基于虛設運動副的并聯機器人靜態誤差建模與標定

趙延治 宋曉鑫 楊建濤 齊立哲 何 勇 趙鐵石

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島，0660042.先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室(燕山大學)，秦皇島，0660043.天津智通機器人系統有限公司，天津，3017004.中國科學院深圳先進技術研究院，深圳，518055

基于虛設運動副的并聯機器人靜態誤差建模與標定

趙延治1,2宋曉鑫1,2楊建濤1,2齊立哲3何 勇1,4趙鐵石1,2

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島，0660042.先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室(燕山大學)，秦皇島，0660043.天津智通機器人系統有限公司，天津，3017004.中國科學院深圳先進技術研究院，深圳，518055

基于并聯機器人影響系數和虛位移原理，以一般空間并聯機器人為例，通過虛設運動副，提出一種并聯機器人靜態誤差建模與分析的通用新方法。該方法用于確定各個原始加工裝配誤差源對并聯機器人末端位姿的獨立影響，具有物理意義明確、建模分析便捷等優勢。在此基礎上，基于虛設運動副建立了3-P(4S)并聯機器人各誤差映射矩陣，并對該機器人開展了靜態誤差標定實驗研究。實驗結果表明，基于該方法標定后，3-P(4S)并聯機器人輸出定位誤差最大值由0.585 mm減小到0.142 mm，標定后機器人定位精度明顯提高，從而驗證了該方法的有效性。

并聯機器人；靜態誤差建模；虛設運動副；誤差映射矩陣

0 引言

和串聯機器人相比，并聯機器人無誤差累積，但由于其誤差源較多，實際輸出位姿與理想輸出位姿依然存在著偏差。許多學者從不同角度提出了并聯機器人靜態誤差分析的方法[1]。并聯機器人靜態誤差建模的一般方法有D-H參數法[2-5]、環路增量法[6-7]、空間矢量法[8-13]、正交設計法[1,14]和攝動法[15-16]等。文獻[2-5]用D-H參數法及由此形成的影響系數法和顯著性分析方法對并聯機器人進行誤差分析，使得各原始誤差參數形成的位姿誤差矩陣具有簡單而統一的形式；文獻[6-7]結合球面并聯機器人特點,采用環路增量法,建立球面并聯機器人誤差模型；文獻[8-13]運用空間矢量法對并聯機器人進行建模，得到并聯機器人廣義幾何誤差模型；使用正交設計法對并聯機器人誤差進行分析，定量分析了各誤差源對機構輸出誤差的影響；文獻[15-16]運用攝動法對并聯機器人進行誤差建模，明確了各誤差源對末端位姿的影響。雖然上述理論與方法解決了一般并聯機器人機構誤差建模的問題，但均是統一考慮所有誤差項建模，通過分離和辨識進行誤差分析，建模過程較為復雜，且在具體分析某特定誤差源對其機器人輸出位姿的影響時，對應的誤差建模求解與分析過程不夠簡明與便捷。本文基于并聯機器人影響系數和虛位移原理，提出一種基于虛設運動副的并聯機器人靜態誤差建模與標定通用新方法，該方法物理意義明確，建模分析便捷。使用該方法建模在設計之初就可以確定各個原始誤差源對末端位姿的獨立影響，從而可以有針對性地提高誤差敏感構件的制造或者裝配精度，進而有效提高機器人輸出定位精度，具有較強的可操作性及實用性。

1 并聯機器人靜態誤差建模的虛設運動副法

1.1基于虛設運動副的靜態誤差建模

若并聯機器人的各原始誤差源間相互獨立，則各原始誤差源引起的機器人末端輸出的總位姿誤差等于各原始誤差源引起的局部位姿誤差之和，即并聯機器人誤差的獨立作用原理。本文提出的虛設運動副法就是在分別考慮各靜態誤差獨立影響作用下，基于影響系數和虛位移原理進行的。圖1為基于虛設運動副的誤差建模流程圖，在考慮各原始誤差源時，首先剛化機器人原驅動，結合待分析誤差源，在原有機器人機構基礎上，通過添加相應虛擬運動副得到新的等效機器人機構，然后選取添加的運動副作為等效機器人機構的主動輸入，基于影響系數，求解得到對應于該原始誤差源與機器人輸出位姿誤差的誤差映射關系，獲得該誤差所對應的誤差映射矩陣。

圖1 基于虛設運動副的誤差建模流程圖Fig.1 Error modelling flow diagram based on VJP

為建立一般并聯機器人誤差建模的通用模型，從一般空間并聯機器人機構出發，如圖2所示，設其驅動由m個運動副p=(p1,p2,…,pm)T提供，其中包括主動轉動關節和主動移動關節。由于制造和裝配誤差，各驅動副的實際轉角或位移會在理論值pi(i=1,2,…,m)上產生Δpi的偏差量，根據誤差獨立作用原理，在考慮Δpi引起輸出構件的位姿誤差時，不考慮其他構件誤差的影響。

圖2 一般空間并聯機器人機構示意圖Fig.2 Mechanism schematic diagram for general space parallel robot

首先考慮主動關節的原始誤差對末端輸出位姿的影響。如圖3所示，分別建立主動轉動關節和主動移動關節的誤差分析模型，設初始時刻驅動構件i的理論為值pi，考慮構件存在原始誤差Δpi，則該驅動桿件的輸入為pi+Δpi，某時刻機器人i驅動的輸入為qi，此時，各個分支的主動關節實際參數為di=(pi+Δpi)+qi=pi+(Δpi+qi)。此時，機器人驅動構件的原始誤差與其輸入誤差是等效的。

(a)主動轉動關節 (b)主動移動關節圖3 主動關節誤差分析Fig.3 Error analysis for driving joint

一般空間并聯機器人的正解模型為

T=f(q)

(1)

q=(q1,q2,…,qm)TT=(α,β,γ,x,y,z)T

其中,T包含了機器人的末端位姿信息。將式(1)對時間求導可得

(2)

令

(3)

式(3)即為一般空間并聯機器人的一階影響系數，由虛位移原理得

(4)

式(4)即為驅動桿件的原始誤差與機器人輸出位姿誤差的映射關系，G為誤差映射矩陣。

圖4 分支下末端關節x向安裝誤差虛設運動副Fig.4 VJP for assembling error of lower end joints along x axis

按照上述方法可得一般空間并聯機器人關鍵原始誤差對機器人輸出位姿的誤差映射矩陣，如表1所示，其中,右下標b表示對應原始誤差源位置,Rx、Ry、Rz表示安裝方向。

表1 一般空間并聯機器人的誤差映射矩陣

一般空間并聯機器人末端輸出位姿的總誤差為

(5)

(6)

將式(6)右邊第1項記為G，第2項記為E，則

ΔT=GE

(7)

式中，G為總誤差映射矩陣；E為誤差矩陣。

將式(4)兩端同時取行列式得

|ΔT|=|G|·|ΔE|

(8)

式中，|ΔT|為機器人輸出位姿誤差絕對值；|G|為誤差影響因子；|ΔE|為誤差絕對值。

1.2誤差標定

假設一般空間并聯機器人包含的所有誤差為6n項，則至少需要n+1組機器人輸出位姿才可通過誤差映射矩陣求解機器人的位姿誤差。圖5為采用虛設運動副對一般空間并聯機器人的誤差標定流程圖。在上文提出的誤差模型基礎上，通過機器人機構反解求出各誤差源在理論位姿下的驅動剛化參數，并求出各誤差映射矩陣，然后通過最小二乘法求解誤差參數并進行補償。

圖5 一般空間并聯機器人靜態誤差標定流程圖Fig.5 Flow chart of calibration static error for general space parallel robot

設機器人測定位姿Tmi(i=1,2，…，k)為k組(k>n+1)，將對應的位姿理論值Ti代入機器人運動學反解，得到理論輸入值qi，將理論輸入值qi代入上述各誤差等效機器人模型，并分析各等效機器人的自由度性質、反解和誤差映射矩陣Gi。綜合考慮機器人輸出位姿誤差ΔTi和各誤差映射矩陣Gi，得到

(9)

寫成矩陣形式為

(10)

即

ΔTcb=GcbE

(11)

運用最小二乘法求解上述方程得

(12)

將求得的誤差參數E代入機器人反解模型，并對機器人運動學模型進行修正。上述為基于虛設運動副對一般空間并聯機器人的靜態誤差建模與標定。通過分析可見，該誤差建模方法的物理意義明確，運算操作便捷，具有良好的實用性。

2 基于虛設運動副的3-P(4S)并聯機器人誤差建模

2.13-P(4S)并聯機器人機構

3-P(4S)并聯機器人三維實體造型如圖6所示。該機器人由動平臺、基座以及連接二者的三條分支組成。每條分支均為P(4S)結構，即一個移動副和四個球副，四個球副組成一個平行四邊形子閉環。移動副選用直線電機，并以圓周對稱的形式安裝于基座。4S子閉環的兩個下球副與移動副連接，兩個上球副與動平臺連接。

圖6 3-P(4S)并聯機器人三維造型Fig.6 3D rending model of 3-P(4S) parallel robot

2.1.1自由度分析

3-P(4S)并聯機器人結構見圖7，{M}為與動平臺固接的坐標系，{O}為與定平臺固接的坐標系,{Di}(i=1,2,3)為各分支坐標系。Ra為動平臺鉸鏈點Aij所在圓周半徑，Rb為移動副基準點Bi所在圓周半徑。ui為驅動輸入。

圖7 3-P(4S)并聯機器人及分支結構簡圖Fig.7 Structure diagram of 3-P(4S) parallel robot and branches

根據約束螺旋理論[17-18]，4S子閉環可等效為一廣義運動副。子閉環的約束螺旋為

(13)

式中，(xk，yk，zk)是4個球副在{Di}中的坐標值，k=1,2,3,4。

可見，4S子閉環提供的約束是兩個力線矢，方向分別沿桿Ci1Ai1和Ci2Ai2。

由于4S子閉環為平行四邊形即Ci1Ai1∥Ci2Ai2，故有

(14)

將式(14)代入式(13)的反螺旋，同時考慮分支原傾斜布置的驅動移動副，則分支的運動螺旋系在{Di}系的表示式為

(15)

由式(15)可知，分支運動螺旋系為五系螺旋，對其求反螺旋可得到分支的約束螺旋為

(16)

這是一個軸線垂直4S子閉環平面的力偶。3個分支各提供一個同等形式的約束力偶，且在一般位置，3個力偶線性無關，因此約束了機器人所有轉動自由度，因此該3-P(4S)并聯機器人具有3個移動自由度。

2.1.2運動學反解

由于Ai1Ai2中點與Ci1Ci2中點的連線EiDi的長度L不變，故

L=|OEi-ODi|

(17)

式中，OEi、ODi分別為Ei、Di點在{O}系的坐標向量。

給定一組機器人輸出位姿參數M=(xm,ym,zm)T，OEi能夠確定，通過式(17)進行反解運算，可求得驅動輸入u=(u1，u2，u3)T。

該機器人實際加工和裝配調試中發現，其移動驅動副誤差和子閉環安裝座的兩個位置誤差對機器人輸出位姿影響較明顯。以這三個原始誤差源為例，基于本文提出的虛設運動副法對3-P(4S)并聯機器人進行誤差建模分析與標定實驗研究。

2.1.3工作空間分析

單分支內結構參數如圖8所示，其中OB1=699.7736 mm，ME1=201.2461 mm，D1E1=376 mm，umax=90 mm，3個分支互成120°。球副轉角范圍為±16°，當ui=umin=-40 mm和ui=umax=40 mm時分別得到工作空間最低點zmmin和最高點zmmax。根據驅動器行程以及約束條件，通過式(17)進行反解搜索，計算每一zm處動平臺在xy平面內的邊界值，最終得到動平臺工作空間，如圖9所示，x軸方向位移輸出為±95 mm，y軸方向位移輸出為±89 mm，z軸方向位移輸出為±33 mm。

圖8 分支結構參數Fig.8 Structure parameters of limbs

圖9 3-P(4S)并聯機器人工作空間分析Fig.9 Workspace of 3-P(4S) parallel robot

2.2移動驅動副的誤差建模

2.2.1等效機器人機構分析

考慮移動驅動副的位置誤差時，如圖10所示，需剛化原有的驅動，根據誤差建模的虛設運動法，此時需虛設一個沿原驅動方向的移動副，并將其虛設為新的驅動，構建得到等效機器人機構，由于等效機器人的虛設驅動和原機器人驅動共線，所以原機器人的自由度性質和反解也同樣適用于等效機器人。

圖10 考慮移動驅動副誤差等效機器人機構簡圖Fig.10 Mechanism diagram of equivalent robot considering error of the actuators

2.2.2等效機器人機構誤差映射矩陣

為求該少自由度等效機器人的誤差映射矩陣，每個分支還需虛設與式(15)運動螺旋系線性無關的運動副使等效機器人分支自由度為6，這里虛設沿{Di}系z軸方向的轉動驅動副，該轉動副運動螺旋在{Di}系表示為

分支運動副的運動螺旋系在{O}系中的表示為

(18)

(Di)$i=

(Oi)$i=

由誤差映射矩陣Δu=G[Δφ1Δφ2…

Δφ6]T可知，[Δφ1Δφ2… Δφ6]T=G-1Δu。

(19)

將式(19)兩端同時乘以Gqd，可得

(20)

2.3子閉環安裝座的位置誤差建模

若考慮子閉環安裝座的位置誤差，每個安裝座的位置在{Di}系中有x、z兩個方向的誤差。以x向誤差為例，如圖11所示，剛化原有的驅動，虛設沿{Di}系x向的移動副并將其設為驅動。此等效機器人的自由度分析、運動學反解和誤差映射矩陣的求解過程和上述移動驅動副相同，這里不再贅述。

圖11 子閉環安裝座x向誤差的等效機器人簡圖Fig.11 Mechanism diagram of equivalent robot for base error along x axis of child closed-loop

該等效機器人的誤差映射矩陣記為GDx，其誤差映射關系為ΔTDx=GDxΔdx，同理得到z向誤差映射矩陣GDz，其誤差映射關系為ΔTDz=GDzΔdz。

2.4誤差影響因子分析

為研究該機器人移動驅動副誤差、子閉環安裝座的位置誤差在整個工作空間中的影響因子大小，分別給定機器人末端輸出構件相對{O}系三個理論單軸運動軌跡方程：

x=10sinπtmm,y=z=0
y=10sinπtmm,x=z=0
z=20sinπtmm,x=y=0

利用MATLAB仿真，繪制在給定理論單軸運動下的三個誤差影響因子變化曲線，如圖12所示。

(a)x向單軸運動

(b)y向單軸運動

(c)z向幅值20 mm圖12 單軸運動誤差影響因子變化曲線Fig.12 Error impact factor curve for single-axis motion

由圖12可知，單軸運動時，移動驅動副的誤差影響因子|Gqd|的最小值分別為1.19、1、44和1.21，均比子閉環安裝座在{Di}系的位置誤差影響因子|GDx|、|GDz|大，可見單軸運動時，機器人末端輸出精度對移動驅動副誤差最敏感；x向和y向單軸運動時，|GDx|的最大值分別為0.26和0.18，小于|GDz|的最小值0.42和0.34，此時機器人末端輸出精度對安裝座z向位置誤差比安裝座x向位置誤差更敏感；z向單軸運動時，|GDz|的最大值為0.20，小于|GDx|的最小值0.34，此時機器人末端輸出精度對安裝座x向位置誤差比安裝座z向位置誤差更敏感。

給定機器人末端輸出構件三軸復合運動，運動軌跡方程如下：

x=10sinπtmmy=10sinπtmm
z=20sinπtmm

通過仿真繪制復合運動下的三個誤差影響因子變化曲線，如圖13所示。

圖13 復合運動誤差影響因子變化曲線Fig.13 Error impact factor curve for composite motion

由圖13可知，在整個給定理論位姿中，驅動誤差影響因子|Gqd|均比安裝座位置誤差影響因子|GDx|和|GDz|大，即該3-P(4S)并聯機器人末端輸出位姿誤差對驅動誤差相比安裝定位誤差更為敏感，在加工制造中需要特意提高移動驅動副的精度才能保證機器人末端輸出位姿的精度。

3 基于虛設運動副的3-P(4S)并聯機器人靜態誤差標定

基于上文采用虛設運動副建立的3-P(4S)并聯機器人誤差源誤差模型，下文對3-P(4S)并聯機器人進行靜態誤差標定。

首先在上節求得的工作空間內選取10個標定測量點，標定測量點的選取原則是盡可能地分布在機構的整個工作空間。利用激光跟蹤儀檢測出3-P(4S)并聯機器人的實際運動輸出位姿信息。測量激光跟蹤儀原點在{O}系中的坐標值，通過坐標轉換，得到這些測量點在{O}系中的坐標理論值和誤差值，如表2所示。

表2 3-P(4S)并聯機器人輸出位姿理論值和誤差值

將機器人輸出的位姿理論值M=(xm,ym,zm)T代入反解模型式(17)，求解出機器人的理論驅動輸入值u，將其作為三個誤差等效機器人的原驅動剛化參數代入等效機器人模型，并求解出誤差映射矩陣Gqd、GDx和GDz。

表3 各原始誤差值

將上述各原始誤差值代入機器人模型，對機器人運動學模型進行修正，用修正后的反解，控制機器人運動至原先選定的測量點，記錄此時各個測量點的實際坐標值，將測量點修正前后的位姿誤差數據繪制曲線，得到圖14所示的各方向的位姿誤差對比曲線圖。

(a)x向定位誤差

(b)y向定位誤差

(c)z向定位誤差圖14 標定前后單向定位誤差對比圖Fig.14 Error comparison charts for before and after calibrating along single-direction

由圖14可知，標定后x、y、z向定位誤差的平均值、最大值和標定前相比均降低。將同一測量點的x向、y向、z向定位誤差組合成向量并求模，得到圖15所示的標定前后體積誤差[19]對比圖。

由圖15可知，標定前體積誤差平均值為0.523 mm，最大值為0.585 mm，標定后體積誤差平均值為0.118 mm，最大值為0.142 mm。通過實驗結果表明，采用文中提出的虛設運動法對并聯機器人進行誤差識別補償后的定位精度得到了較大的提高，該誤差建模和標定方法是切實有效的。

圖15 標定前后體積誤差對比圖Fig.15 Volumetric error comparison chart for before and after calibrating

4 結論

(1)提出了一種基于虛設運動副的并聯機器人靜態誤差建模和標定通用新方法，詳述了通過虛設運動副建立一般空間并聯機器人的靜態誤差模型，并推導了一般空間并聯機器人的標定過程。

(2)對3-P(4S)并聯機器人的自由度、運動學反解、工作空間進行分析，采用虛設運動副法對3-P(4S)并聯機器人的驅動副誤差和子閉環安裝座的x、z向位置誤差進行了誤差建模，建立對應誤差源的誤差映射矩陣，并給定不同的運動軌跡方程得到各誤差的影響因子，對實踐加工起到指導作用。

(3)對3-P(4S)并聯機器人驅動副誤差和子閉環安裝座的位置誤差進行了標定分析。標定實驗表明，基于該方法標定后輸出定位誤差均值由0.523 mm降低到0.142 mm，機器人的靜態定位精度明顯提高。

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(編輯郭偉)

StaticErrorModellingandCalibrationforParallelRobotsBasedonVirtualJointPairs

ZHAO Yanzhi1,2SONG Xiaoxin1,2YANG Jiangtao1,2QI Lizhe3HE Yong1，4ZHAO Tieshi1,2
1.Hebei Provincial Key Laboratory of Parallel Robot and Mechatronic System,Yanshan University,Qinhuangdao，Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science,Ministry of National Education,Yangshan University,Qinhuangdao，Hebei,066004 3.InterSmart Robotic systems Co.,Ltd.,Tianjin,301700 4.Shenzhen Institutes of Advanced Technology,Chinese Academy of Sciences,Shenzhen，Guangdong,518055

Based on the principles of parallel robot influence coefficient and virtual displacement, a case analysis of general space parallel robot, a new generalized method for parallel robot static error modelling was proposed by virtual joint pairs(VJP). The independent effects of each original processing assembly sources of errors for the end-pose were determined, the physical meaning of the proposed method was clear and the modelling and analysis processes were convenient. Based on this, taking 3-P (4S) parallel robot as the research object, the mapping matrix of each error sources was obtained by VJP, and the error calibrations of robots were conducted. The experimental results show that the maximal positioning error is decreased from 0.585mm to 0.142mm, accuracy of the robot outputs after calibrations is improved significantly than that without calibrations based on this method, and the effectiveness of the method was validated further.

parallel robot; static error modelling; virtual joint pair; error mapping matrix

TP24

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.18.007

2016-10-17

國家自然科學基金資助項目(50975244)；河北省自然科學基金資助項目(E2014203176)；河北省高等學校自然科學研究基金資助項目(QN2015040)；中國博士后科學基金資助項目(2016M590212)

趙延治，男，1981生。燕山大學機械工程學院副教授、博士。研究方向為并聯機器人機構學理論與應用、多維力加載與測量技術。E-mail：yzzhao@ysu.edu.cn。宋曉鑫，男，1992生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。楊建濤，男，1987生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。齊立哲，男，1981生。天津智通機器人系統有限公司高級工程師。何勇，男，1987生。燕山大學機械工程學院碩士研究生，中國科學院深圳先進技術研究院工程師。趙鐵石，男，1963生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。