有限元極限分析下限法在雙層土圓形淺基礎(chǔ)中的研究

王秀林，員康鋒

（1.山西省交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030031；2.山西省交通科學(xué)研究院，山西 太原 030006）

0 引言

近半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，圓形地基在上層砂土下層黏土情況下的承載力情況已經(jīng)得到越來(lái)越多的關(guān)注。對(duì)于工程師而言，在設(shè)計(jì)過(guò)程中的地基承載力計(jì)算必然要參照規(guī)范進(jìn)行。針對(duì)雙層土情況，世界上較流行的一種是海軍建筑師和船舶工程師協(xié)會(huì)[1]（SNAME）提供的兩種計(jì)算方法。第一種是穿刺法[2]，該方法假設(shè)一個(gè)側(cè)面豎直的砂土塞從砂土層穿刺到黏土層；第二種稱之為投影面積法[3]，該方法假設(shè)基礎(chǔ)底面從砂土上層面按一定斜率投影到黏土上層面。然而，上述兩種計(jì)算方法均不同程度地忽略了上層砂土強(qiáng)度對(duì)地基極限承載力的貢獻(xiàn)。近年來(lái)，一些學(xué)者通過(guò)試驗(yàn)提出了很多修正的計(jì)算模型。例如，Okamura[4]通過(guò)離心機(jī)試驗(yàn)的承載力數(shù)據(jù)以及通過(guò)造影技術(shù)觀察失效機(jī)制，在融合規(guī)范中兩種計(jì)算模型的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)新的有解析解的極限平衡模型。

然而，上述半經(jīng)驗(yàn)的理論計(jì)算模型一般來(lái)源于有限的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，因而其適用性有待驗(yàn)證。近年來(lái)，一些有限元方法在上層砂土下層黏土的圓形地基承載力計(jì)算方面有所嘗試。Lee[5]用商業(yè)有限元軟件PLAXIS去模擬圓形基礎(chǔ)在雙層土情況下的模型。這些數(shù)值分析模型在不同程度上能預(yù)測(cè)地基在貫入過(guò)程中的每個(gè)時(shí)刻的承載力以及對(duì)應(yīng)的地基土變化情況。然而，這些數(shù)值模擬方法有不可避免的缺點(diǎn)：計(jì)算所需參數(shù)繁多且計(jì)算效率低。這些缺點(diǎn)導(dǎo)致工程設(shè)計(jì)實(shí)踐中適用性方面的限制。近30年發(fā)展迅速的有限元形式的極限分析下限法[6-7]在某種程度上克服了上述幾種方法的缺點(diǎn)。該方法的計(jì)算模型簡(jiǎn)單，僅需輸入很少的基本參數(shù)便可得到真實(shí)解的下限值。本文將著重研究有限元分析下限法應(yīng)用于上層砂土下層黏土情況下圓形淺基礎(chǔ)承載力的計(jì)算問(wèn)題。

1 極限分析下限法在雙層土圓形淺基礎(chǔ)的應(yīng)用

1.1 計(jì)算模型

本文中計(jì)算的地基承載力均是針對(duì)短期穩(wěn)定性而言的，具體計(jì)算模型見(jiàn)圖1。如圖1所示，半徑為D的圓形地基位于雙層土之上。上層砂土層厚度為H，摩擦角為φ，重度為γ；下層為無(wú)限厚的黏土層，不排水抗剪強(qiáng)度為su。本文中均假設(shè)地基底面完全粗糙，上層為堅(jiān)硬砂土層。

圖1 圓形基礎(chǔ)示意圖

1.2 下限法在圓形地基中的應(yīng)用

本節(jié)簡(jiǎn)要地介紹了軸對(duì)稱情況下有限元極限分析的下限法理論。對(duì)于在軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的極限分析有限元形式中，三角形單元中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)力場(chǎng)由（σr,σz,τrz,σθ）來(lái)表示，如圖 2a所示。眾所周知，下限理論是以平衡和屈服準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的靜力容許應(yīng)力場(chǎng)條件。對(duì)于任意一個(gè)三角形單元，必須滿足以下4個(gè)條件：

a）單元平衡，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)力場(chǎng)與外界荷載平衡：

b）應(yīng)力間斷面連續(xù)，即相鄰兩個(gè)單元的公共面上，同一位置的不同節(jié)點(diǎn)的正應(yīng)力和剪應(yīng)力必須相等，同時(shí)對(duì)于同一邊界，剪應(yīng)力和正應(yīng)力處處連續(xù)。對(duì)圖 2b 中而言，須滿足 σn1=σn2,τt1=τt2,σn3=σn4及τt3=τt4同時(shí)σ、τ在邊界上線性連續(xù)。

c）滿足應(yīng)力邊界條件，在圖2c中，須滿足σn1=q1,σn2=q2,τn1=t1,τn2=t2.

圖2 極限分析下限法有限元形式單元節(jié)點(diǎn)示意圖

d）屈服準(zhǔn)則，在軸對(duì)稱情況下，每個(gè)應(yīng)力節(jié)點(diǎn)的摩爾-庫(kù)倫屈服準(zhǔn)則可表示為：

而求解地基極限承載力也就是得出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解：

歸根結(jié)底，求有限元形式下的下限解就是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2 結(jié)果驗(yàn)證

通過(guò)上述部分簡(jiǎn)述過(guò)程及方法，便可以得到圓形基礎(chǔ)在雙層土情況下的有限元極限承載力的下限解。為了驗(yàn)證該方法的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，本節(jié)將下限法結(jié)果有限元數(shù)值方法進(jìn)行對(duì)比。

值得說(shuō)明的是，在計(jì)算極限承載力之前，為了更接近實(shí)際情況，應(yīng)考慮在特定應(yīng)力狀態(tài)下的軟化效應(yīng)，將上層砂土的摩擦角進(jìn)行折減[6]。文獻(xiàn)[7]給出了內(nèi)摩擦角的折減公式：

式中：φ*為折減后摩擦角；φ′為折減前摩擦角；ψ為剪脹角。對(duì)于φ′和ψ，可以通過(guò)一個(gè)嵌入Bolton提出的強(qiáng)度-剪脹關(guān)系的迭代程序來(lái)計(jì)算。也就是說(shuō)，下文給出的計(jì)算結(jié)果均是針對(duì)折減后的摩擦角而言，為了避免混淆，統(tǒng)一簡(jiǎn)稱摩擦角，用符號(hào)φ表示。

選取有限元商業(yè)軟件PLAXIS的數(shù)值計(jì)算結(jié)果[8]進(jìn)行對(duì)比。圖3的對(duì)比結(jié)果表明，幾乎所有的結(jié)果都在直線qu，F(xiàn)EM=qu，LB附近分布，說(shuō)明下限法求得的極限承載力與有限元計(jì)算結(jié)果非常吻合。

圖3 下限法與有限元結(jié)果對(duì)比

為了進(jìn)一步探求下限法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，表1 計(jì)算了 qu，F(xiàn)EM/qu，LB的各個(gè)統(tǒng)計(jì)特征值。25 組試驗(yàn)中有限元數(shù)值結(jié)果與下限法計(jì)算結(jié)果的比值平均值為1.01，比值中最大為 1.09 最小為 0.94，說(shuō)明 qu，F(xiàn)EM/qu，LB波動(dòng)范圍非常集中。此外，25 組 qu，F(xiàn)EM/qu，LB計(jì)算結(jié)果的變異系數(shù)僅為3.5%，說(shuō)明有限元下限法在雙層土圓形淺基礎(chǔ)中計(jì)算地基承載力時(shí)具有非常好的穩(wěn)定性。

表1 有限元數(shù)值結(jié)果與下限法比值統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析

通過(guò)與有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，充分說(shuō)明了有限元形式的下限解計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性以及穩(wěn)定性。同時(shí)，由于有限元建模復(fù)雜、計(jì)算耗時(shí)較長(zhǎng)、輸入?yún)?shù)繁瑣等缺點(diǎn)，有限元形式的下限法為計(jì)算圓形地基在軸對(duì)稱荷載以及上層砂土下層黏土情況下的極限承載力提供了一個(gè)方便快捷的途徑。

3 結(jié)論

本文將有限元形式的極限分析下限法應(yīng)用到上層砂土下層黏土情況中計(jì)算圓形地基的極限承載力，得出了幾點(diǎn)有用的結(jié)論：

a）有限元形式的極限分析下限法能較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)在上層砂土下層黏土情況下圓形地基的極限承載力。

b）實(shí)際應(yīng)用中，在使用本文建議的方法之前，必須首先在考慮尺寸效應(yīng)和軟化等因素下確定與實(shí)際情況下的砂土層摩擦角。

c）相比于有限元數(shù)值分析，有限元形式的下限法為計(jì)算圓形地基在軸對(duì)稱荷載以及上層砂土下層黏土情況下的極限承載力提供了一個(gè)方便快捷的途徑。