一類可積晶格方程族的可積性探究

(山東科技大學(xué) 山東 青島 266590)

一類可積晶格方程族的可積性探究

孫士麗

(山東科技大學(xué) 山東 青島 266590)

近年來(lái)，非線性離散可積系統(tǒng)作為描述非線性現(xiàn)象的有力工具，受到了人們的廣泛關(guān)注。本文提出了一個(gè)新的離散的4×4的矩陣譜問(wèn)題，利用離散的零曲率方程表示法構(gòu)造了一族新的離散的可積系統(tǒng)，并研究離散可積系統(tǒng)的劉維爾可積性。

離散可積系統(tǒng);晶格方程族;零曲率方程;可積性

一、引言

可積晶格方程用來(lái)描述自然科學(xué)中許多復(fù)雜的現(xiàn)象。例如，晶體中的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)，食物鏈中的脈沖，電網(wǎng)的電流等，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)從不同的角度進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，如連續(xù)極限和r-矩陣結(jié)構(gòu)[1]，反散射變換，對(duì)稱和主對(duì)稱[2]，可積耦合，達(dá)布變換等。

一類離散空間譜問(wèn)題(1)

Eφn=Un(un,λ)φn

和相應(yīng)的時(shí)間譜問(wèn)題(2)

φn,t=V(n)(un,λ)φn

如果一個(gè)晶格方程(3)

un,t=K(un,un-1,un+1,...)

是(1)和(2)的一個(gè)兼容性條件，那么它在Lax意義下可積，也就是(4)式

Un,t=(EV(n))Un-UnV(n)

我們稱方程(1)、(2)是晶格方程(1)的一個(gè)Lax對(duì)。尋找新的可積晶格方程族，使其滿足離散譜問(wèn)題(1)，這仍然是一個(gè)復(fù)雜的任務(wù)。

在文章第2節(jié)中，介紹一類離散譜問(wèn)題(5)

這里un是位勢(shì)向量，φn是本征函數(shù)，λ是譜參數(shù)且λt=0。不難發(fā)現(xiàn)，譜問(wèn)題(5)也等價(jià)于一個(gè)特征值問(wèn)題。首先，我們要選擇合適的時(shí)間譜問(wèn)題，然后由離散零曲率方程導(dǎo)出一個(gè)可積晶格方程族。最后，在第3節(jié)中，做一些評(píng)價(jià)和總結(jié)。

二、一類新的可積晶格方程族

在這一節(jié)中，我們將推導(dǎo)出一個(gè)新的可積晶格方程族。首先，我們求解靜態(tài)的離散零曲率方程(6)

(EΓn)Un-UnΓn=Γn+1Un-UnΓn=0

由方程(6) 并利用勞倫級(jí)數(shù)展開(kāi)式我們得到初始條件：

和遞推關(guān)系(8)式(m≥0):

我們引入輔助譜問(wèn)題(10)：

那么，該方程與方程(5)的相容性條件表示為:

(Eφn)tm=E((φn)tm)

它等價(jià)于離散的零曲率方程

求得微分差分方程族的可積系(11)

所以譜問(wèn)題(5)和方程(10)構(gòu)成方程(11)的Lax對(duì)。當(dāng)m = 0，方程(11)變成一個(gè)簡(jiǎn)單的線性系統(tǒng)rnt0=0,snt0=0。我們得到方程(11)的第一個(gè)非平凡的可積晶格方程，當(dāng)m = 1時(shí)，得(12)式:

rnt1=rn(snrn-1)-rn-1(sn-1rn-1-1)，snt1=rn+1-rn，

三、結(jié)論

在本文中，我們介紹了一個(gè)離散譜問(wèn)題，并由離散零曲率方程推導(dǎo)出一個(gè)離散可積微分差分方程族。此外，還有其他的可積性問(wèn)題值得進(jìn)一步研究，例如達(dá)布變換、對(duì)稱和主對(duì)稱、可積耦合系統(tǒng)、半直和李代數(shù)等。

[1]董煥河,張玉峰.孤立子理論與可積系統(tǒng)[M].2006

[2]李翊神.孤子與可積系統(tǒng)[M].1999

孫士麗(1991-)，女，漢，山東臨沂，碩士，山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，微分方程理論及應(yīng)用。