一類可積晶格方程族的可積性探究

(山東科技大學 山東 青島 266590)

一類可積晶格方程族的可積性探究

孫士麗

(山東科技大學 山東 青島 266590)

近年來，非線性離散可積系統作為描述非線性現象的有力工具，受到了人們的廣泛關注。本文提出了一個新的離散的4×4的矩陣譜問題，利用離散的零曲率方程表示法構造了一族新的離散的可積系統，并研究離散可積系統的劉維爾可積性。

離散可積系統;晶格方程族;零曲率方程;可積性

一、引言

可積晶格方程用來描述自然科學中許多復雜的現象。例如，晶體中的質點振動，食物鏈中的脈沖，電網的電流等，數學家們已經從不同的角度進行了系統的研究，如連續極限和r-矩陣結構[1]，反散射變換，對稱和主對稱[2]，可積耦合，達布變換等。

一類離散空間譜問題(1)

Eφn=Un(un,λ)φn

和相應的時間譜問題(2)

φn,t=V(n)(un,λ)φn

如果一個晶格方程(3)

un,t=K(un,un-1,un+1,...)

是(1)和(2)的一個兼容性條件，那么它在Lax意義下可積，也就是(4)式

Un,t=(EV(n))Un-UnV(n)

我們稱方程(1)、(2)是晶格方程(1)的一個Lax對。尋找新的可積晶格方程族，使其滿足離散譜問題(1)，這仍然是一個復雜的任務。

在文章第2節中，介紹一類離散譜問題(5)

這里un是位勢向量，φn是本征函數，λ是譜參數且λt=0。不難發現，譜問題(5)也等價于一個特征值問題。首先，我們要選擇合適的時間譜問題，然后由離散零曲率方程導出一個可積晶格方程族。最后，在第3節中，做一些評價和總結。

二、一類新的可積晶格方程族

在這一節中，我們將推導出一個新的可積晶格方程族。首先，我們求解靜態的離散零曲率方程(6)

(EΓn)Un-UnΓn=Γn+1Un-UnΓn=0

由方程(6) 并利用勞倫級數展開式我們得到初始條件：

和遞推關系(8)式(m≥0):

我們引入輔助譜問題(10)：

那么，該方程與方程(5)的相容性條件表示為:

(Eφn)tm=E((φn)tm)

它等價于離散的零曲率方程

求得微分差分方程族的可積系(11)

所以譜問題(5)和方程(10)構成方程(11)的Lax對。當m = 0，方程(11)變成一個簡單的線性系統rnt0=0,snt0=0。我們得到方程(11)的第一個非平凡的可積晶格方程，當m = 1時，得(12)式:

rnt1=rn(snrn-1)-rn-1(sn-1rn-1-1)，snt1=rn+1-rn，

三、結論

在本文中，我們介紹了一個離散譜問題，并由離散零曲率方程推導出一個離散可積微分差分方程族。此外，還有其他的可積性問題值得進一步研究，例如達布變換、對稱和主對稱、可積耦合系統、半直和李代數等。

[1]董煥河,張玉峰.孤立子理論與可積系統[M].2006

[2]李翊神.孤子與可積系統[M].1999

孫士麗(1991-)，女，漢，山東臨沂，碩士，山東科技大學數學與系統科學學院，微分方程理論及應用。