離散和分布時滯微分差分系統(tǒng)的穩(wěn)定性

(西安財經(jīng)學院 陜西 西安 710100)

離散和分布時滯微分差分系統(tǒng)的穩(wěn)定性

孟圓偉姬領(lǐng)

(西安財經(jīng)學院陜西西安710100)

時滯系統(tǒng)是由泛函微分方程來表達的.它有著廣泛的應(yīng)用，它涉及許多學科中的眾多領(lǐng)域，如人口理論，醫(yī)學問題，生物學等。

本文應(yīng)用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，對離散和分布時滯微分差分系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析，基于線性矩陣不等式，給出具有離散和分布時滯微分差分系統(tǒng)的穩(wěn)定性的充分條件，并通過示例仿真說明了本文結(jié)果的有效性。

離散和分布時滯微分差分;Lyapunov-Krasovskii泛函;穩(wěn)定性

一、引言

一個自動控制系統(tǒng)要能正常工作，必須首先是一個穩(wěn)定的系統(tǒng).即當系統(tǒng)受到外界干擾后，顯然它的平衡破壞，但在外擾被去掉后，它有能力自動的恢復到平衡狀態(tài)，系統(tǒng)的這種性能通常叫做穩(wěn)定性。本文將主要致力于研究一類非常廣泛的時滯系統(tǒng)，具有離散和分布時滯的微分差分系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應(yīng)用Lyapunov泛函第二方法對離散和分布時滯微分差分系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析。

二、Lyapunov穩(wěn)定性定理及問題的敘述

對于一般的微分—差分系統(tǒng)

(2-1)

y(t)=g(t,x(t),yt),

(2-2)

定理1 假定f和g分別映R×(Rm×PC上的有界集)到Rm和Rn的有界集，且g是一致input-to-state穩(wěn)定的；u,v,w:R+→R+是連續(xù)不減函數(shù)，且滿足及v(s)> 0,u(0)= v(0)= 0如果存在一個連續(xù)的可微的泛函V:R×Rn×PC→R,使得

(i)u(‖φ‖)≤V(t,φ,φ)≤v(‖φ,φ‖);

(2-3)

(2-4)

成立，則泛函方程(2-1)和(2-2)的平凡解是一致漸近穩(wěn)定的。

本文考慮具有離散和分布時滯的微分差分系統(tǒng)

(2-5)

y(t)=Cx(t)+Dy(t-r),

(2-6)

其中x(t)∈Rm,y(t)∈Rn,為狀態(tài)向量，A,B,C,D,H為適當維數(shù)的常數(shù)矩陣。

三、穩(wěn)定性分析

由定理1知，子系統(tǒng)式(2-6)是input-to-state穩(wěn)定的是系統(tǒng)(2-5)和(2-6)穩(wěn)定的必要條件，它等價于差分算子R(yt)=y(t)-Dy(t-r)的穩(wěn)定性，而對于R(yt)有下述定理。

定理 2[1]差分算子R(yt)=y(t)-Dy(t-r)一致穩(wěn)定的充分必要條件是存在對稱正定矩陣Q使得Q-DTQD>0 成立。則定理1中的條件(i)得到滿足。下面的討論定理1中條件(ii)的條件。對于V(x(t),yt)沿系統(tǒng)(2-5)和(2-6)的解求導,有

因此只要

X < 0,

就有

于是由定理1(Lyapunov穩(wěn)定性定理)可知系統(tǒng)(2-5)與(2-6)穩(wěn)定，即離散和分布時滯微分差分方程一致漸近穩(wěn)定。

定理3 對于離散和分布時滯微分差分方程(2-5)與(2-6)，若存在正定對稱矩陣P,M,R,及矩陣Q,使得LMI

(3-1)

(3-2)

那么，離散和分布時滯微分差分方程(2-5)與(2-6)一致漸近穩(wěn)定。

證明(3-2)式蘊含

DTRD-R≤DTRD-R+rCTMC<0。

也就有DTRD-R<0。故由定理2知差分算子R(yt)=y(t)-Dy(t-r)是穩(wěn)定的，即系統(tǒng)(2-6)是input-to-state穩(wěn)定的。

對于選取的Lyapunov泛函，由上式(3-2)易見存在正數(shù)c=λmin(P)使

c‖x(t)‖2≤V(x(t),yt)

這里‖V(x(t),yt)‖=max{‖x(t)‖,‖yt‖}。并且由上述分析知(3-3)式成立，易見存在正數(shù)ε=|λmax(X)|,使得

證畢。

四、實例下面我們利用工程軟件Matlab驗證離散和分布時滯微分差分方程系統(tǒng)穩(wěn)定性，說明給出結(jié)果的有效性。

例1 考察某自動控制系統(tǒng)[2]

要驗證上述系統(tǒng)的穩(wěn)定性需解LMI式(3-2)和(3-3)，為此我們應(yīng)用Matlab6.5語言進行數(shù)值計算。

可得到穩(wěn)定性分析的結(jié)果rmax=1.1659。計算所需時間為2.0156s

因此當r≤rmax時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

這時

結(jié)論

本文通過利用Lyapunov第二方法以及LMI技術(shù)對具有離散和分布時滯微分差分方程系統(tǒng)穩(wěn)定性進行理論研究，基于線性矩陣不等式，給出了離散和分布時滯微分差分方程系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，并通過實際例子說明了它的有效性。

[1]李宏飛.中立型時滯系統(tǒng)的魯棒控制[M].西安：西北工業(yè)大學出版社，2006.

[2]張冬梅，俞立.線性時滯穩(wěn)定性分析綜述[J].控制與決策，2008,23(8)：841-845

孟圓偉(1985-)，女，漢族，陜西西安人，研究生在讀，西安財經(jīng)學院，經(jīng)濟統(tǒng)計；姬領(lǐng)(1989—)，男，漢族，陜西米脂人，研究生在讀，西安財經(jīng)學院統(tǒng)計學院，統(tǒng)計專業(yè)，研究方向經(jīng)濟統(tǒng)計。