FFT方法分析電磁波的時頻傳播特性

張龍飛，梅中磊

(蘭州大學 信息科學與工程學院，甘肅 蘭州 730000)

FFT方法分析電磁波的時頻傳播特性

張龍飛，梅中磊

(蘭州大學 信息科學與工程學院，甘肅 蘭州 730000)

電磁波的傳播可以用時域分析方法，也可以采用頻域方法，二者各有特點。針對電磁波在通過一定厚度的介質板時的反射、透射現象，采用頻域分析的方式不能反映出電磁波在介質板單界面的傳播情況，提出了時域分析方式對其進行分析。通過數值仿真、時域波形觀察、快速傅里葉變換(FFT)和頻域解析對比等方式，對這一過程進行了細致研究，仿真結果證實了該方法的可行性。

時域分析；頻域分析；快速傅里葉變換

0 引言

在現有教課書中，絕大部分電磁分析方法都是基于頻域分析，也就是平常講的時諧電磁場[1]。由于去掉了時間變量，引入了復矢量等表示方法，因此分析相對簡單，缺少了電磁場的動態特性和電磁波傳播的動態過程，物理圖像不直觀。

早在20世紀30年代，科學家開始運用時域反射測試技術(Time Domain Reflectometry,TDR)檢測電力和通訊工業中電纜的通斷情況[2]，以及測量傳輸線各處的阻抗值[3]和吸波材料的吸波性能測試[4]。在太赫茲領域，基于時域光譜儀來探測樣品的光譜特性，是開展研究的標準手段[5]。而在瞬態電磁場的研究中，根據文獻[6-8]得到對電磁脈沖等進行時域分析，是必不可少的研究內容。近年來，諸多測試設備生產商在其測量設備中都增加了時域門的功能[2]，以此隔離不必要的外界因素影響，文獻[9-11]對其原理及應用做了詳細的介紹，因此這也是對信號進行時域分析的一個重要應用。

眾所周知，傅里葉變換是跨接時域和頻域分析的橋梁。但是，頻域結果和時域圖像如何能夠形象直觀地對應起來，穩態響應和動態過程之間有著如何密切的聯系，對于全面掌握電磁基礎理論，了解各種電磁測量設備的工作機理，具有重要的作用。本文根據文獻[12-14]以均勻平面電磁波通過不同厚度的介質板時所產生的反射、透射現象為基礎，利用CST[15]進行時域仿真，開展時域波形觀察，進行快速傅里葉變換(FFT)，并與頻域解析結果做分析對比等，對這一過程進行了細致剖析，所得結果對于深入理解上述問題，具有參考價值。

1 研究對象的頻域分析結果

平面波在分別通過介質分界面和介質板時所產生的反射與透射情況，如圖1和圖2所示。

圖1 介質分界面上的反射與透射

圖2 3層介質的反射與透射

如圖1所示，設TM波從XOZ平面的上半空間入射，根據麥克斯韋方程組和邊界條件[16]可得到菲涅爾反射系數和菲涅爾透射系數為：

(1)

(2)

對于電磁波在介質板中的傳播，如圖2所示，同理可得到反射系數和透射系數為：[17-19]

(3)

(4)

設圖1中媒質參數分別為ε1=1，ε2=3，μ1=μ2=1，圖2中媒質參數為ε1=1,ε2=3，ε3=1，μ1=μ2=μ3=1。為方便研究，取2種介質板的厚度分別為8 mm和90 mm。利用Matlab[20-22]工具軟件，根據式(1)～式(4)編制程序，分別求解均勻平面電磁波垂直入射到介質分界面和介質板時的反射系數和透射系數，如圖3和圖4所示。

圖3 介質分界面上反射系數與透射系數

圖4 介質板的反射系數與透射系數

從圖3和圖4可以看出，在不考慮材料色散的情況下，單界面反射系數和透射系數為一常數；而對于介質板來說，反射系數和透射系數隨頻率周期性變化。這是由于當介質板厚度為半波長的整數倍時，反射波與入射波干涉相消，從而出現周期性的極小值(反射系數)和極大值(透射系數)。當介質板很薄時，這種現象依然存在，只是因為其極小值出現在較高的頻率處，所以在圖中無法呈現出來罷了。

2 研究對象的時域分析

通過CST時域求解器[23-25]對介質板的反射與透射進行建模模擬，其中采用高斯脈沖作為激勵源，頻率范圍為0～10 GHz，同時并設計兩款厚度不同的結構，以便進行對照分析，結構模型如圖5所示。

圖5 2種厚度的介質板模型

如圖5(a)所示建立仿真模型，沿電磁波的傳播方向設置1、2兩個波端口，四周分別設置電壁和磁壁作為邊界條件，從而激勵平面波。材料參數同上，幾何參數分別為L=20 mm，H=32 mm，W=90 mm(仿真結果與此無關)。時域仿真結果如圖6所示，當介質板厚度為W=90 mm時，反射波和透射波有多個孤立脈沖，分別代表入射脈沖在前界面和后界面上反復反射、透射得到的結果(參見圖2)。如果將該介質板看做一個線性系統的話，則該系統的傳遞函數，可以定義為：

R(ω)=F[r(t)]/F[i(t)]，

(5)

T(ω)=F[o(t)]/F[i(t)]，

(6)

式中，i(t)、r(t)、o(t)分別為入射、反射和透射的時域脈沖；F為傅里葉變換。具體實現時可以通過快速傅里葉變換FFT進行計算。

圖6 W=90 mm時域波形

圖7給出了通過FFT計算的結果，與式(1)和式(2)計算結果進行比較，可見兩者結果完全吻合。由于有無窮多個反射脈沖存在，因此在計算中對時域脈沖采用了“加窗”的形式，如圖6中虛框示意，從而可提取出對應于不同界面、不同反射/透射次數的孤立脈沖，進而計算得到相應的系數。從圖6中看出，由于“窗”函數只考慮了單個界面的影響，因此計算所得系數應該對單界面的反/透射系數。

圖7 W=90 mm單界面反射系數和透射系數

同理，對于圖5(b)所示結構進行仿真。其媒質參數同上，厚度W=8 mm。時域仿真結果如圖8所示，當介質板厚度為W=8 mm時，反射波和透射波分別是由介質板前后界面多次反射和透射相互疊加的結果，不易看到孤立的、高斯形狀的反射、透射脈沖，因此，直接利用式(5)和式(6)可以得到整個介質板的反射系數以及透射系數,如圖9所示。

通過比較FFT計算的結果和根據式(3)、式(4)計算的結果，可以發現兩者能夠很好的吻合，充分印證了時、頻域分析結果的一致性。

圖8 W=8 mm時域波形

圖9 W=8 mm雙界面反射系數和透射系數

如前所述，由于介質板厚度較小，反射脈沖相互疊加，因此圖8中反射波形不出現如圖6所示的孤立脈沖。即使在這種情況下，也可以通過人為“加窗”的方式，求得介質板單界面的反射系數，如圖8所示。通過對時域脈沖采用加窗的形式截取入射脈沖以及相應的反射脈沖和透射脈沖，再進行FFT計算，結果如圖10所示。

從圖10中可以看出，通過時域波形截取后計算單界面的S11和S21的結果與通過頻域分析計算的結果基本吻合。

圖10 W=8 mm單界面反射系數和透射系數

3 結束語

通過頻域分析法和時域分析法對電磁波在不同厚度介質板中的傳播特性做了系統的分析，并對2種分析法進行對照。雖然時域分析法相對于頻域分析法比較繁瑣，但其對于分析電磁波的傳播特性來說也有獨特的優勢，比如形象、直觀和容易理解等。通過測量脈沖信號在介質中的時域傳播特性，并結合傅里葉變換的數學工具加以分析，是目前許多先進測量儀器的工作基礎。因此，聯合時域分析法和頻域分析法的研究，在實際工作中有廣泛的應用前景。

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AnalysisthePropagationCharacteristicsofElectromagneticWavesintheTimeandFrequencyDomainthroughtheFFTMethod

ZHANG Long-fei,MEI Zhong-lei

(SchoolofInformationScience&Engineering,LanzhouUniversity,LanzhouGansu730000,China)

The propagation of electromagnetic waves can be analyzed by time domain method or frequency domain method.The two approaches have their own advantages and disadvantages.Aiming at the reflection and transmission of the electromagnetic waves through a certain thickness of the dielectric plate,the frequency domain analysis cannot reflect the propagation of the electromagnetic wave in the single interface of the dielectric plate.And the time domain analysis method is proposed to analyze it.Through Numerical simulation,time domain waveform observation,fast Fourier transform(FFT),frequency domain analysis and comparison between the time and frequency domain results and so on,the simulation results prove the feasibility of this method.

time domain analysis;frequency domain analysis;FFT

10.3969/j.issn.1003-3106.2017.10.11

張龍飛，梅中磊.FFT方法分析電磁波的時頻傳播特性[J].無線電工程,2017,47(10):49-52,58.[ZHANG Longfei，MEI Zhonglei.Analysis the Propagation Characteristics of Electromagnetic Waves in the Time and Frequency Domain through the FFT Method[J].Radio Engineering,2017,47(10):49-52,58.]

TN915

A

1003-3106(2017)10-0049-04

2017-06-05

國家自然科學基金資助項目(61631007,61640017)。

張龍飛男，(1991—)，碩士研究生。主要研究方向：電子通信。梅中磊男，(1974—)，教授。主要研究方向：計算電磁學、微波和毫米波傳輸線等。