防止次生災害的發生，因此對地表變形進行監測和數據處理顯得十分重要[1-3].

目前，常用的地表變形監測數據處理主要包括：回歸分析法[4-5]、灰色關聯分析法[6-7]以及卡爾曼濾波法[8-10]，其中回歸分析法在引入自變量過程中需對方程中各自變量做顯著性實驗，會造成回歸方程因子的引入不夠準確；灰色關聯分析法中各指標的量綱或單位常常不同，指標值的量綱級相差較大，且在計算關聯度時存在客觀性不足的問題；而卡爾曼濾波方法具有較強的自適應性，且對原數據不依賴，具有最小無偏方差，能夠在不存儲大量監測數據的條件下進行參數估計，因此，被廣泛應用于地表變形預測數據的動態處理中.卡爾曼濾波是通過狀態方程以及觀測方程來構造系統的動態過程，通過改變濾波增益矩陣來實現監測數據的識別和提取[11-13].

本文根據某建筑物地表變形數據，提出基于方差自適應的卡爾曼濾波方法，對監測數據進行計算處理而得到其預測值，該方法能夠有效提高預測精度，具有較強的可行性.

1 卡爾曼濾波模型

卡爾曼濾波模型可實現系統動態數據處理，它是利用觀測值來估算變化的狀態向量，通過對新的觀測值不斷修正和預測得到新的預測值，不需要存儲大量的歷史數據[14-15].卡爾曼濾波離散系統的狀態方程和觀測方程分別表示為

Xk=Φk，k-1Xk-1+Γk，k-1Ωk-1

(1)

Lk=BkXk+Δk

(2)

式中：Xk，Xk-1分別為第k時刻和第k-1時刻的狀態向量；Φk，k-1為第k次和第k-1次之間的狀態轉移矩陣；Γk，k-1為第k次和第k-1次的動態噪聲矩陣；Ωk-1為第k-1次動態噪聲向量；Lk為第k次的狀態觀測向量；Bk為第k次的狀態觀測向量系數矩陣；Δk為第k次的狀態觀測噪聲向量.

若Ωk-1和Δk是互不相關的零均值白噪聲序列，則兩者滿足

(3)

估算可得卡爾曼濾波的遞推方程式為

(4)

(5)

(6)

(7)

2 自適應卡爾曼濾波模型

傳統卡爾曼濾波模型在很多情況下依賴于噪聲和數學模型，需要深入研究動態系統的噪聲特性以及數學模型特性，因此會產生各種誤差且出現運行發散的結果，達不到預期目的，很難滿足實際應用場合.針對上述問題，自適應卡爾曼濾波被提出并應用，自適應卡爾曼濾波主要是通過適當地估算和修正系統模型的不確定參數以及噪聲的統計特性，有效減小誤差，使預測結果更精確.在地表變形監測數據濾波中，可根據已知信息實時估算動態噪聲的方差來彌補濾波過程中噪聲方差的不足.

假設Ωk、Δk都是正態序列，則可定義第i步的預測殘差為

(8)

(9)

則預測殘差Vk+i的方差矩陣可表示為

(10)

令

Bk+iΦk+i，rΓr，r-1=A(k+i，r)=[a(k+i，r)]

(11)

式中：r=1，2，…，N；k=1，2，…，n.若假設DΩr-1Ωr-1在tk+1，tk+2，…，tk+N觀測時間段內是一常數對角陣，即

(12)

(13)

(14)

則可以得到

F=AdiagDΩr-1Ωr-1+ξ

(15)

式(15)可以看作是diagDΩr-1Ωr-1的線性方程組形式，當n≥r時，該方程組存在唯一解，則diagDΩr-1Ωr-1的估計值可表示為

diagDΩr-1Ωr-1=(ATA)-1ATF

(16)

因此，可根據式(16)求得任意時間段內的DΩr-1Ωr-1，并實時估算動態噪聲協方差.

3 實例分析

以某建筑物作為研究對象，分析了建筑物變形對該地表的影響.較高頻率的觀測對地表移動變形的規律研究十分有利，故對該段地表進行了21期的觀測，選擇觀測間隔為每天1次.本文以工作面走向線與建筑物走向線的交點作為觀測站，首先以前16期觀測數據為基礎，利用Matlab軟件編制自適應卡爾曼濾波程序，對地表變形規律進行擬合分析，然后對后5期的數據進行預測，并將其與觀測值以及傳統的卡爾曼濾波預測方法進行了對比.

兩種預測值與實際觀測值的水平位移對比結果如表1所示，實測值與誤差值的對比曲線如圖1、2所示.由圖1、2可見，自適應卡爾曼濾波方法對地表位移預測的結果更接近于原始的實測數據，最大誤差百分比僅為0.25%，而傳統方法最大誤差百分比為0.38%(均為第17期觀測值)，較傳統的卡爾曼濾波預測方法而言，其具有更高的預測精度，說明采用基于協方差補償自適應卡爾曼濾波能夠有效模擬位移狀態變量的變化規律.

表1 觀測點水平位移預測結果Tab.1 Prediction results of horizontal displacement of observation points

圖1 監測點水平位移的預測值和實測值對比曲線Fig.1 Contrast curves for predicted and measured valuesof horizontal displacement of monitoring points

兩種預測值與實際觀測值的沉降對比結果如表2所示，實測值與誤差值的沉降對比曲線如圖3、4所示.由表2可以看出，自適應卡爾曼濾波方法對地表沉降預測結果的最大誤差百分比為0.28%，而傳統的卡爾曼濾波預測方法最大誤差百分比為0.64%(均為第21期觀測值)，證明自適應卡爾曼濾波方法具有更高的預測精度，能夠有效模擬地表沉降狀態變量的變化規律.

圖2 監測點水平位移預測誤差對比曲線Fig.2 Contrast curves for prediction error of horizontaldisplacement of monitoring points

表2 觀測點沉降預測結果Tab.2 Prediction results of settlement of monitoring point

圖3 監測點沉降預測值和實測值對比曲線Fig.3 Contrast curves for predicted and measuredvalues of settlement of monitoring points

圖4 監測點沉降預測誤差對比曲線Fig.4 Contrast curves for prediction errorof settlement of monitoring points

4 結 論

本文結合卡爾曼濾波原理和建筑物結構特點，建立了基于方差補償的自適應卡爾曼濾波預測模型，實現了對建筑物地表水平位移和沉降的預測.仿真結果表明：

1) 自適應卡爾曼濾波通過遞推公式對濾波模型進行不斷修正，有利于對實時觀測數據進行處理，非常適合于地表變形監測數據的處理和預測；

2) 自適應卡爾曼濾波對地表變形數據的預測結果非常接近于實測值，比傳統的卡爾曼濾波預測具有更高的精度，能夠較好地預測地表狀態變量的變化規律.

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(責任編輯：景 勇 英文審校：尹淑英)

PredictionofsurfacemovementdeformationbasedonKalmanfiltering

XU Zhe-ming

(School of Architectural Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031, China)

Aiming at the operation divergence problem caused by the fact that the traditional Kalman filtering model in the prediction of surface deformation depends on the noise and mathematical models, a prediction analysis method of building surface movement deformation based on adaptive Kalman filtering with variance compensation was proposed. The proposed adaptive Kalman filtering could compensate the deficiency of noise variance in the filtering process mainly through appropriately estimating and correcting the uncertain parameters of the system model and the statistical properties of the noise. The mathematical model for adaptive Kalman filtering was established, and the simulation analysis for the prediction of surface movement deformation was performed with Matlab software. The results verify the feasibility of the proposed Kalman filtering method in the prediction of surface movement deformation. The proposed method effectively improves the reliability and forecasting precision of real-time prediction.

surface deformation; Kalman filtering; variance compensation; adaption; prediction; mathematical model; Matlab simulation; reliability

TM 135

： A

： 1000-1646(2017)05-0557-05

2016-07-04.

江西省青年科學基金資助項目(20151BAB206057).

許哲明(1974-)，男，江西南昌人，講師，碩士，主要從事建筑、橋梁工程測量等方面的研究.

* 本文已于2017-03-28 17∶08在中國知網優先數字出版. 網絡出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20170328.1708.022.html

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.05.15