Bloch型雙調和映照

李西振, 陳行堤

(華僑大學 數學科學學院, 福建 泉州 362021)

Bloch型雙調和映照

李西振, 陳行堤

(華僑大學 數學科學學院, 福建 泉州 362021)

研究 Bloch 型雙調和函數的判別準則和系數估計.通過建立雙調和函數的線性和復合性質，得到雙調和函數的 Bloch 型判別法則.利用雙調和的表示理論及調和函數的 Pre-Schwarz 導數估計，給出 Bloch 型雙調和函數的單葉性判定定理及系數估計.

Bloch函數; 雙調和映照; 系數估計; 擬正則映照

Abstract： This paper studies the criterion and coefficient estimate of Bloch-type biharmonic mappings. After establishing the linear and composite properties of biharmonic mappings, we give a criterion for biharmonic mappings to be Bloch-type. Combining the representation theorem of the biharmonic mappings with the estimation of Pre-Schwarz derivative of harmonic mappings, we obtain a univalent criterion and some coefficient estimates of biharmonic mappings for Bloch-type biharmonic mappings.

Keywords： Bloch function; biharmonic mapping; coefficient estimate; quasiregular mapping

1 預備知識

設f為單位圓盤D到自身上的保向映照，若它滿足f∈ACL2(D)，且不等式|f(z)|2≤KJf(z)在D上幾乎處處成立，則稱f為D上的K-擬正則映照，其中，|f|=|fz|+||.

如果一個C2函數f滿足

則稱為Bloch型函數，記這類函數全體為B.如果f為D上的解析函數時，記這類函數全體為BA.如果f為D上的調和函數時，記這類函數全體為BH.如果f為D上的雙調和函數時，記這類函數全體為BBH，則BA?BH?BBH?B.文獻[7-13]對類Bloch型函數BA，BH開展了研究，其中,文獻[10]證明了定理A,B.

本文主要研究具有表達式f=|z|2h的雙調和映照類.同時，給出該類雙調和Bloch型函數的系數估計.

2 主要結論及證明

2)f°φα∈BBH.

證明 1) 由假設知，存在兩個解析函數h1，h2滿足

從而有

同理可得

因此,有

故由f∈BBH可知，F∈BBH.

2) 令F=f°φα=|φα(z)|2h°φα，則有

同理可得

從而有

因此，有β(f)=β(F)，這隱含著f°φα∈BBH,證畢.

證明 令α∈D，定義

則Φ(z)在D上單葉調和，且滿足Φ(0)=0，Φz(0)=1.因此，它的展開式的系數a2(α)的模有界，且滿足

這隱含著

由于

假設函數ω∶D→D解析，定義

定理2假設f=|z|2h∈BBH，h=h1+h2，且f是K-擬正則的.對0<ε<1，令

證明 由假設f∈BBH，可得

又由于f為K-擬正則映照，有

上式隱含著

由于

所以可得

由定理C知函數F在D上單葉.證畢.

定理3若f=|z|2h∈BBH是K-擬正則的，且|h|

上式中：M為一正常數.

令z=reit，t∈(0,2π)，r∈(0,1)，則有

所以

又由于β(f)的定義可知，對?z∈D，有

結合式(3)，可得?z∈D.由

進而有

從而有

將z=reit,t∈(0,2π),r∈(0,1)代入，可得

由式(4)，(5)可得

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(責任編輯： 陳志賢英文審校： 黃心中)

OnBiharmonicBloch-TypeMappings

LI Xizhen, CHEN Xingdi

(School of Mathematical Sciences, Huaqiao University, Quanzhou 362021, China)

10.11830/ISSN.1000-5013.201609021

2016-09-15

陳行堤(1976-)，男，教授，博士，主要從事函數論的研究.E-mail:chxtt@hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(11471128); 福建省自然科學基金計劃資助項目(2014J01013); 華僑大學青年教師科研提升資助計劃(ZQN-YX110)； 華僑大學研究生科研創新能力培育計劃資助項目(1511313003)

O 174.55

A

1000-5013(2017)05-0737-05