Numerov算法求解一維薛定諤方程研究

孫浩翔

摘 要 本文主要講述的是運用MATLAB對一維定態薛定諤方程求解中遇到問題的分析。問題指的是在運用文獻[1]所提供的程序，解一維定態薛定諤方程時出現了波函數與能量不能一一對應的情況。因為程序自身的優點，免去了對波函數邊界進行討論。所以，文中所運用的，對波函數進行篩選的工具是導函數。通過對導函數的分析能準確得出波函數的變化率在定義域中的情況。篩選過后挑出了幾個有代表性的結果呈現在文中。

關鍵詞 Numerov算法；打靶法；Simpson法；導函數；邊界函數值

中圖分類號 O1 文獻標識碼 A 文章編號 2095-6363（2017）17-0052-03

1 概述

薛定諤方程是量子力學的核心：一個微觀粒子在一個含時的勢場中運動，所滿足的方程就是薛定諤方程：

（1）

通常情況下，我們只研究定態，即勢場V不顯含t。含時波函數拆分成只與位置有關的部分和只和時間相關的部分的乘積

其中：被稱為定態波函數，簡稱波函數，它所滿足的方程（4）叫作定態薛定諤方程。這說明，微觀粒子在不含時的勢場中運動時，所需要確定的僅僅是定態波函數（本征波函數）和這個定態波函數對應的能量（本征能量），這樣薛定諤方程的求解就轉化成了對本征能量和本征波函數的求

解上。

為了更好地說明定態薛定諤方程的性質，我們先來研究一維情況下的薛定諤方程，一維定態薛定諤方程寫作：

即使一維的定態薛定諤方程情況，也僅有極少數情況存在精確解，比如無限深勢阱、諧振子勢、氫原子的庫侖勢。大部分情形下，薛定諤方程的求解只能訴諸于數值手段。

在科學發展的過程中，出現了大量較為成熟的求解薛定諤方程的數值算法，其中有矩陣對角化解法，轉移矩陣方法，虛時間方法等等。他們都有各自的優點，當然也有不同的程度的缺點，例如：轉移矩陣方法是將薛定諤方程求解轉化成性方程組求解，比較直觀，但由于中間涉及逆矩陣運算，處理過程比較復雜。又如，虛時間算法能夠比較嚴格推導出來，并可以很好的估計誤差，但是由于涉及過多的抽象算符運算，不能方便地由程序來實現，而且每一步迭代波函數的歸一化都會被破壞，所以每次迭代后都要對波函數進行歸一化

操作。

綜上所述，我們選用Numerov算法+打靶法+Simpson法綜合算法，3種算法中以Numerov算法為

主[1]。這3種方法實現目的不盡相同：打靶法是用來求非零的能量本征值，Numerov算法是用來求解本征能量所對應的本質波函數，Simpson法是用來對波函數進行歸一化（Numerov算法求解得到波函數后用Simpson積分后對Numverov得到的波函數進行歸一）。3種方法結合起來就數值求解任意勢場的薛定諤方程。我們以三角勢作為例子進行計算，三角勢指的是勢肼深度與距離成正比關系，而在邊界處出現一個無限深勢壘。Numerov是一套非常成熟和完善的求解微分方程的算法，但是由于薛定諤方程除了其數學屬性外還必須保證求得的波函數滿足一定的物理條件，這樣的解被稱為“物理解”，而那些僅僅滿足數值方程但不滿足相應的物理條件的純粹數值解被稱為“假態”。本文的目的就是找到Numerov算法中得到的“假態”并對提出相應的準則對其進行

剔除。

2 方法和原理

一般來說，波函數需要滿足的條件有：

1）波函數有界要求：根據波函數的統計解釋，邊界處的波函數值是一定等于0。

2）波函數歸一要求：由于波函數在全空間的積分對應著找到粒子的總概率1。

3）波函數導數連續性要求：波函數的導數對應的是經典中粒子的動量或者速度。經典粒子不可能出現速度或者動量的“跳變”，所以要求波函數的導數必須是連

續的。

在求解定態薛定諤方程的算法中，Numerov算法是比較常用的一個。利用這個算法求得的波函數在邊界處可以自然滿足有界的條件，即可以巧妙得避開邊界發散的情況。

在實際程序運行過程中，我們發現Numerov算法仍舊會帶來一些

“假態”。

Numerov算法求解三角勢薛定諤方程時，所給出的本征能量數組維度和本征波函數的數組維度對比發現：波函數中存在著一些

“假態”。

運行程序過程中發現，所得到的本征能量E是一個36維的數組，這說明程序運行后給出36個本征能量；本征波函數Psi是50×501維的數組，其中501是波函數格點的數目，前面的50代表著存在50個本征波函數。在排除了波函數“簡并”的情況后，我們認為用Numerov算法計算得到的波函數中有一些并不是對應本征能量的，即出現了一些

“假態”。

在薛定諤方程中波函數模的平方對應的是某個區域出現這個粒子的概率密度，很明顯因為這是粒子運動所導致的結果，所以波函數的圖像的變化應該是平穩的，圖像應該是平滑的曲線。前面已經論述過，波函數有界性和歸一性能夠分別由Numerov算法和Simpson算法保證，在波函數滿足的準則中我們發現，只有第（2）準則目前還沒有用到。因此，我們可以求出某個波函數的導數并分析其連續性來判定這個波函數是否有意義。如果導數的圖像不存在較大的起伏那么證明這個波函數是對應能量的，也就是成立的。如果導數的圖像有較大變化，存在不平滑的拐點那么這個波函數就是不成立的，是不對應任何能量的，這樣的波函數就應該被

排除。

3 結果及分析

對得到的50個波函數都進行了求導分析，gradient（Y，X）類型的命令行對數組求導得到相應的導函數。本文選取一些有代表性的波函數和其導數的圖形進行

分析。

不難看到，波函數導數的圖像在定義域內沒有較大的起伏，且圖像平滑因此可以斷定這個圖像是對應能量的，應該屬于第一能量級波函數即基態波

函數。

這副圖中在X=3.5左右存在一個明顯的不平滑的拐點，在這里導函數出現一個不連續的“跳躍”。相對應的波函數函數圖象在這里應該對應的是一個變化幅度很大的拐。

在X=3.5附近確實如上分析存在一個不平滑的拐點，所以這幅圖不符合規律，應該是不對應任何能量的。同時也證明了導數作為工具確實可靠。

這個導函數圖像在X=6.5左右存在一個不平滑的拐點，所以，這個導函數所對應的函數圖象也是不對應任何能量的。同時也證明波函數的序列的奇偶沒有決定性的作用。

這個函數圖像在定義域內都呈光滑的曲線，所以說這個波函數對應能量。同時也證明波函數序列的大小對波函數是否對應能量無決定性作用。

經過對波函數圖像以及其性質的分析我發現，導致導函數曲線不成立的區域都存在于函數值趨近于零的一端，波函數圖像同導函數圖像的問題相同。我猜想程序中可能不完善的步驟應該與波函數的末端有關，我們可以通過對末端的限制在程序中就將這多余的波函數去除掉。

4 結論

本文在研究“Numerov算法+打靶法+Simpson法”求解一維定態薛定諤方程時，發現此法求解出來的本征能量與本征函數數目不同，即存在著不對應任何本征能量的“假態”波函數。根據量子力學的波函數統計解釋，得知波函數在定義域內圖像成平滑的曲線，在邊界波函數的值因該歸于零點。本文以此為依據，對存在的“假態”波函數進行了一一篩選。

參考文獻

[1]張杰.Matlab在量子力學中的應用[J].安慶師范學院學報（自科版），2003，9（4）：53-54.

[2]曾謹言.量子力學教程[M].北京：科學出版社，2003.

[3]王憶鋒，唐利斌.利用轉移矩陣和MATLAB求解一維薛定諤方程的一種簡潔方法[J].紅外技術，2010，32（3）：177-180.endprint