數列組的廣義仿射線性相關性研究

馮志新

（吉林師范大學，吉林 四平 136000）

數學與信息科學

數列組的廣義仿射線性相關性研究

馮志新

（吉林師范大學，吉林 四平 136000）

給出了數列組的廣義仿射線性相關性與仿射線性相關性、數列組之間廣義仿射線性表出和等價與仿射線性表出與等價的概念，探討了它們之間的關系,并得到了一些判斷數列組廣義仿射線性相關性與仿射線性相關性的充分與必要條件。同時，給出了幾個性質定理，證明了廣義仿射線性表出和仿射線性表出具有傳遞性。

數列組；廣義仿射線性相關；仿射線性相關；廣義仿射等價；仿射等價

0 引言

文獻[1]和[2]給出了向量組的線性相關性的概念和一些重要結論。文獻[3]給出了強線性相關性的概念和結論。文獻[4]和[5]將仿射和強仿射的概念引入到向量組中。文獻[6]和[7]將線性相關性和廣義線性相關性引入到數列組中。在以上研究基礎上，將向量組的有限維的情形推廣至數列組的無窮維，將仿射線性相關性質引入到數列組上，同時推廣到廣義的情形是十分必要的。

1 定義

為了敘述方便，文中出現的數、數列和數列組均是定義在實數域R上的，后面不再指出。

定義1.1 對于數列 { yn}與數列組 A : { x1n}，{x2n}，…，{xmn}，若存在常數a，以及一組不全為零的m個數1， ，…， ，有j=1，2，3，…，則稱數列可由數列組A廣義仿射線性表出，或稱數列 { yn}為數列組A的一個廣義仿射線性組合數列。當a=0時，稱數列{ yn}為數列組A的一個齊次廣義仿射線性組合，或仿射線性組合；當a≠0時，稱數列{ yn}為數列組A的一個非齊次廣義仿射線性組合。

定義1.3 設A與B為定義在數域F上的數列組，若數列組B中的任一數列都可以由數列組A廣義仿射線性表出，則稱數列組B可以由數列組A廣義仿射線性表出。

定義1.4 設A與B為定義在數域F上的數列組，如果A與B可以互相廣義仿射線性表出，則稱數列組A與B廣義仿射等價。

2 主要結果

不妨設 λm≠ 0 ，且有 λm= - λ1- λ2- …- λm?1，于是有

證明 首先證明定理的必要性。設數列組A廣義仿射線性相關，則對于 j=1，2，3，…，總存在常數a，與一組不全為零的m個數 λ1, λ2,? ? ?,λm，使得在數列組A中任取一個數列 {xkn}，則有于是

對于定理的充分性，由已知，對于 j=1，2，3，…，一定存在常數a，與不全為零的m-1個數 λ1, λ2,? ? ?,λk?1, λk+1,? ? ,λm∈F，使得

證明 不妨設 { xkn}即為 { xmn}，而{xm?1,n? xmn}≡C為常數數列，則對于 j=1，2，3，…，取常數 a=-C，與不全為零的m-1個數 λ1=λ2=??=λm?2= 0 ,λm?1=1，使得

即有B : { x1n? xmn} ,{ x2n? xmn} , ? ?,{ xm?1,n?xmn}廣義線性相關，并且

令 λm=?1，則有故數列組A廣義仿射線性相關。

推論2.3 若數列組A : { x },{ x }, ? ?,{ x }(m ≥2)中存在兩個相同數列，則A仿射線性相關。

定理2.4 已知數列組 A : { x1n} ,{ x2n} , ? ??, {xmn}，B : { y1n} ,{ y2n} , ? ??, {ysn}與數列 { zn}，若 { zn}可由A廣義仿射線性表出，A可由B廣義仿射線性表出，則{zn}可以由B廣義仿射線性表出。

證明 已知 { zn}可由A廣義仿射線性表出，則對于 j=1，2，3，…，存在常數a，以及一組不全為零的m個數 λ1, λ2,? ? ?,λm，使得

又A可由B廣義仿射線性表出，則對于每一個數列 { xin}存在常數 bi，i=1，2，…，m，以及不全為零的數 μi1，μi2，…，μis，i=1，2，…，m，使得

且有

推論2.4 已知數列組A，B與C，若A可由B仿射線性表出，B可由C仿射線性表出，則A可由C仿射線性表出。

［1］北京大學數學系.高等代數［M］.北京:高等教育出版社，2013.

［2］張禾瑞，郝炳新.高等代數［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［3］楊聞起.強線性相關性與弱無關性［J］.寶雞文理學院學報，2009，29（2）:1-3.

［4］香花.關于仿射線性相關性的探討［J］.數學實踐與認識，2012，42（7）:219-225.

［5］香花.強仿射線性相關性與強線性相關性［J］.安徽師范大學學報，2013，36（3）:211-215.

［6］楊建華.數列組的齊次線性相關性［J］.武漢工程大學學報，2009，31（9）:81-82.

［7］楊建華.數列組的廣義線性相關性［J］.武漢工程大學學報，2009，31（12）:79-81.

Research on the Generalized Affine Linear Correlation of Sequence Group

FENG Zhi-xin
(Jilin Normal University,Siping 136000，China)

In this paper，the generalized affine linear correlation of sequence group，the generalized affine equivalence and affine equivalence between several sequence groups are given.It discusses the relationship between them and gets some sufficient and necessary condition judgments of the generalized affine equivalence and affine equivalence between several sequence groups.The judgment theorems and property theorems are given.And the paper proves the transitivity of the generalized affine linear table out and affine linear table out.

sequence group；generalized affine linear correlation；affine linear correlation；generalized affine equivalence；affine equivalence

O151

A

1674-3229（2017）03-0005-03

2017-01-05

國家自然科學基金項目（71501082）；四平市科技局項目（2014064）

馮志新（1979-），女，碩士，吉林師范大學數學學院副教授，研究方向：基礎數學。